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materiales de matemáticas
Unidad 8. Funciones Matemáticas I - 1º Bachillerato
Concepto de funcion y funciones elementales
Las funciones describen fenómenos cotidianos, económicos, psicológicos, científicos… Tales funciones se obtienen
experimentalmente, mediante observación. Después, se idealizan y sirven de modelos para las grandes familias de funciones que
se conocen de cursos anteriores. Veamos el concepto de función y algunas de las familias de funciones más conocidas.
Concepto de función
Una función real de variable real es una aplicación f de en , de tal manera que a cada número real x Domf le hace
corresponder un único número real y =f (^) ( x), llamando también imagen de x. Recuerda que Dom f es un subconjunto de
, llamado dominio de la función f, el cual representa el conjunto de números reales de los que tiene sentido calcular la imagen.
El conjunto de todos los números reales que son imagen de los elementos del dominio se le llama imagen de f y se representa
por Im f. Normalmente a la variable x, se le llama variable independiente y a la variable y, variable dependiente.
Simbólicamente, una función se representa así:
( )
f : Domf
x y f x
Funciones lineales
Se describen mediante ecuaciones de primer grado, y = mx +n, y su representación gráfica es una recta. Recordemos que al
coeficiente mse le llama pendiente de la recta y al término independiente, n, ordenada en el origen. Si n = 0 la función lineal
queda de la forma (^) y =mx, y la recta pasa por el origen de coordenadas. Si m = 0 , la función es (^) y =n, cuya representación es
una recta horizontal que pasa por el punto (^) ( 0 , n). Además, si m 0 , la función lineal es creciente; y si m 0 , es decreciente.
Para hacer la representación gráfica de una función lineal basta con obtener dos puntos de la misma: (^) ( x 1 ,y 1 ), (^) ( x 2 ,y 2 ),
representarlos en unos ejes de coordenadas y unirlos mediante una recta. El dominio de una función lineal es todo.
Funciones cuadráticas
Se describen mediante ecuaciones de segundo grado,
2 y = ax + bx +c( a 0 ). Su representación gráfica es una parábola.
Recordemos que si a 0 la parábola se “abre hacia arriba”, y si a 0 la parábola se “abre hacia abajo”. El vértice de la parábola
es el punto más alto o más bajo de la parábola, cuya coordenada x viene dada por la expresión
2
b x a
= −. Por tanto, las
coordenadas del vértice son ,
2 2
b b f a a
−^ −
^
. La parábola corta al eje Yen el punto de coordenadas ( 0,^ c)y al eje Xen
los puntos ( x 1 , 0)y ( x 2 , 0), donde x 1 y x 2 son las soluciones de la ecuación
2 ax + bx + c= 0. Si la ecuación anterior tiene
una única solución, sólo habrá un punto de corte con el eje X, ( x 1 , 0), y la parábola será tangente al eje X. Si la ecuación
2 ax + bx + c= 0 no tiene soluciones reales, la parábola no corta al eje X, y estará toda ella por encima o por debajo del eje X
. Se llama eje de la parábola a la recta
2
b x a
= − , que es una recta vertical que pasa por el punto , 0 2
b
a
. El eje de la parábola
pasa por el vértice y divide a ésta en dos ramas simétricas. Es como un “espejo” en el que el reflejo de una rama de la parábola es
la otra rama de la parábola. El dominio de una función cuadrática es todo.
Funciones polinómicas
La ecuación de una función polinómica viene dada mediante un polinomio de grado n:
1 2 1 2 1 0
n n y a xn an x a x a x a
− = + (^) − + + + +
Su representación gráfica es una curva que se “dobla” varias veces, dependiendo del grado del polinomio. Su dominio también es
todo el conjunto de los números reales.
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Unidad 8. Funciones Matemáticas I - 1º Bachillerato
Funciones de proporcionalidad inversa
Son funciones cuya ecuación es de la forma
ax b y cx d
, con c 0. Su representación gráfica es una hipérbola cuyas asíntotas
son la recta horizontal
a y c
= , y la recta vertical
d x c
Las hipérbolas más sencillas son de la forma
k y x
= , cuya representación gráfica son hipérbolas cuyas asíntotas son los ejes de
coordenadas. En este caso, si k 0 , las ramas de la hipérbola se encuentran en el primer y tercer cuadrantes, y si k 0 , las ramas
de la hipérbola se encuentran en el segundo y cuarto cuadrantes.
El dominio de una función de proporcionalidad inversa,
ax b y cx d
, es
d
c
, ya que el punto
d x c
= − anula el
denominador, y sabemos que cuando el denominador es cero la expresión correspondiente no existe o no tiene sentido.
