¡Descarga FUNCION LINEAL CARAJO y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Función Lineal
A la función polinómica de primer grado 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 siendo 𝑎 y 𝑏 números reales, se la denomina función lineal.
La representación gráfica de una función lineal es una recta.
El número 𝑎 se llama pendiente de la recta y mide la inclinación de la misma respecto de la horizontal.
El número 𝑏 recibe el nombre de ordenada al origen y es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje 𝑦.
Ecuación explicita de la recta: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
La pendiente de una recta es el cociente entre la variación de la variable dependiente (∆𝑦) y la variación de la variable independiente (∆𝑥) de cualquier punto de la misma.
𝑎 = 𝑦 𝑥^22 −𝑦−𝑥^11 = ∆𝑦∆𝑥
La ordenada al origen es el valor donde la recta corta al eje 𝑦.
𝑓(0) = 𝑏
El valor de la pendiente determina que una función lineal sea creciente, constante o decreciente.
Representación gráfica de una función lineal
Para graficar una función lineal se debe marcar la ordenada al origen ( b ) y, a partir de ella, representar un par de valores cuyo cociente sea igual al valor de la pendiente ( a )
como se muestra a continuación.
Ejercicio 2:
Representar las siguientes funciones a partir de la ordenada al origen y la pendiente.
Perpendicularidad y Paralelismo entre rectas
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.
Ejercicio 4:
Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda en cada caso.
𝑦 = 2 𝑥 + 1 ∥ 𝑦 = 2
𝑦 =
Ecuación de una recta, dadas la pendiente y un punto de la misma
La fórmula para hallar la ecuación de una recta, dada su pendiente 𝑎 y un punto perteneciente a la misma (𝑥 1 ; 𝑦 1 ) es:
𝑦 − 𝑦 1 = 𝑎(𝑥 − 𝑥 1 )
Ejemplo :
La ecuación explicita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto (1; 3) es:
𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 1) ⇒ 𝑦 − 3 = 2𝑥 − 2 ⇒ 𝑦 = 2𝑥 − 2 + 3 ⇒ 𝑦 = 2𝑥 + 1
Ecuación de una recta, dados dos puntos de la misma
La fórmula para hallar la ecuación de una recta, dados dos puntos pertenecientes a ellas:
(𝑥 1 ; 𝑦 1 ) y (𝑥 2 ; 𝑦 2 )
𝑦 − 𝑦 1 𝑦 2 − 𝑦 1
Ejemplo:
La ecuación explicita de una recta que pasa por los puntos (2; 1) y (5; 3) es:
𝑦 − 1 3 − 1
Ángulo de una recta y entre dos rectas
Recordando la definición de la pendiente de una recta podemos observar que si queremos conocer el ángulo que forma una recta con respecto al eje x debemos obsevar el triangulo que se forma.
Observando el triángulo que se forma y recordando las razones trigonométricas podemos afirmar que “la pendiente de la recta es igual a la tangente del ángulo que dicha recta forma con la horizontal”
= tan(𝛼)
Por lo que el ángulo que forma la recta con la horizontal es igual a la arcotangente de la pendiente:
𝛼 = tan−1(𝑎) = tan−1^ (
) = tan−1^ (
Observemos que sucede si tomamos una recta con pendiente negativa.
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Dos ecuaciones con dos incógnitas
Ejemplo:
Victoria se encontró con su amiga Magdalena y le comentó: Me compré una camisa muy linda y una remera. ¿Cuánto te costó cada cosa?, le preguntó Magdalena. No dispuesta a satisfacer fácilmente la curiosidad de su amiga, Victoria respondió en forma enigmática: Sé que en total gasté $100 y que con lo que pagué la camisa hubiera podido comprar exactamente 3 remeras. ¿Cómo podemos calcular el precio de cada prenda?
Llamamos: “𝑥” al precio de la camisa e “𝑦” al precio de una remera
Traducimos el problema planteando dos ecuaciones {𝑥 + 𝑦 = $100𝑥 = 3𝑦
Existen infinitos pares de valores que satisfacen la primera ecuación, es decir, que suman $100. Por ejemplo: 𝑥 = $70 e 𝑦 = $30; 𝑥 = $75 e 𝑦 = $25; 𝑥 = $80 e 𝑦 = $20. También son infinitos los pares de valores que cumplen la segunda ecuación, donde un valor es igual al triple del otro.
Por ejemplo: 𝑥 = $60 e 𝑦 = $20; 𝑥 = $75 e 𝑦 = $25. Pero existe un único par que satisface las dos ecuaciones, 𝑦 es 𝑥 = $75 e 𝑦 = $25.
Por lo tanto el precio de la camisa es $75 y el de la remera $25.
En este problema hemos hallado el valor de dos incógnitas que llamamos 𝑥 e 𝑦.
Por tener que cumplir el problema dos condiciones hemos planteado dos ecuaciones y por estar sus incógnitas elevadas a la primera potencia; las llamamos lineales.
Para expresar que estas condiciones deben cumplirse simultáneamente, hemos formado un sistema.
Dadas las características de este problema, hemos resuelto un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Métodos para resolver un sistema de ecuaciones
Método de igualación
Ejemplo:
En un teatro hay 500 butacas entre platea y pullman. En un día de función a sala llena, se recaudaron $22000. Si los precios de cada butaca en platea y pullman son respectivamente $50 y $30, ¿cuántas butacas de cada clase hay en ese teatro?
Llamamos:
𝑥 al número de butacas en platea
𝑦 al número de butacas en pullman.
