funciones, Apuntes de Matemáticas

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Las leyes de los exponentes se listan en la página 14. Hasta el momento, se han estudiado las funciones polinomiales y racionales. Ahora se estudia una de las funciones más importantes en matemáticas, la función expo- nencial. Esta función se emplea para modelar procesos naturales como el crecimien- to poblacional y el decaimiento radiactivo. Funciones exponenciales En la sección 1.2 se definió a* para a > 0 y x un número racional, pero no se han definido aún las potencias irracionales. Por lo tanto, ¿qué se quiere dar a entender con 5% o 27? Para definir a* cuando x es irracional, se aproxima a x mediante nú- meros racionales. Por ejemplo, puesto que V3 = 1.73205... es un número irracional, se aproxima de manera exitosa a” mediante las siguien- tes potencias racionales: aa TR, 70, q IrS De forma intuitiva, se puede ver que estas potencias racionales de a se aproximan cada vez más a aY, Se puede demostrar por medio de matemáticas avanzadas que hay exactamente un número al que se aproximan estas potencias. Se define a a como este número. Por ejemplo, usando una calculadora se encuentra ss 51732 =16.2411... Mientras más decimales de V3 se usen en el cálculo, mejor es la aproximación de 5%, Se puede demostrar que las leyes de los exponentes aún son válidas cuando los exponentes son números reales. Fun les nes exponen La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por $) =a* donde a >0ya + 1. Se supone que a + 1 porque la función f(x) = 1 = 1 es sólo una función cons- tante. A continuación se dan algunos ejemplos de funciones exponenciales: fx) =2 g(x) =3* h(x) = 10* Base 2 Base 3 Base 10 La reflexión de gráficas se explicó en la sección 2.4. Ejemplo 1 Evaluación de funciones exponenciales Sea f(x) = 3* y evalúe lo siguiente: DES) O) Solución Se usa una calculadora para obtener los valores de f. y f0A)=39=9 df) Teclas de la calculadora BIajAl bd) (ÍS)=3 =04807 JH] €) f(1r) = 37 = 31.544 d) F(V2) = 31 = 4.7288 Resultado 9] Cl1216610][wre] [04807498] Bruna Gráficas de funciones exponenciales 31.5442807 4.7288043 Se grafican primero las funciones exponenciales al trazar los puntos. Se verá que las gráficas de tales funciones tienen una forma fácilmente reconocible. Ejemplo 2 Graficación de funciones exponenciales y logarítmicas mediante el trazo de puntos Dibuje la gráfica de cada función. a) f(x) =3* b) .0-() Solución Se calculan valores de f(x) y g(x) y se trazan los puntos para bosque- jar las gráficas de la figura 1. 2 [109=3> | 9m=( =3 + 27 2 5 9 =1 E 3 0 1 1 1 3 + 2 9 3 3 27 + Y Figura 1 Observe que Py oto,, O) 3 y, por lo tanto, se podría haber obtenido la gráfica de y a partir de la gráfica de f mediante la reflexión en el eje y. Figura 5 Gráfica de la función exponencial natural Figura 6 La función exponencial natural La función exponencial natural es la función exponencial (m=e con base e. Es común referirse a ella como la función exponencial. Puesto que 2 < e < 3, la gráfica de la función exponencial natural está entre las gráficas de y =2* y y = 3*, como se muestra en la figura 5. Las calculadoras científicas tienen una tecla especial para la función f(x) = e”. En el ejemplo siguiente se usa esta tecla. Ejemplo 6 Evaluar la función exponencial Evalúe cada expresión correcta hasta cinco decimales. aye b) 2095 0 ett Solución — Se usa la tecla [e*] en una calculadora para evaluar la función exponen- cial. a) e? =20.08554 b) 279% =1.17721 c) e*$ = 121.51042 . Ejemplo 7 Transformaciones de la función exponencial Bosqueje la gráfica de cada función. a) f(x) =e* b) g(x) = 3095 Solución a) Se comienza con la gráfica de y = e* y se refleja en el eje y para obtener la grá- fica de y = e* como en la figura 6. b) Se calculan varios valores, se grafican los puntos resultantes y se unen median- te una curva uniforme. La gráfica se muestra en la figura 7. x Fx) = 300% =3 0.67 2 1.10 =1 1.82 0 3.00 1 4.95 2 8.15 3 13.45 3 Figura 7 ” Ejemplo 8 Un modelo exponencial para la diseminación de un virus Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10 000 habitantes. Después de £ días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función n= 10000 5 + 12450097 a) ¿Cuántas personas infectadas hay inicialmente (en el tiempo t = 0)? b) Calcule el número de personas infectas después de un día, dos días y cinco días. c) Grafique la función v y describa su comportamiento. Solución a) Puesto que o(0) = 10.000/(5 + 1245e”) = 10.000/1250 = 8, se concluye que 8 personas tienen inicialmente la enfermedad. b) Utilice una calculadora para evaluar v(1), v(2) y v(5). y después redondee para 3000 obtener los siguientes valores. Días Personas infectadas 1 21 2 54 5 678 0 n Figura 8 C) Dela gráfica en la figura 8, se puede observar que el número de personas in- ult) = 10 000 fectadas primero se eleva en forma lenta; luego aumenta con rapidez entre el 54 124500 día 3 y el día 8, y luego se estabiliza cuando están infectadas cerca de 2000 personas. n La gráfica de la figura 8 se llama curva logística o modelo de crecimiento logís- tico. Curvas como éstas ocurren con frecuencia en el estudio del crecimiento pobla- cional. (Véanse los ejercicios 69-72.) 19-24 m Compare la función exponencial con una de las gráfi- cas marcadas I-VI. 19. f(x) = 5" 20. f(x) = -5* 21. f(x) =5* 22. fía) =5* +3 23. f(1) =5* 24. fa) = 5714 ny T (3.1) IS Iv YA Aplicaciones 64. 65. Fármacos Cuando se administró cierto fármaco a un pa- ciente, el número de miligramos que permanecen en el torrente sanguíneo del paciente después de f horas se mo- dela mediante D(t) = 5082 ¿Cuántos miligramos del fármaco permanecen en el torrente sanguíneo del paciente después de tres horas? Decaimiento radiactivo Una sustancia radiactiva se desintegra de tal manera que la cantidad de masa que per- manece después de f días se expresa mediante la función mít) = 138 0015 donde (+) se mide en kilogramos. a) Encuentre la masa en el tiempo f = 0. b) ¿Cuánta masa permanece después de 45 días? Decaimiento radiactivo Los médicos emplean el yodo radiactivo como trazador para diagnosticar ciertos trastornos de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra de tal manera que la masa restante después de f días se determina mediante la función mí(t) = 60 0087 donde mm(t) se mide en gramos. a) Encuentre la masa en el tiempo t = 0. b) ¿Cuánta masa queda después de 20 días? Po =a", a>1l Figura 1 f(x) = a” es uno a uno El log, x = y se lee como “el log base a de xes y”. Por tradición, el nombre de la función logarítmica es log,, no sólo una sola le- tra. También, normalmente se omiten los paréntesis en la notación de función y se escribe log,(x) = log, x En esta sección se estudia la inversa de las funciones exponenciales. Funciones logarítmicas Toda función exponencial f(x) = a*, cona > 0 y a + 1, es una función uno a uno por la prueba de la recta horizontal (véase la figura 1 para el caso a > 1) y, por lo tanto, tiene una función inversa. La función inversa f”! se llama función logarítmica con base a y se denota por log,. Recuerde de la sección 2.8 que f7! se define por PuO=y > f)=x Esto conduce a la siguiente definición de la función logarítmica. Definición de la función logarítmica Sea a un número positivo con a + 1. La función logarítmica con base a. de- notada por log,, se define logg,X=y S Q= Así, log, x es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x. Cuando se usa la definición de logaritmos para intercambiar entre la forma lo- garítmica log, x = y y la forma exponencial a? = x, es útil observar que, en ambas formas, la base es la misma: Forma logarítmica Forma exponencial Exponente Exponente log,X = y a =x Base Base Ejemplo 1 Formas logarítmica y exponencial Las formas logarítmica y exponencial son ecuaciones equivalentes, si una es cierta entonces la otra también lo es. Por lo tanto, se puede intercambiar de una forma a la otra como en las siguientes ilustraciones. Forma logarítmica Forma exponencial 1020 100000 = 5 10' = 100 000 log¿8 = 3 2=8 mel) => Pi logss = S=5s Es importante entender que log, x es un exponente. Por ejemplo, los números de la columna derecha de la tabla del margen son los logaritmos (base 10) de los nú- x log¡pX 10* 4 10? 