Miguel Leonardo
Instituto Superior de Formaci´
on Docente
Salom´
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na
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Algebra Superior I
Unidad I-Funciones y gr´
aficas
Profesor:
Miguel Antonio Leonardo Sep´
ulveda.
Santo Domingo, 10 de septiembre de 2021
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Funciones y Gráficas: Ejercicios Resueltos de Cálculo, Apuntes de Matemáticas
Funciones algebraicas, y temas relacionados con algebra.
Tipo: Apuntes
2020/2021
1 / 37
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Miguel Leonardo
Instituto Superior de Formaci´on Docente
Salom´e Ure ˜na
Algebra Superior I´
Unidad I-Funciones y gr´aficas
Profesor: Miguel Antonio Leonardo Sep´ulveda. ([email protected])
Santo Domingo, 10 de septiembre de 2021
Miguel Leonardo
´Indice general
- Funciones y gr´aficas Introducci´on III
- 1.1. La igualdad, desigualdad de n´umeros reales, Intervalos
- 1.1.1. Sistema de coordenadas cartesianas
- 1.2. Relaciones y funciones
- 1.2.1. Definici´on de funci´on, expresiones anal´ıticas y graficas
- 1.2.2. Dominio de una funci´on
- 1.2.3. C´alculo de dominio de funciones racionales e irracionales
- 1.3. Funciones especiales
- 1.3.1. Funciones definidas por partes
- 1.3.2. Funciones compuestas
- 1.4. Funciones inversas
- 1.4.1. Funciones sobreyectivas y biyectivas
- 1.4.2. Funciones pares e impares
- 1.5. Tasa de cambio y promedio de una funci´on
- 1.6. Nuevas funciones a partir de funciones ya conocidas
- 1.6.1. Desplazamientos vertical y horizontal
- 1.6.2. Alargamientos y reflexiones vertical y horizontal
- 1.6.3. Operaciones con funciones
Miguel Leonardo
- Funciones y gr´aficas 1
Funciones y gr ´aficas
1.1. La igualdad, desigualdad de n ´umeros reales, Intervalos
Conjuntos e intervalos
Un conjunto es una colecci´on de objetos, y estos objetos se llaman elementos del conjunto. Si S es un conjunto, la notaci´on a P S significa que a es un elemento de S, y b R S quiere decir que b no es un elemento de S. Por ejemplo, si Z representa el conjunto de enteros, entonces ´ 3 P Z pero π R Z. Algunos conjuntos pueden describirse si se colocan sus elementos dentro de llaves. Por ejemplo, el con- junto A que est´a formado por todos los enteros positivos menores que 7 se puede escribir como
A “ t 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 u
Tambi´en podr´ıamos escribir A en notaci´on constructiva de conjuntos como
A “ tx | x es un entero y 0 ă x ă 7 u
que se lee “A es el conjunto de todas las x tales que x es un entero y 0 ă x ă 7 ”. Si S y T son conjuntos, entonces su uni´on S YT es el conjunto formado por todos los elementos que est´an en S o T (o en ambos). La intersecci´on de S y T es el conjunto S X T formado por todos los elementos que est´an en S y T. En otras palabras, S X T es la parte com´un de S y T. El conjunto vac´ıo, denotado por ∅, es el conjunto que no contiene elementos.
Ejemplo 1 (Uni´on e intersecci´on de conjuntos). Si S “ t 1 , 2 , 3 , 4 , 5 u, T “ t 4 , 5 , 6 , 7 u, y V “ t 6 , 7 , 8 u, encuentre los conjuntos S Y T , S X T y S X V Soluci´on:
S Y T “ t 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 u Todos los elementos en S ˝ T S X T “ t 4 , 5 u Elementos comunes a S y T S X V “ ∅S y V no tienen elementos en com´un
Miguel Leonardo
Ciertos conjuntos de n´umeros reales, llamados intervalos, se presentan con frecuencia en c´alculo y co- rresponden geom´etricamente a segmentos de recta. Si a ă b, entonces el intervalo abierto de a a b est´a formado por todos los n´umeros entre a y b y se denota con pa, bq. El intervalo cerrado de a a b incluye los puntos extremos y se denota con ra, bs. Usando la notaci´on constructiva de conjuntos, podemos escribir
pa, bq “ tx | a ă x ă bu ra, bs “ tx | a ď x ď bu
Miguel Leonardo
Ejemplo 2 (Graficaci´on de intervalos). Exprese cada intervalo en t´erminos de desigualdades y, a conti- nuaci´on, grafique el intervalo.
