Concepto clave
Concepto relacionado
Contexto global
Relaciones
Cantidad - representación
Derechos económicos sociales
ESTUDIANTE:
MATEMÁTICA Y
FINANZAS
I
Diploma
Ficha I
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
FUNCION EXPONENCIALGHFHFHGFHGFHGFHGFHGFHGFHGFHGFHGFHGFHGFHGFHGFHG
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
2019/2020
1 / 17
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga FUNCION EXPONENCIAL123456789 y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Concepto clave Concepto relacionado Contexto global
Relaciones Cantidad - representación Derechos económicos sociales
ESTUDIANTE:
MATEMÁTICA Y
FINANZAS
I
Diploma
Ficha I
A. INTERÉS COMPUESTO, ANUALIDADES, AMORTIZACIÓN
¿Cómo puedes determinar que caja le da más interés en sus ahorros?
En su décimo cumpleaños, Yun Lu hereda algo de dinero de su abuela. Ahora puede tener US $
10 cada mes para invertir en un banco que ofrece un interés compuesto del 2% anual hasta los 21
años, o puede tener US $ 1400 en su cumpleaños número 21.
¿Cómo puedes determinar qué opción debería elegir Yun Lu?
Cuando inviertes dinero en un banco u otra institución financiera, recibes intereses a intervalos
regulares, como anualmente, semestralmente, trimestralmente o mensualmente.
Si el interés pagado es un interés simple, entonces el interés sigue siendo el mismo por cada año
que tenga su dinero en el banco. Si el interés pagado es interés compuesto, entonces se agrega
el interés a la cantidad original y el nuevo valor se utiliza para calcular el interés para el próximo
período.
INVESTIGACIÓN 1
Para cada una de las siguientes cantidades depositadas en un banco, calcule cuánto interés se pagaría
al final de tres años.
Cantidad Interés simple al 5% Interés compuesto al 5%
compilado anualmente
S/ 100
S/ 500
S/ 2000
PREGUNTA FÁCTICA: ¿ Qué paga más interés: un interés simple o compuesto? Explicar por qué.
PREGUNTA CONCEPTUAL: ¿Cuál es la conexión entre el interés compuesto y las secuencias
geométricas?
En general, si invierte un valor presente de P, la tasa es i% compuesta anualmente, y el número
de años es n, entonces el valor futuro (F) se encuentra mediante la siguiente fórmula:
𝒏
EJERCICIOS 1A
1. Ciertos certificados de depósito acumulan un interés simple de 10% anual. Si una compañía
inicerte ahora $240 000 en dichos certificados para la adquisición dentro de tres años de una
máquina nueva, ¿cuánto tendrá la empresa al final de ese período de tiempo?
2. Un banco local ofrece pagar un interés compuesto de 7% anual sobre las cuentas de ahorro
nuevas. Un banco electrónico ofrece 7.5% de ineterés simple anual por un certificado de
depósito a cinco años. ¿Cuál oferta resulta más atractiva para una empresa que desea invertir
ahora $1 000 000 para la expansión dentro de 5 años de una planta?
3. Badger Pump Company invirtió $500 000 hace cinco años en una nueva línea de productos
que ahora reditúa $1 000 000. ¿Qué tasa de rendimiento percibió la empresa sobre la base
de a) interés simple, y b) interés compuesto?
4. ¿Cuánto tiempo tomará para que una inversión se duplique con 5% por años, con a) inetrés
simple, y b) interés compuesto?
5. Una empresa que manufactura oxidantes termales regenerativos hizo una inversión hace diez
años que ahora reditúa $1 300 000. ¿De cuánto fue la inversión inicial con una tasa de 15%
anual de a) interés simple, y b) interés compuesto.
6. Es frecuente que las empresas reciban préstamos de dinero con acuerdos que requieran
pagos periódicos exclusivamente por concepto de interés, para después pagar el monto
principal del préstamo en una sola exhibición. Con un arreglo como éste, una compañía de
producto químicos para control de olores obtuvo $400 000 a pagar durante tres años al 10%
de interes compuesto anual. ¿Cuál es la diferencia en la cantidad total pagada entre dicho
acuerdo (plan 1) y el plan 2, con el cual la compañía no paga intereses mientras adeude el
préstamo y lo paga después en una sola exhibición?
7. Mixercon planea solicitar un préstamo de $1.75 millones para actualizar una línea de
producción. Si obtiene el dinero ahora, puede hacerlo con una tasa de 7.5% de ineteres simple
anual por cinco años. Si lo obtiene el próximo año, la tasa de interés será de 8% de inetrés
compuesto anual, pero sólo será por cuatro años. a) ¿Cuánto interés (total) pagará en cada
escenario, y b) ¿la empresa debe tomar el préstamo ahora o dentro de un año? Suponga que
la cantidad total que se adeude se pagará cuando el préstamo venza, en cualquier caso.
