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Documento del Taller Calculo 3 de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, que aborda el tema de funciones de variables reales, su gráfica, dominio y rango, curvas de nivel y trazas sobre planos coordenados.
Tipo: Ejercicios
1 / 10
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¡No te pierdas las partes importantes!
Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales
2
:
, ( , )
f
x y z f x y
→
→ =
D
El conjunto D es el Dominio de f y el conjunto de imágenes es el Rango de f , denotados como:
2
Dom ( f ) = x y , / z z = f ( , x y )
Ran ( f ) = z / x y , Domf z = f ( , x y )
La gráfica de la función f de dos variables , se entiende como el conjunto de puntos de la forma
( x, y, z ) , donde ( x, y ) pertenece al dominio de f y z = f(x, y). Es decir:
3
Graf ( f ) = ( , x y z , ) R / z = f ( , x y ) ; ( , x y ) D
1. Justificar y colocar en el paréntesis V o F
para cada una de las proposiciones:
a) La gráfica de la función
3
f : →
se encuentra en el espacio
4
b) El domino de f ( , x y )= x − y es
2
( , ) / y
f
D = x y x
c) El rango de f ( , x y z , ) = x + y + z
está formado por todos los números
reales no negativos. …( )
2. Evalúe cada función en el punto indicado.
f ( , x y ) = 5 x − 2 y − 1
en (1, −1)
y ln xy
f x y
x y
=
en( 1, 4)−
en
2 6 e
Justificación:
Justificación:
Justificación:
Solución:
Solución:
Solución:
3. En cada una de las siguientes funciones, determine su dominio y luego grafique dicho dominio.
5 2 3 5
f ( , x y ) = x − 4 x y + 6 y
Solución: Gráfica:
2 2
1
x y
f x y
=
Solución:
Gráfica:
2
3 5
x y
y x
f x y
−
−
=
Solución:
Gráfica:
5. Mediante trazas a los planos coordenados, graficar las siguientes funciones y luego indicar su
dominio y rango.
2 2
z = x + y
2 2
z = x + y
6. Tome sólo los valores posibles para escribir las curvas de nivel y grafique el mapa de contorno
para las siguientes funciones:
2 2
z = x + y
2 2
z = x + y
natural desde el punto A al punto B (Ver figura). Por la desigual composición del suelo, el
terreno se ha dividido mediante paralelas en tres zonas (Ésta es la razón por la que instalar el
ducto en cada zona tiene diferente precio). Así, instalar un kilómetro de tubería en la Zona 1
cuesta $6000, en la Zona 2 su costo es de $4000 y la tubería instalada en la frontera entre las
Zonas 2 y 3 cuesta $1000. Exprese el costo total de instalación del ducto en términos de las
variables que se muestran en la figura.
