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Relaciones Funcionales
Sean A, B dos conjuntos no vacíos, que llamaremos dominio y contradominio respectivamente. Entende- remos por función de A en B toda regla que hace corresponder a cada elemento del dominio (A) un único elemento del codominio (B). Para denotar que f es una función de A en B, se escribe
f : A → B
se lee f es una función con dominio A y codominio B
De nición 1. f es una función de A en B si y solo si f es una relación entre A y B tal que todo elemento de A tiene un único correspondiente en B
Ejemplo Sean A, B conjuntos dados por
A = {− 1 , 0 , 1 , 2 }, B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }
y sea f la relación dada por (x, y) ∈ f ⇔ y = x^2 entonces se tiene que f = { (− 1 , 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) } ya que cada componente es el cuadrado de la primera Tenemos que todo elemento del dominio (A) tiene un correspondiente en el codominio (B), y además tal correspondiente es único en el sentido de que no se tienen dos pares ordenados distintos con la misma primera componente por tanto f es una función de A en B. Observación: Puede ocurrir que elementos distintos del dominio (A) les corresponda un mismo elemento en el codominio (B), como ocurre con − 1 , 1 , cuyos elemento correspondiente en el contra- domino (B) es 1 ; además puede ocurrir que elementos del contradomino (B) no tengan un corrres- pondiente elemento en el dominio (A), como ocurre con 2 , 3
De nición 2. f es una función de A en B si y solo si f es un subconjunto de A × B que satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad
i) ∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B tal que (a, b) ∈ f
ii) (a, b) ∈ f ∧ (a, c) ∈ f ⇒ b = c
Si (a, b) ∈ f decimos que b ∈ B es el correspondiente de a ∈ A y suele escribirse b = f (a), es decir, b es el transformado de a por la función f.
Ejemplo Sean A = {a, b, c, d} B = { 1 , 2 , 3 } determinar si la siguiente relación
f = {(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 1)}
es función.
Facultad de Ciencias UNAM Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
Solución Tenemos que se cumplen las condiciones de la de nición, y resulta que f es una función tal que
f (a) = 1, f (b) = 2, f (c) = 2, f (d) = 1
Ejemplo Sean A = {a, b, c, d} B = { 1 , 2 , 3 } determinar si la siguiente relación
f = {(a, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 1)}
es función.
Solución Tenemos que no se cumple la condicion i, ya que no todo elemento del dominio (A) tiene un correspondiente elemento en el codomino (B) pues d carece de elemento en el domino (A). También ii no se cumple pues un mismo elemento del dominio (A) tiene dos corrrspondientes en el codominio (B) por lo tanto ésta relación f no es función
Funciones Inyectivas
Sea una función f : A → B. Si ocurre que elementos distintos del dominio (A) tienen imagenes distintas en el codominio (B), entonces f se llama función inyectiva, biunívoca, o uno a uno
De nición 3. Una función f : A → B se dice que es inyectiva, biunívoca ó uno-uno si:
∀ x 1 , x 2 ∈ A tal que x 1 6 = x 2 ⇒ f (x 1 ) 6 = f (x 2 )
Equivalentemente, mediante la implicación contrarreciproca, podemos decir Una función f : A → B se dice que es inyectiva, biunívoca ó uno-uno si:
∀ x 1 , x 2 ∈ A tal que f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2
Ejemplo Sea f : N → N dada por f (x) = 2x. Para ver que f es inyectiva
Sean x 1 , x 2 ∈ Domf tal que f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ 2 x 1 = 2x 2 ⇒ x 1 = x 2 ∴ f es inyectiva
Ejemplo Sea f : R → R de nida por f (x) = x^3 Para ver que f es inyectiva Sean x 1 , x 2 ∈ Domf tal que f (x 1 ) = f (x 2 ) es decir
x^31 = x^32 ⇒ (x^31 − x^32 ) = 0 ⇒ (x 1 − x 2 )
x^21 + x 1 x 2 + x^22
= 0 ⇒ x 1 − x 2 = 0 o x^21 + x 1 x 2 + x^22 = 0
Si x 1 − x 2 = 0 ⇒ x 1 = x 2 Suponga ahora que
x^21 + x 1 x 2 + x^22 = 0 ⇒ x^21 + x^22 = −x 1 x 2 ⇒ x 1 , x 2 tienen signo distintos (1)
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Función Suprayectiva
Sea una función f : A → B. Si ocurre que todo elemento del codominio (B) es imagen de algún elemento del dominio (A), la función se llama suprayectiva, sobreyectiva
De nición 4. Una función f : A → B se dice que es suprayectiva si:
∀y ∈ B ∃x ∈ A tal que y = f (x)
en el caso de la sobreyactividad, el conjunto de las imagenes se identi ca con el codominio (B) de la función
Ejemplo Sea f : Z → Z dada por f (x) = −x + 1. Para ver que es suprayectiva tenemos que
∀ y ∈ Z ⇒ y = f (x) ⇒ y = −x + 1 p a x ∈ Z ⇒ x = 1 − y
por lo tanto f (x) = f (1 − y) = −(1 − y) + 1 = −1 + y + 1 = y y f es sobreyectiva
Ejemplo Sea f : R → R dada por f (x) = 2x. Para ver que es suprayectiva tenemos que
y ∈ R ⇒ y = 2x ⇒
y 2
= x
∴ f (x) = f
( (^) y 2
( (^) y 2
= y
por lo tanto f es suprayectiva,
Ejemplo Sea f : R → R dada por f (x) = 2x + 1 es una función suprayectiva pues dado b ∈ B tenemos que f (a) = b por tanto 2 a + 1 = b ⇒ a = b− 2 1 ∴ f (a) = f ( b− 2 1 ) = 2( b− 21 ) + 1 = b
Ejemplo Sea f : R → R dada por f (x) = x^3 es también una función suprayetiva pues si b ∈ B entonces f (a) = b ∴ a^3 = b ⇒ a = 3
b y f (a) = f ( 3
b) = ( 3
b)^3 = b
Función Biyectiva
De nición 5. Una función f : A → B se dice que es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva simultanea- mente.