Funciones racionales
La ecuación de una función racional viene dada por una fracción algebraica, es decir,
( )
( )
p x y q x
= , donde p (^) ( x)y q x( ) son
polinomios. El dominio de una función racional es Dom f = − (^) x : q x( )= (^0) . Es decir, el dominio está formado por todo
el conjunto de los números reales, salvo aquéllos que anulan el denominador.
Las funciones raciones tienen representaciones gráficas muy variadas. Para poder hacer la representación gráfica de una función
racional debemos hacer un estudio detallado de la función: puntos de corte con los ejes, simetría, asíntotas, tendencias, monotonía,
extremos, puntos de inflexión, etc. Todo ellos se verá en los dos temas siguientes.
Funciones raíz o funciones radicales
Son funciones de la forma y = f (^) ( x)donde f es una función elemental cualquiera (por ejemplo, de las vistas anteriormente).
Su dominio es Dom^ f^ =^ x^ ^ :^ f^ ( x)^0 (recuérdese que la raíz cuadrada no es un número real si el radicando es menor
que cero). Por tanto, para calcular el dominio debemos resolver la inecuación f ( x) 0. El intervalo o intervalos solución de esta
inecuación coincide justamente con el dominio de la función.
Las funciones raíz también tienen representaciones gráficas muy variadas. Para hacernos una idea de la representación gráfica, al
igual que ocurre con las racionales, hemos de estudiar detalladamente la función, y para eso debemos tener en cuenta los
contenidos de los dos temas siguientes.
De todas formas, un caso particular muy sencillo son la familia de funciones del tipo y = kx, donde k es un número real. Su
representación gráfica es una rama de parábola que se encuentra por encima del eje Xy cuyo eje es precisamente el eje X. Un
ejemplo es la función y^ =^ −^2 x. Su representación gráfica es la siguiente:
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Unidad 8. Funciones Matemáticas I - 1º Bachillerato
Valor absoluto de una funcion
Recordemos que el valor absoluto de un número (^) xcoincide con el propio (^) xsi éste es positivo o cero, o con su opuesto, si (^) xes
negativo. Por tanto, la función “valor absoluto de x”, se define de la siguiente manera:
si 0
si 0
x x y x x x
^
−^
Obsérvese que esta es una función definida por trozos. Su representación gráfica es:
En general, la función valor absoluto de una función cualquiera f (^) ( x)se define así:
( )
( ) ( )
( ) ( )
si 0
si 0
f x f x y f x f x f x
Para representarla gráficamente, se representa la función f^ ( x)y se traslada, tomando como eje de simetría el eje X, la parte
de la gráfica de f ( x) que esté debajo del mismo, justamente por encima. Como ejemplo representaremos gráficamente las
funciones ( )
f x = x + x − x− , y su valor absoluto ( )
f x = x + x − x−.
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Unidad 8. Funciones Matemáticas I - 1º Bachillerato
Transformaciones elementales de funciones
Traslaciones verticales
Dada una función cualquiera y =f (^) ( x) y un número real positivo, (^) k 0 , la gráfica de las funciones y = f (^) ( x (^) )+k,
y = f (^) ( x (^) )−k son como la de y =f (^) ( x)pero trasladadas k unidades hacia arriba o hacia abajo, respectivamente.
Traslaciones horizontales
Dada una función cualquiera y =f (^) ( x) y un número real positivo, k 0 , la gráfica de las funciones y = f (^) ( x +k),
y = f (^) ( x −k) son como la de y =f (^) ( x)pero trasladadas (^) k unidades hacia la derecha o hacia la izquierda, respectivamente.
y = f ( x)
y = f ( x) + 3
y = f ( x) – 3
y = f ( x + 3 ) y = f ( x) y = f ( x – 3 )
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Unidad 8. Funciones Matemáticas I - 1º Bachillerato
Composicion de funciones. Funcion inversa de una funcion
Composición de funciones
Dadas dos funciones f y (^) gse denomina función compuesta de f y (^) g, y se designa por g f , a la función que transforma
x Domf en ( g f ) ( x ) =g ( f ( x)). Observa el siguiente esquema:
f g x ⎯⎯→ f x ⎯⎯→g f x
La expresión ( g f ) ( x)se lee f compuesta con g. Se nombra en primer lugar a la función f que está a la derecha porque es
la primera en actuar sobre (^) x. Obsérvese que para que la función compuesta g f tenga sentido se debe de cumplir que
f ( x ) Domg. Veamos un ejemplo.