Traducimos el enunciado del problema planteando el siguiente sistema, en este caso despejamos 𝑥; pero puede hacerse despejando 𝑦:
Para resolver un sistema de ecuaciones podemos utilizar distintos métodos que iremos viendo a lo largo de este capítulo.
Comenzamos despejando una misma incógnita de las dos ecuaciones, en este caso despejamos 𝑥; pero puede hacerse despejando 𝑦.
De la primera ecuación: 𝑥 = 500 − 𝑦
De la segunda ecuación: 𝑥 = 22000−30𝑦 50
El valor de x representa, en nuestro problema, el número de plateas que es el mismo para las dos ecuaciones; por lo tanto, podemos igualar los segundos miembros de las igualdades obtenidas.
Observen que hemos obtenido una ecuación con una sola incógnita que es 𝑦, por lo tanto, podemos hallar su valor.
25000 − 50𝑦 = 22000 − 30𝑦
25000 − 22000 = −30𝑦 + 50𝑦
3000 = 20𝑦
3000 20
Reemplazamos y por el valor hallado en alguna de las dos ecuaciones obtenidas al despejar 𝑥 en.
𝑥 = 500 − 𝑦
𝑥 = 500 − 150
Observen que el encuentro entre ambos amigos es el punto de intersección de ambas rectas.
En el gráfico, vemos que Sergio y Luis se encontraron en 𝑡 = 0,5 horas, o sea, luego de media hora y a una distancia de la partida d = 30 km y les faltaban 2 km para llegar a la casa de Carlos.
Para resolver un sistema con dos incógnitas 𝑥 e 𝑦, despejamos y de ambas ecuaciones y graficamos las funciones lineales que se obtienen.
𝑆 = {(0,5 ; 30)}
La solución del sistema es el punto de intersección de las rectas que resultan en ese gráfico.
Por tener solución, el sistema del ejemplo dado es compatible y, por ser única esta solución, el sistema es determinado.
Ejercicio 6:
Resuelvan los siguientes sistemas por igualación y verifiquen gráficamente la solución obtenida.
Ejemplo:
Pensemos en un problema similar al anterior en el que los dos amigos salen de los mismos lugares que antes pero a igual velocidad, por ejemplo, a 40 km/h.
Las ecuaciones de movimiento y el gráfico correspondiente serán:
42 36 30 24 10 0,4 (^) 0,5 0,60,7 t (h)
d (Km)
Es lógico pensar que, como van a la misma velocidad y uno sale 10 km delante del otro, nunca se van a encontrar.
Si no hay encuentro, el sistema no tiene solución, es incompatible.
Veamos qué sucede al resolver analíticamente este sistema por igualación:
Como 𝑑 = 𝑑 ⇒ 40𝑡 = 40𝑡 + 10
40t − 40t = 10
0t = 10
0 = 10 Absurdo
No existen valores de 𝑡 y 𝑑 que cumplan estas ecuaciones simultáneamente.
Decimos que el sistema no tiene solución o que el conjunto solución es vacío. 𝑆 = { }
Respuesta: Los amigos, con estas condiciones, no se encuentran.
Ejemplo:
Resolvamos otra situación analítica y gráficamente.
Compré un cuaderno y un lápiz por $4. Si 2 lápices y 2 cuadernos del mismo tipo cuestan $8, ¿cuál es el precio de cada cosa?
El sistema que resulta es: {
t (horas) 0 0, ...
d = 40t km) 0 20 ...
t (horas) 0 0, ...
d = 40t (km) 10 30 ...
d (Km)
Y
Sustituimos 𝑦 por el valor hallado en el despeje de 𝑥 hecho al comienzo:
Para resolver un sistema por el método de sustitución, despejamos una incógnita de cualquiera de las dos ecuaciones y la sustituimos en la otra, obteniéndose así una ecuación con una sola incógnita que despejamos para luego encontrar la otra incógnita mediante un nuevo reemplazo.
Método de reducción por sumas o restas
Le preguntaron una vez a don Zoilo "¿cuántas gallinas y cuántas vacas hay en su campo?" A lo que él contestó muy enigmático: "La diferencia entre el número de gallinas y vacas es 30 y entre todos los animales hay 180 patas".
¿Cómo calculamos el número de animales de cada clase que tiene don Zoilo?
Llamamos: 𝑥 al número de gallinas e 𝑦 al número de vacas. Por lo tanto:
Recuerden que si una ecuación se multiplica por un número real no nulo, se obtiene una ecuación equivalente a la primera. Esta misma regla se aplica a los sistemas de ecuaciones.
Por lo tanto, vamos a multiplicar una de las ecuaciones del sistema por un número para igualar los coeficientes de alguna de las incógnitas.
Multiplicamos la primera por 2 para igualar los coeficientes de 𝑥
Restando miembro a miembro eliminamos la incógnita 𝑥
−6𝑦 = −
Despejamos 𝑦
Volvemos al sistema original
Multiplicamos la primera por 4 para igualar los coeficientes de 𝑥
Sumamos porque los términos que tienen 𝑦 son opuestos
6x = 300
Despejamos 𝑥
𝑥 = 300/6 ⇒ 𝑥 = 50
Respuesta: En la granja de don Zoilo hay 50 gallinas y 20 vacas
Para resolver un sistema por el método de reducción multiplicamos una ecuación, si es necesario, por un número distinto de cero para igualar los coeficientes de una de las incógnitas y luego, sumamos o restamos para eliminar dicha incógnita y así, poder despejar la otra.
Ejercicio 7:
Aplicar el método de reducción para resolver los siguientes sistemas. Clasificarlos y representarlos gráficamente.
