Funciones lineales y afines: ejercicios y ejemplos, Diapositivas de Volumen

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Función lineal

La funció n linea l e s del tipo:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

y = 2x

x 0 1 2 3 4 y = 2x 0 2 4 6 8

Pendiente

La pen diente es la inclinación de la recta con re s pecto al eje de abscisas. Una recta tiene pendiente constante.

La pen diente se puede d efinir como el co ciente e ntre lo q ue varía la función en el eje y, y lo que varía en el eje x

Si m > 0 la función es cr eciente y el án g ulo que forma la recta co n la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es de creciente y ángu lo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

La pendiente de esta recta es

m = 62 = 3

La pendiente es 0.

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Continuidad de una función

Una idea apro xim ada d e f unción c ontinua se tiene al co nsid erar que su gráfica es con tinua, en el sentido que s e puede dibujar sin levanta r el lápiz de l a hoja de papel.

Ej em plo de funció n discontinua:

Funcion es simétricas

Simetría respecto del eje de ordenadas. Función par.

Una func ión f es simétrica respecto del eje d e ordena das cuan do para todo x se verifica:

f(−x) = f(x)

Las func iones si métricas respect o del eje de orde nadas r e ciben el nombre de funciones par es.

Funcion es periódicas

Una func ión f(x) es perió dica, de perío do T, si para todo número entero z, se verifica:

f(x) = f(x + z T)

G r áf icamente se observa que la función se va r epitiendo en funció n de su per iodo.

Máximos y mínimos absolutos y re lativos

Máximo absoluto

Una fun ción tiene su má ximo absoluto en el x = a si la orde nada es ma yo r o igual que en cualquier otro punto de la función.

M áximo absolut o a = 0

Mínimo absoluto

Una func ión tien e su mínimo absoluto en e l x=b s i la orden ada es menor o igual que en cualq uier otro punto de la funció n.

M ínimo absolut o b = 0

Cuál es el valor de la tasa t para el coeficiente c = 40? Comenta el aspecto de la gráfica. El riesgo de accidente, ¿es proporcional a t?

2. Un elefante en un zoo está indispuesto y un veterinario toma su temperatura cada hora. Éstas son:

¿Cuándo tiene la temperatura más baja? ¿Y más alta? Dibuja una gráfica que muestre cómo cambia su temperatura. Elige un punto de comienzo conveniente para el eje de temperaturas.

3. En la siguiente gráfica tienes dibujada una vasija y, a su derecha, la gráfica correspondiente que relaciona la altura del agua con el tiempo de llenado: Completa las otras gráficas:

NOTA: En muchos problemas similares es conveniente dividir la situación real en tramos homogéneos (como se ha hecho con las vasijas) y trasladar dichos tramos a los ejes coordenados.

4. Dada la gráfica siguiente busca su circuito correspondiente:

5. Tiramos de la cadena del WC: ¿qué gráfica corresponde a esta situación?
6. Esta pecera está siendo llenada por una manguera con caudal constante. Completa la gráfica:

9. La distancia que separa a Málaga de Granada es de 120 Km. Antonio deja Málaga a las 11:00 y se dirige a Granada con una velocidad de 80 Km/h.. 30 minutos después José Mª sale de Granada a Málaga con una velocidad de 90 Km/h.

Utiliza estos ejes y muestra el progreso de ambos motoristas. Usa la gráfica para indicar a qué distancia de Granada se cruzan los dos motoristas. Halla el tiempo que emplean en llegar a sus destinos.

Periodicidad

10. La noria

La noria de un parque de atracciones da una vuelta cada 10 segundos. En unos mismos ejes dibuja dos gráficas que muestren cómo cambia la altura del coche A y la del B durante un minuto

11. El self - service

Abre a las 14h y cierra a las 15h. La cadena sirve a 10 personas por minuto.

¿Cuántas personas llegan entre las 14h 10' y las 14h 20'? ¿Qué ocurre a las 14h 5'? ¿A qué hora estará servida una persona que llegue a las 14h 20'? ¿A qué hora llegó una persona servida a las 14h 45'? ¿Cuántas personas han sido servidas entre las 14h y las 14h 50'? ¿Cuántas personas han llegado entre las 14h 45' y las 14h 50'? ¿Qué se puede decir del número de personas llegadas entre las 14h 50' y las 15h?

12. A partir de estas dos gráficas obtener el gasto medio por turista y año.

Funciones lineales

15. Los precios se disparan en el Supermercado Mastodonte.

El supermercado Mastodonte aumenta los precios de los artículos de la sección "Zapatos" un 6%. Designamos por x el precio de un artículo antes del aumento y por y el precio del mismo artículo después de la subida. Completar la tabla:

En unos ejes, dibujar los puntos cuyas coordenadas x e y están indicadas en la tabla anterior. Obtener y en función de x.

16.! Brontosaurio baja precios!

Después de este aumento, su rival Supermercado Brontosaurio decide una bajada del 20 % sobre el precio de los zapatos. Llamamos x al precio antes de la bajada e y al de después. Obtener la función que los relaciona.

17. Aquí tienes una jeringuilla sin marcas:

Calcula el volumen a partir de la altura h. Haz una tabla que relacione el volumen con la altura y dibuja su gráfica. Pon las marcas en la jeringa de 5 cm^3 y de 1.000 cm^3.