Dadas las funciones ( )
f x x
y g x( )= 2 + x, vamos a hallar f g.
f g x f g x f x
x x^ x
+ − +^ −
g f x g f x f x x
−^ −
Observa que no se cumple en general que f^ g^ =g^ f, es decir, la composición de funciones no es conmutativa.
Función inversa o recíproca de una función
Se llama función inversa de una función f a otra función, que designaremos por
1 f
− , cumpliendo la siguiente condición:
a Domf y f ( a )=b, entonces ( )
1 f b a
−
Como consecuencia de la definición anterior se dan las relaciones siguientes:
f f^1 x f x f f x x
− (^) −
f 1 f 1 x f x f f x x
− (^) − ⎯⎯→ ⎯⎯→ =
La función inversa de
1 f
− es, a su vez, f. Por eso se dice, simplemente, que las funciones f y
1 f
− son inversas o recíprocas.
Es necesario hacer una observación: para que una función tenga inversa ha de ser inyectiva , es decir, cada valor y =f ( x)ha de
corresponder a un único valor de x, es decir, no puede haber dos valores distintos del dominio de f, x 1 y x 2 , tales que
y = f ( x 1 ) =f ( x 2 ) pues, si así fuera, la función inversa cumpliría lo siguiente:
1 1 1 1 f y f f x 1 f f x 2 f y x 1 x 2
− − − − = = = =
Lo cual es absurdo pues hemos supuesto que x 1 y x 2 son distintos.
El procedimiento práctico para hallar la inversa de y =f ( x) consiste en intercambiar las variables x e y, despejando
posteriormente la variable yen esta última expresión. Veamos un ejemplo.
Para hallar la inversa de la función g x( )= 2 + xdel ejemplo anterior procedemos así. Llamamos y^ =g^ ( x): y = 2 + x.
Intercambiamos las variables: x^ =^2 + y. Despejamos y: ( )
2 y = x − 2 y = x− 2. Por tanto, la función inversa de ges
1 2 g x x 2
− = −. Comprobamos finalmente que así es:
1 1 2 2 g g x g g x g x 2 2 x 2 2 x 2 x
− − = = − = + − = + − =
(^2 ) 1 1 1 g g x g g x g 2 x 2 x 2 x x
− − − = = + = + − = =
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Unidad 8. Funciones Matemáticas I - 1º Bachillerato
La funcion exponencial
Una función exponencial es de la forma ( )
x f x =a , donde a 0 y a 1. Las propiedades o características de la función
exponencial son las siguientes:
- Son continuas en todo el conjunto de los números reales (que es su dominio de definición), y pasan por los puntos( 0 , 1)
y (^) ( 1 , a), ya que
0 a = 1 y
1 a =a. De aquí se deduce que siempre cortan al eje (^) Yen el punto (^) ( 0 , 1).
- La imagen de la función exponencial es siempre el intervalo (^) ( 0 , + ).
- Si a 1 son crecientes, tanto más cuanto mayor sea a. El crecimiento de cualquiera de ellas llega a ser muy rápido, superando
incluso a cualquier función potencial del tipo
n y =kx. Es por ello que la expresión crecimiento exponencial es sinónimo de
crecimiento muy rápido. Además, si a 1 , se dan las siguientes tendencias:
x x → − a → ;
x x → + a → +
- Si 0 a 1 son decrecientes. Además se dan las siguientes tendencias:
x x → − a → + ; 0
x x → + a →
- Se abren siempre hacia arriba, es decir, son cóncavas.
- Se acercan indefinidamente al eje X sin llegar a cortarlo; por la izquierda si a 1 y por la derecha si 0 a 1. Es decir, el
eje Xes una asíntota horizontal.
- En matemáticas superiores la función
x y =e es extraordinariamente importante. Tanto es así que cuando se habla de “la
función exponencial”, sin mencionar cuál es su base, se está haciendo referencia a ella.
- También son exponenciales las funciones del tipo
kx y =a , ya que ( )
kx k^ x (^) a = a , es decir,
kx y =a es la función exponencial
de base
k a.
Como ejemplo representaremos a continuación las funciones 2
x y = ,
x
y
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Unidad 8. Funciones Matemáticas I - 1º Bachillerato
Funciones trigonometricas
Veremos las tres funciones trigonométricas más importantes: seno, coseno y tangente. Sabemos que los ángulos y + 2 k
son iguales en el sentido de que tienen las mismas razones trigonométricas. Por tanto, la gráfica de las funciones trigonométricas
se repetirá periódicamente en cada intervalo de longitud 2 (cada vuelta completa).
Función seno
Función coseno
Función tangente