r´ 1 , 2 q “ tx | ´ 1 ď x ă 2 u
r 1. 5 , 4 s “ tx | 1. 5 ď x ď 4 u
p´ 3 , 8q “ tx | ´ 3 ă xu
Ejemplo 3 (Hallar uniones e intersecciones de intervalos). Grafique cada conjunto.
a) p 1 , 3 q X r 2 , 7 s b) p 1 , 3 q Y r 2 , 7 s
Soluci´on:
a) La intersecci´on de dos intervalos consta de los n´umeros que est´an en ambos intervalos. Por lo tanto,
p 1 , 3 q X r 2 , 7 s “ tx | 1 ă x ă 3 y 2 ď x ď 7 u “ tx | 2 ď x ă 3 u “ r 2 , 3 q
b) La uni´on de dos intervalos consta de los n´umeros que est´an en un intervalo o en el otro (o en ambos). Por lo tanto, p 1 , 3 q Y r 2 , 7 s “ tx | 1 ă x ă 3 o 2 ď x ď 7 u “ tx | 1 ă x ď 7 u “ p 1 , 7 s
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- Funciones y gr´aficas 5
1.1.1. Sistema de coordenadas cartesianas
Cualquier punto P del plano coordenado puede ser localizado por un par ordenado de n´umeros pa, bq, como se muestra en la Figura (1.2). El primer n´umero a se llama coordenada x de P ; el segundo n´umero b se llama coordenada y de P. Podemos considerar las coordenadas de P como su “direcci´on”, porque especifican su ubicaci´on en el plano.
Figura 1.
Ejemplo 4 (Graficar regiones en el plano coordenado). Describa y trace las regiones dadas por cada conjunto.
a) tpx, yq | x ě 0 u b) tpx, yq | y “ 1 u c) tpx, yq||y |ă 1 u
Soluci´on:
a) Los puntos cuyas coordenadas x son 0 o positivos se encuentran sobre el eje y o a la derecha del mismo, como se ve en la Figura (1.3)paq.
b) El conjunto de todos los puntos con coordenada y “ 1 es una recta horizontal que est´a una unidad arriba del eje x, como se ve en la Figura (1.3)pbq.
c) |y| ă 1 si y s´olo si ´ 1 ă y ă 1 Entonces la regi´on dada est´a formada por los puntos del plano cuyos ejes coordenados y est´an entre ´ 1 y 1. Por lo tanto, la regi´on dada consta de todos los puntos que est´an entre (pero no sobre) las rectas horizontales y “ 1 y y “ ´ 1. Estas rectas se muestran como l´ıneas interrumpidas en la Figura (1.3)pcq para indicar que los puntos sobre estas rectas no est´an en el conjunto.
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- Funciones y gr´aficas 7
Soluci´on: Primero obtenemos el producto cartesiano, es decir:
A ˆ A “ p 2 , 2 q, p 2 , 3 q, p 2 , 6 q, p 3 , 2 q, p 3 , 3 q, p 3 , 6 q, p 6 , 2 q, p 6 , 3 q, p 6 , 6 q
R “ tp 2 , 2 q, p 3 , 3 q, p 6 , 6 qu
1.2.1. Definici´on de funci´on, expresiones anal´ıticas y graficas
Definici´on 3 (Funci´on). Una funci´on f es una regla que asigna a cada elemento x de un con- junto D, exactamente un elemento, llamado f pxq, de un conjunto E.
Ejemplo 8. ¿Cu´al de los gr´aficos que siguen no representa una funci´on?
Aq (^) Bq (^) Cq Dq
Ejemplo 9. ¿En cu´al de los gr´aficos se establece la relaci´on definida por el criterio “Multiplicar por ´ 2 , luego sumar 2”?
Aq Bq^ Cq^ Dq
Ejemplo 10. ¿Cu´ales de los siguientes diagramas de representan funciones?