8. Calcule el tiempo que se requiere para que el dinero se cuadruplique con una tasa de interés
compuesto de 9% anual.
EJERCICIOS 1B
- Ambiga invierte MYR 8000 (ringgits de Malasia) en un banco que ofrece intereses a una tasa
del 4.6% anual compuesto mensualmente.
a. Calcule la cantidad de dinero que Ambiga tiene en el banco después de siete años.
b. Calcule cuánto tiempo le tomará duplicar su dinero.
- Un banco ofrece una tasa de 3.4% anual compuesto trimestralmente. La Sra. Safe invierte €
3500 en este banco.
INVESTIGACIÓN 2
- Un banco paga intereses al 6% anual compuesto cada medio año.
a. ¿Cuántas veces al año paga intereses?
b. ¿Qué porcentaje de interés paga cada vez?
c. Completa la siguiente tabla:
6% DE INTERÉS ANUAL NÚMERO DE VECES QUE
SE PAGAN INTERESES
PORCENTAJE CADA VEZ
Compuesto anualmente
Compuesto semestral
Compuesto trimestralmente
Compuesto mensualmente
i% de interés anual
Compuesto anualmente
Compuesto semestral
Compuesto trimestralmente
Compuesto mensualmente
1 r%
- Encuentre la fórmula para el F(valor futuro) para un valor presente; P invertido durante n años a
i% de interés compuesto semestralmente.
- Encuentre la fórmula para el F para un P invertido durante n años a i% de interés compuesto
trimestralmente.
- Encuentre la fórmula para el FV para un PV invertido durante n años al r% de interés compuesto
mensualmente.
- Pregunta Conceptual: en términos de períodos de tiempo y el principal, ¿cómo se calcula el
interés compuesto?
a. Calcule la cantidad de dinero que tiene después de seis años.
Mr Secure invierte € x en este banco. Después de seis años, el monto en su banco es de
b. Calcule el valor de x, corrija al euro más cercano.
c. Calcule la cantidad de años que le tomaría duplicar el dinero del Sr. Secure.
- Rik invierte SGD 40 000 (dólares de Singapur) en una cuenta que paga 5% de interés por año,
compuesto semestralmente.
a. Calcule cuánto tiene en el banco después de cuatro años.
Luego, el banco cambia la tasa de interés al 4.9% anual, compuesto mensualmente.
b. Calcule cuánto tiene Rik en el banco después de otros cuatro años.
- Chen invierte 20 000 CNY (yuan chino) en un banco que ofrece intereses a una tasa del 3,8%
anual compuesto trimestralmente. La Sra. Chang también invierte CNY 20 000 en un banco
que ofrece intereses a una tasa del 3.9% anual compuesto anualmente. Calcule quién ha
ganado más intereses después de cinco años.
- Peter invierte UK 400 en un banco que ofrece intereses a una tasa del 4% anual compuesto
mensualmente.
a. Calcule cuánto dinero tiene en el banco después de 10 años.
b. Calcule cuánto tiempo le toma duplicar su dinero.
- Yvie invierte US $ 1200 en un banco que ofrece intereses a una tasa de r% anual compuesto
mensualmente. Su dinero se duplica en 10 años. Encuentre el valor para r.
- Colin, Ryan y Kyle tienen cada uno 1500 € para invertir. Colin invierte su dinero en un banco
que ofrece 2.6% de interés compuesto trimestralmente. Ryan invierte su dinero en un banco
que ofrece 2.55% de interés compuesto mensualmente. Kyle invierte su dinero en un banco
que ofrece 2.75% de interés compuesto anualmente.
a. Calcule quién tiene más dinero en su cuenta después de seis años,
b. Averigua cuánto tiempo pasará antes de que Ryan tenga € 2500.
c. Averigua cuánto tiempo le tomará a Kyle duplicar su dinero.
¿Qué sucede si desea realizar pagos a intervalos regulares?
ANUALIDAD: Una anualidad es una suma fija pagadera a intervalos específicos, generalmente
anualmente, durante un período, como la vida del destinatario, a cambio de una prima pagada en
cuotas o en un solo pago.
La fórmula para elaborar una anualidad es
𝑨 = 𝑷 × (
𝒏
𝒏
EJEMPLO
Anmol decide ahorrar para un yate. Le gustaría probar 1 000000 (lira turca) al cabo de 10 años.
Ahorra cada año en una anualidad que paga el 4% de interés. Calcule cuánto tiene que ahorrar
cada año.
PAGOS MENSUALES
La fórmula para calcular los pagos mensuales es
𝑎
𝑖 × 𝑃
−𝑛
Donde 𝑃
𝑎
es el pago, 𝑖 es la tasa, 𝑃 es el valor presente y 𝑛 es el número de meses.