3 10? 2 10 1 1 0 107 =1 107? 2 10 =3 107+ =4 Propiedad de la función inversa: PUSO) =x KE) =x Figura 2 Gráfica de la función logarítmica $(x) = 108, x La notación de flecha se explica en la página 301. meros de la columna izquierda. Este es el caso para todas las bases, como se ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 2 Evaluar los logaritmos £ a) logi 1000 =3 porque 10*= 1000 b) log,32 =5 porque 2%=32 0.1 d) log¡s4 =3 porque 162 =4 " e) logip0.1 =—1 porque 107! Cuando se aplica la propiedad de la función inversa descrita en la página 227 a f(x) = a* y $7 lx) = log, x, se obtiene log,(a) =x xXER atr=x x>0 Se listan ésta y otras propiedades de logaritmos analizadas en esta sección. Propiedades de los logaritmos Propiedad Razón 1. log,1=0 Se debe elevar a a la potencia O para obtener 1. 2. logya = 1 Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a. 3. log,a* = Se debe elevar a a la potencia x para obtener a*. 4. aer =x log, x es la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x. Ejemplo 3 Aplicar las propiedades de los logaritmos Se ilustran las propiedades de los logaritmos cuando la base es 5. logs1 =0 Propiedad 1 logs5 = 1 Propiedad 2 logs5 =8 Propiedad 3 Sies!2=12 Propiedad4 " Gráficas de funciones logarítmicas Hay que recordar que si una función f uno a uno tiene dominio A y rango B, enton- ces su función inversa f7! tiene dominio B y rango A. Puesto que la función expo- nencial f(x) = a* con a 4 1 tiene dominio R y rango (0, 00), se concluye que su función inversa, f”'(x) = log,x, tiene dominio (0, 00) y rango R. La gráfica de f(x) = log, x se obtiene reflejando la gráfica de f(x) = a* en la recta y = x. En la figura 2 se muestra el caso a > 1. El hecho de que y = a* (para a > 1) sea una función que crece muy rápido para x > O implica que y = log, x es una función que crece muy lento para x > 1 (véase el ejercicio 84). Puesto que log, 1 = 0, la intersección con el eje x de la función y = log, x es 1. El eje y es una asíntota vertical de y = log, x porque log, x > —oo cuando x => 0*. En esta sección se estudian las propiedades de los logaritmos. Estas propiedades dan a las funciones logarítmicas una amplia variedad de aplicaciones, como se verá en la sección 4.5. Leyes de los logaritmos Puesto que los logaritmos son exponentes, las leyes de los exponentes dan lugar a las leyes de los logaritmos. Leyes de los logaritmos Sea a un número positivo, con a + 1. Sea A, B y C números reales cua- lesquiera con A >0yB>0. Ley Descripción 1. log, (AB) = log,A + log,B El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números. A El logaritmo de un cociente de números es 2. ws,(5) = log, A — log, B la diferencia de los logaritmos de los números. 3. log(A“) = Clog,A El logaritmo de una potencia de un número es el exponente multiplicado por el logaritmo del número. Ejemplo 1 Uso de las leyes de los logaritmos para evaluar expresiones Evalúe cada expresión. a) log42 + log432 b) log,80 — log,5 c) —4 log 8 Solución a) log42 + log,32 = logy(2 +32) Ley! = log464 = 3 Porque 64 = 4? b) log,80 — log, 5 = logo(%) Ley 2 = log,16 =4 Porque 16 =2* c) —) log 8 = log gh Ley 3 = log(3) Propledad de exponentes negativos =-—0.301 Resultado de la calculadora n Expansión y combinación de expresiones logarítmicas Las leyes de los logaritmos permiten escribir el logaritmo de un producto o un co- ciente como la suma o diferencia de logaritmos. Este proceso, conocido como ex- pansión de una expresión logarítmica, se ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 2 Expandir expresiones logarítmicas Use las leyes de los logaritmos para expandir o desarrollar cada expresión. ab a) loga(6x) b) logs(x*y*) Cc) m5) Ve Solución a) logz(6x) =log,6 + logx Leyl ADVERTENCIA - Aunque