Aq x 1 3 5 5 y 2 4 6 8
Bq x 1 3 5 7 y 2 2 6 4
Cq x 1 1 3 5 y 2 4 6 8
Dq x 1 3 3 5 y 2 8 4 6
Ejemplo 11. ¿A cu´al de las siguientes funciones corresponde el gr´afico?
Miguel Leonardo
Aq y “ x Bq y “ 2 x ´ 1 Cq y “ ´ 2 x ` 1 Dq y “ ´x
En resumen los ejemplos anteriores nos permiten establecer que existen cuatros formas de repre- sentar una funci´on.
1 q Verbalmente............... (por una descripci´on en palabras).
2 q Num´ericamente............ (por una tabla de valores).
3 q Visualmente............... (por una gr´afica).
4 q Algebraicamente............ (por una f´ormula expl´ıcita).
1.2.2. Dominio de una funci´on
En la definici´on (3) consideramos que D y E son conjuntos de n´umeros reales. El conjunto D se llama dominio de la funci´on. El n´umero f pxq es el valor de f en x y se lee “f de x”. El rango de f es el conjunto de todos los posibles valores de f pxq cuando x recorre todo el dominio. Un s´ımbolo que representa un n´umero arbitrario en el dominio de una funci´on f se llama variable independiente. Un s´ımbolo que representa un n´umero en el rango de f se llama variable dependiente.
Figura 1.4: Grafica de f
Miguel Leonardo
Ejemplo 13. Las gr´aficas de f y g est´an dadas en la figura (1.6).
aq Establezca los valores de f p´ 4 q y gp 3 q.
bq ¿Para qu´e valores de x es f pxq “ gpxq?
cq Estime la soluci´on de la ecuaci´on f pxq “ ´ 1.
dq ¿Sobre qu´e intervalo es decreciente f?
eq Establezca el dominio y el rango de f
f q Establezca el dominio y el rango de g.
Figura 1.6: Ejemplo (27).
Soluci´on: De aq bq, cq, dq, y eq.
aq f p´ 4 q “ ´ 2 y gp 3 q “ 4
bq x “ ˘ 2
cq x “ 3 y x “ 4
dq f es creciente en el intervalo p´ 4 , 0 q
eq Df “ r´ 4 , 4 s, Rf “ r´ 2 , 3 s.
f q Dg “ r´ 4 , 3 s, Rg “
2 ,^4
Miguel Leonardo
- Funciones y gr´aficas 11
Teorema 1 (La prueba de la vertical). Una curva en el plano xy es la gr´afica de una funci´on de x si y s´olo si no hay recta vertical que intercepte la curva m´as de una vez.
Figura 1.
Ejemplo 14 (Encontrar los valores de una funci´on). Para la funci´on f definida por f pxq “ 2 x^2 ´ 3 x, eval´ue
aq f p 3 q
bq f pxq ` f p 3 q
cq f p´xq
dq ´f pxq
eq f px ` 3 q
f q f^ px^ `^ h hq ´ f^ pxq, h ‰ 0
Soluci´on: Veamos.
aq Se sustituye 3 en lugar de x en la ecuaci´on de f para obtener
f p 3 q “ 2 p 3 q^2 ´ 3 p 3 q “ 18 ´ 9 “ 9
bq f pxq f p 3 q “ p 2 x^2 ´ 3 xq p 9 q “ 2 x^2 ´ 3 x ` 9
cq Se sustituye ´x en lugar de x en la ecuaci´on de f ,
f p´xq “ 2 p´xq^2 ´ 3 p´xq “ 2 x^2 ` 3 x
dq ´f pxq “ ´ p 2 x^2 ´ 3 xq “ ´ 2 x^2 3 x eq f px 3 q “ 2 px 3 q^2 ´ 3 px 3 q
“ 2
`
x^2 6 x 9
´ 3 x ´ 9 “ 2 x^2 12 x 18 ´ 3 x ´ 9 “ 2 x^2 9 x 9
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- Funciones y gr´aficas 13
ùñ x “ 0 _ x ´ 1 “ 0 ùñ x “ 1
Son los ceros del denominador, por lo tanto el dominio de gpxq es:
Dg “ p´8, 0 q Y p 0 , 1 q Y p 1 , 8q
dq Al igual que en el ejemplo cq esta es una funci´on racional , procedemos de manera similar:
2 x^2 ´ 3 x 1 “ 0 4 x^2 ´ 3 p 2 xq 2 “ 0 p 2 x ´ 2 qp 2 x ´ 1 q “ 0
De donde se deduce que: x “ 1 _ x “ 12 ,
luego el dominio es:
Dr “
Y
2 ,^1
Y
eq Nuestro ´ultimo caso es una expresi´on fraccionaria cuyo denominador es irracional, en este caso debemos determinar los valores reales para los cuales el denominador es estrictamente mayor que cero, es decir:
2 x ´ 3 ą 0 de donde se obtiene que: x ą (^32)
Luego el dominio es:
Dq “
2 ,^8
1.3. Funciones especiales
Conocer estas gr´aficas constituye el fundamento de las t´ecnicas avanzadas para graficar:
Funci´on lineal
f pxq “ mx ` b, donde m y b son n´umeros reales.