EJEMPLO:
Trintje se ha dejado una anualidad de € 5000 en un testamento. La anualidad es por cinco años al
8% anual que se pagará mensualmente. Encuentra los pagos mensuales.
EJERCICIOS 1C
1. Sarah-Jane comienza a ahorrar para su pensión. Ella pone al Reino Unido £ 1500 en una
anualidad cada año. Dado que la anualidad paga un interés del 3.5%, calcule cuánto habrá
ahorrado después de 30 años. ¿Es esta una buena inversión?
2. Pedro coloca MXN 2500 (pesos mexicanos) en una anualidad que paga 2.8% de interés anual
cada mes durante cinco años. Calcule cuánto ha ahorrado al final de los cinco años.
3. Stijn se ha quedado con una anualidad de € 25000 en un testamento. La anualidad es por 10
años al 6% anual que se pagará anualmente. Calcule la cantidad que Stijn recibe cada año.
4. Fiona ha ganado una anualidad de US $ 6000. Es por cinco años a 4.8% anual que se pagará
mensualmente. Encuentra los pagos mensuales. Compare los beneficios del total de US $
6000 en un pago o la anualidad.
5. Mikey quiere recibir una anualidad del Reino Unido de £ 500 por mes durante cinco años. La
tasa de interés mensual es de 0.8%. Determine el valor presente de la anualidad.
6. Tiene US $ 20000 y desea obtener un ingreso mensual por 10 años. Si la tasa de interés
mensual es de 0.9%, encuentre cuánto recibiría cada mes. Comenta por qué crees que harías
esto.
D. AMORTIZACIÓN
Es el valor de un artículo que disminuye en cada término.
La fórmula para encontrar los pagos es
𝑨 = 𝑷 ×
𝒏
𝒏
Donde 𝐴 es la cantidad, 𝑃 es el valor presente, 𝑖 es la tasa y 𝑛 es el número de períodos.
Puede usar su GDC para calcular los pagos, etc.
También puede usar cualquiera de los sitios web en línea como www.amortization-calc.com o
www.bankrate.com para calcular los pagos, etc. Puede ajustar la duración del préstamo o la tasa
de interés para ver qué efecto tiene.
EJEMPLO
Tejas obtiene un préstamo de 35 000 € para un automóvil. El préstamo es a 10 años con un interés
del 1% mensual. Averigüe cuánto tiene que pagar cada mes.
EJERCICIOS 1D
1. Sami obtiene un préstamo de 150000 € para comprar un barco. El préstamo es por 20 años
al 5% anual.
a. Averigüe cuánto debe pagar cada mes.
b. Otro préstamo fue por 10 años al 5% anual. Determine cuánto pagaría Sami cada mes.
c. Para cada uno de estos cálculos, descubra la diferencia en los pagos mensuales y la
cantidad de intereses pagados.
2. El Sr. y la Sra. Jones sacaron una hipoteca de Reino Unido £ 350 000 para una casa. La
hipoteca es por 30 años a 2.3% anual. Encuentre sus pagos mensuales y discuta si es una
cantidad razonable.
3. Zak obtiene un préstamo de 2000 € al 4%. Él paga el préstamo en cinco cuotas de fin de año.
Encuentra su pago anual.
4. Un automóvil cuesta US $ 28 000. Benji obtiene un préstamo al 10% anual durante cinco
años. Calcule la cantidad que Benji debe pagar cada mes y comente su respuesta.
¿Cómo puede resultar el conocimiento de las matemáticas en individuos explotados o protegidos
de la extorsión?
E. ECUACIONES EXPONENCIALES
Podemos construir una tabla de valores para formar la gráfica de esta función.
x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
y
Cuando x =− 10 , 2 0. 001
10
−
y
Cuando x =− 50 ,
50 16
− −
y =
Cuando
x toma valores negativos muy grandes, el gráfico de
x
y = 2 se
aproxima al eje 𝑥 pero nunca logra tocarlo, así
x
2 se hace muy pero muy pequeño pero nunca
cero.
Por lo tanto, cuando
x → ,
y → 0.
Decimos entonces, que
x
y = 2 es “ asintótico para el eje 𝑥” o “𝑦 = 0 es una asíntota horizontal”
Ahora tenemos, una buena definición del significado de
n
b cuando b , n R porque una función
exponencial simple tiene un buen crecimiento o decrecimiento gráfico.