las leyes de los logaritmos indican cómo calcular el logaritmo de un producto o cociente, no hay regla de correspondencia para el lo- garitmo de una suma o diferencia. Por ejemplo, log,(x + toga + log, y De hecho, se sabe que el lado derecho es igual a log,(xy). También, no simplifique de manera inapropiada cocientes o potencias de logaritmos. Por ejemplo, log 6 6 2 a] we(5) y (log2 0) É5 log,x Los logaritmos que se emplean para modelar diversas situaciones tienen que ver con el comportamiento humano. Un tipo de comportamiento es qué tan rápido olvi- damos las cosas que hemos aprendido. Por ejemplo, si se aprende álgebra a cierto nivel de desempeño (p. ej., 90% en una prueba) y después no se usa el álgebra du- rante un tiempo, ¿cuánto se retendrá después de una semana, un mes o un año? Hermann Ebbinghaus (1850-1909) estudió este fenómeno y formuló la ley descrita en el siguiente ejemplo. Fórmula de cambio de base En particular, si x = a, entonces log, a = 1 y esta fórmula se convierte en 1 log,¿b log,a = Ahora se puede evaluar un logaritmo para cualquier base usando la fórmula del cambio de base para expresar el logaritmo en términos de logaritmos comunes o lo- garitmos naturales y luego usar una calculadora. Ejemplo 6 Evaluar logaritmos con la fórmula de cambio de base Use la fórmula de cambio de base y logaritmos comunes o naturales para evaluar cada logaritmo, correcto hasta cinco decimales. a) logg5 b) logy20 Solución a) Se usa la fórmula de cambio de base con b= 8 y a = 10: log105 log¿5 == 0.77398 ves log108 b) Se usa la fórmula de cambio de base conb=9 ya =e: In 20 logy20 = mo * 1.36342 n Ejemplo 7 | Usar la fórmula de cambio de base para graficar una función logarítmica Use una calculadora de graficación para graficar f(x) = loggx. Solución Las calculadoras no tienen una tecla para log, así que se usa la fórmula de cambio de base para escribir Inx $(x) = log6x = 7, Puesto que las calculadoras tienen una tecla se puede introducir esta nueva forma de la función y graficarla. La gráfica se muestra en la figura 1. n / 13+4 AÍTO 35. log Ana 77 36. log Xx y VZ 3 = 37. m4) 38. A) 3ax+4 xa? + 1) +2) 39-48 E Use las leyes de los logaritmos para combinar la expresión. 39. log35 + 5 log32 40. log 12 + 1 log 7 — log 2 41. log,A + log,B — 2 log, € 42. logs(a? — 1) — logs(x — 1) 43. 4log x — 3log(x? + 1) + 21og(x — 1) 44. In(a + b) + Ina — b) — 2Inc 45. In5 + 21nx + 3 In(x? + 5) 46. 2(logsx + 2 logs y — 3 log5z) 47. Flog(2x + 1) + 3[log(x — 4) — log(x* — 1? — 1)] 48. log, b + c log, d — rlog,s 49-56 E Use la fórmula de cambio de base y una calculadora para evaluar el logaritmo, correcto hasta seis decimales. Use log- aritmos naturales o comunes. 49. log,5 50. log52 51. log316 52. log¿92 53. log,2.61 54. log¿532 55. log, 125 56. log¡,2.5 As 57. Use la fórmula de cambio de base para mostrar que lor. = 1 2 1 3 En esta sección se resuelven ecuaciones relacionadas con funciones exponenciales y logarítmicas. Las técnicas que se desarrollan aquí se usarán en la siguiente sección para resolver problemas de aplicación. Ecuaciones exponenciales Una ecuación exponencial es aquella en la que la variable ocurre en el exponente. Por ejemplo, 2*=7 La variable x presenta una dificultad porque está en el exponente. Para tratar con esta dificultad, se toma el logaritmo de cada lado y luego se usan las leyes de los logarit- mos para “bajar a x” del exponente. 2=7 Ecuación dada ln 2* = In 7 Aplique el In en cada miembro xIn2=In7 Ley 3 (baje el exponente) x= 1n7 Despeje x In 2 = 2.807 Resultado de la calculadora Recuerde que la ley 3 de las leyes de los logaritmos establece que log, AS = C log, A. El método que se usa para resolver 2* = 7 es representativo de cómo resolver ecua- ciones exponenciales en general. Normas para resolver ecuaciones exponenciales 1. Aísle la expresión exponencial en un lado de la ecuación. 2. Tome el logaritmo de cada lado, luego utilice las leyes de los logaritmos para “bajar el exponente”. 3. Despeje la variable.