El dominio de una funci´on lineal es el conjunto de todos los n´umeros reales. La gr´afica de esta funci´on es una recta no vertical con pendiente m e intercepci´on y en b. Una funci´on lineal es creciente si m ą 0 , decreciente si m ă 0 y constante si m “ 0.
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Figura 1.8: f pxq “ mx ` b, m ą 0
Funci´on constante
f pxq “ b, donde b es un n´umero real.
Una funci´on constante es una funci´on lineal especial pm “ 0 q. Su dominio es el conjunto de todos los n´umeros reales; su rango es el conjunto que consiste en un solo n´umero b. Su gr´afica es una recta horizontal cuya intercepci´on y es b. La funci´on constante es impar y su gr´afica es constante en todo su dominio.
Funci´on identidad
f pxq “ x
La funci´on identidad tambi´en es una funci´on lineal especial. Su dominio es el conjunto de todos los n´umeros reales lo mismo que su rango. Si su gr´afica es una recta cuya pendiente es m “ 1 y cuya intercepci´on y es 0. La recta consiste en todos los puntos para los que la coordenada x es igual a la coordenada y. La funci´on identidad es una funci´on impar, creciente en todo su dominio. Observe que la gr´afica bisecta los cuadrantes I y III.
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El dominio y rango de la funci´on ra´ız cuadrada son el conjunto de n´umeros reales no negativos. La intercepci´on de la gr´afica est´a en p 0 , 0 q. La funci´on ra´ız cuadrada no es par ni impar, y es creciente en el intervalo p 0 , 8q.
Funci´on ra´ız c ´ubica
f pxq “ 3
x
El dominio y el rango de la funci´on ra´ız c ´ubica es el conjunto de todos los n´umeros reales. La inter- cepci´on de la gr´afica est´a en p 0 , 0 q. La funci´on ra´ız c´ubica es una funci´on impar que es creciente en el intervalo p´8, 8q.
Funci´on rec´ıproca
f pxq “ (^1) x
El dominio y rango de la funci´on rec´ıproca es el conjunto de todos los n´umeros reales diferentes de cero. La gr´afica no tiene intercepciones. La funci´on rec´ıproca es decreciente en los intervalos p´8, 0 q y p 0 , 8q y es una funci´on impar.
Miguel Leonardo
- Funciones y gr´aficas 17
Funci´on valor absoluto
f pxq “ |x|
El dominio de la funci´on valor absoluto es el conjunto de todos los n´umeros reales; su rango es el conjunto de n´umeros reales no negativos. La intercepci´on de la gr´afica est´a en p 0 , 0 q. Si x ě 0 , entonces f pxq “ x, y la gr´afica de f es parte de la recta y “ x; si x ă 0 , entonces f pxq “ ´x, y la gr´afica de f es parte de la recta y “ ´x. La funci´on valor absoluto es una funci´on par; es decreciente en el intervalo p´8, 0 q y creciente en el intervalo p 0 , 8q.
Funci´on m´aximo entero
f pxq “ entpxq “ entero m´as grande que es menor o igual que x
La gr´afica de f pxq “ entpxq se obtiene graficando varios puntos. Para valores de x, ´ 1 ď x ă 0 , el valor de f pxq “ entpxq es ´1; para valores de x, 0 ď x ă 1 , el valor de f es 0.