EJERCICIOS 1F
1. Dibuja a mano alzada los siguientes pares de funciones, usa tus observaciones para realizar
algunas conclusiones:
2. Dibuja a mano alzada los siguientes pares de funciones: 3. Para cada una de las siguientes funciones:
i. Traza el gráfico de la función
ii. Establece su dominio y rango
iii. Usa tu calculadora para hallar el valor de y cuando
x = 2
iv. Discute la tendencia de y cuando x →
v. Determina las asíntotas horizontales
G. EXPONENTE NATURAL
Sabemos y observamos que una función exponencial simple es
de la forma
x
y = b , b 0 , b 1. La gráfica de alguna de ellas
la mostramos a continuación. Se puede observar que para todo
valor positivo de la base b, la gráfica siempre es positiva.
Entonces
x
b
b 0
Hay un infinito número de posibles cruces para una base
numérica.
Sin embargo, el valor exponencial mayormente usado en ciencias, ingeniería y finanzas es la base
e 2. 7183.
e es un número especial en matemáticas, así como , ambos números irracionales; así como
es la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, el número e tiene un significado
físico.
EJERCICIOS 1G
1. En un mismo plano cartesiano, traza la gráfica de las siguientes funciones:
A partir de las gráficas establece el dominio y rango de cada función.
2. En un mismo plano cartesiano, traza la gráfica de las siguientes funciones:
A partir de las gráficas establece el dominio y rango de cada función.
3. Expande y simplifica: 4. El peso de una colonia de bacterias está dado por 𝑊(𝑡) = 2 𝑒
𝑡
2 gramos, donde t es el tiempo
en horas después que la colonia se asentó en un determinado organismo.
a. Halla el peso de la colonia cuando:
i. t = 0 horas
ii. t = 30 min
iii. t = 1 1/2 horas
iv. t = 6 horas
b. Usa el inciso a para trazar la gráfica de.
5. Resolver en x: 6. La corriente que fluye en un circuito eléctrico t segundo después de subir el switched está
dado por 𝐼(𝑡) = 75 𝑒
− 0. 15 𝑡
amperios.
a. ¿Cuál es la corriente que está circuito eléctrico después de:
i. 1 segundo
ii. 10 segundos
La asíntota vertical de 𝑦 = log
𝑎
𝑥 es el eje y, 𝑥 = 0.
Ya que solo podemos hallar logaritmos de números positivos. El dominio de 𝑓
− 1
= log
𝑎
𝑥 son
R
En general 𝑦 = log
𝑎
𝑔(𝑥) está definido para 𝑔(𝑥) > 0.
EJERCICOS 1H
1. Para las siguientes funciones f:
i. Hallar el dominio y el rango
ii. Hallar las asíntotas e intercepto con los ejes
iii. Traza la gráfica de
y = f ( x )
mostrando las características importantes
iv. Resolver
f ( x )=− 1
algebraicamente y verifica tu resultado con tu gráfico
v. Hallar
− 1
f
y explica cómo verificas tu respuesta
2. Para las siguientes funciones 𝑓
i. Hallar la ecuación de
− 1
f
ii. Traza la gráfica de
f
y
− 1
f
en un mismo sistema de ejes coordenados
iii. Determina el dominio y rango de
f
y
− 1
f
iv. Hallar las asíntotas y los interceptos de
f
y
− 1
f
3. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑒
2 𝑥
y 𝑔
= 2 𝑥 − 1 , hallar:
4. Considera las gráficas de A y B. Una de ellas es la gráfica de 𝑦 = ln 𝑥 y la otra es la gráfica
de 𝑦 = ln(𝑥 − 2 ).
a. Identifica cual es cuál. Da evidencias para tus
respuestas.
b. Copia las gráficas en un nuevo sistema de ejes de
coordenadas y traza la gráfica de 𝑦 = ln(𝑥 + 2 ).
c. Hallar la ecuación de la asíntota vertical para cada una
de ellas
5. Kelly dice que el orden Kelly dijo que con la finalidad de graficar
𝑦 = ln 𝑥
2
,𝑥 > 0 ; primero debe graficar 𝑦 = ln 𝑥 y luego
duplicar la distancia de cada punto en la gráfica desde el eje x.
¿Esto es correcto? Explica tu respuesta.
6. Considere la función
3
x +
f x e
a. Halla la definición de función para 𝑓
− 1
b. Halla los valores de 𝑥 para el cual:
c. De ahí conjeture cuál sería la asíntota horizontal para esta función
d. Determine la ecuación de la asíntota horizontal de 𝑓(𝑥) evaluando las características de
𝑓(𝑥) cuando 𝑥 → ±∞.
7. Resolver para 𝑥: 8. Determine el dominio de 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
ln 𝑥. De ahí determine donde 𝑓(𝑥) ≤ 0.
9. Uso de la tecnología
a. Use la tecnología para trazar la gráfica de 𝑓
2
𝑥
2 𝑥
2
−𝑥+ 1
b. Determina el dominio y rango de esta función.
c. De ahí, halla todo 𝑥 ∈ ℝ, donde 𝑒
2 𝑥
2
−𝑥+ 1
2
𝑥