Ejemplo La función f : R → R dada por f (x) = −x + 1 es biyectiva pues: Es inyectiva ya que
∀ a, b ∈ R con a 6 = b ⇒ − a 6 = −b ⇒ − a + 1 6 = −b + 1 ⇒ f (a) 6 = f (b) Es sobreyectiva pues
∀ y ∈ Z ⇒ y = f (x) ⇒ y = −x + 1 p a x ∈ Z ⇒ x = 1 − y
por lo tanto f (x) = f (1 − y) = −(1 − y) + 1 = −1 + y + 1 = y por lo tanto al ser inyectiva y sobreyactiva, f es biyectiva
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Composición de funciones inyectivas
Teorema 1. Si f : A → B y g : B → C son funciones inyectivas, entonces g ◦ f : A → C es inyectiva
Demostración. sean x 1 , x 2 ∈ Domf tal que g ◦ f (x 1 ) = g ◦ f (x 2 ) se tiene entonces que
g ◦ f (x 1 ) = g ◦ f (x 2 ) ⇒ g(f (x 1 )) = g(f (x 2 ))
como g es inyectiva se tiene que f (x 1 ) = f (x 2 ) y como f es inyectiva entonces x 1 = x 2 ∴ g ◦ f es inyectiva
Teorema 2. Si f : A → B y g : B → C son funciones suprayectivas, entonces g ◦ f : A → C es suprayectiva
Demostración. Hay que probar que ∀z ∈ C ∃x ∈ A tal que g ◦ f (x) = z, se tiene que por ser g : B → C sobre ∃y ∈ B tal que ∀z ∈ C g(y) = z dado que f es suprayectiva y y ∈ B ∃x ∈ A tal que f (x) = y por lo tanto g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = z. Por lo tanto dado z ∈ C ∃x ∈ A tal que g ◦ f (x) = z
Teorema 3. Si f : A → B y g : B → C son tales que g ◦ f : A → C es inyectiva entonces f es inyectiva
Demostración. Sean x 1 , x 2 ∈ A tal que f (x 1 ) = f (x 2 ) aplicando g se obtiene g(f (x 1 )) = g(f (x 2 )) por ser g ◦ f inyectiva se tiene x 1 = x 2 en consecuencia f es inyectiva
Teorema 4. Si f : A → B y g : B → C son tales que g ◦ f : A → C es suprayectiva entonces g es suprayectiva
Demostración. Sea c ∈ C como g ◦ f es suprayectiva, existe α tal que
c = g ◦ f (α) = g(f (α))
esto prueba que c ∈ Img
Teorema 5. Sea f la función f : A → B, entonces a) f es inyectiva si y solo si existe g : B → A tal que g ◦ f = IA
Demostración. Sea f inyectiva. Para cada y ∈ f (A) existe un único x ∈ A tal que f (x) = y. Sea a ∈ A jo de nimos g : B → A asi
g(y) =
x si y ∈ f (A)
a si y /∈ f (A)
es claro que (g ◦ f )(y) = g(f (y)) = IA
Teorema 6. Sea f la función f : A → B, entonces a) f es suprayectiva si y solo si existe h : B → A tal que f ◦ h = IB
Demostración. Sea f suprayectiva. Para cada y ⊆ B f −^1 (y) 6 = ∅, para y ⊂ B escogemos x ∈ f −^1 (y) y de nimos la función h : B → A como h(y) = x en consecuencia f ◦ h = IB
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Teorema 7. Una función admite inversa si es biyectiva
Demostración. Sean x 1 , x 2 ∈ A tal que f (x 1 ) = f (x 2 ) aplicamos g y obtenemos
g(f (x 1 )) = g(f (x 2 )) → (g ◦ f )(x 1 ) = (g ◦ f (x 2 )) → x 1 = x 2
∴ f es uno-uno Para ver que es uprayectiva sea y ∈ B aplicando la función identidad
y = IdB (y) = f ◦ g(y) → y = f (g(y))
por lo tanto si hacemos x = g(y) ∈ A se tien que f (x) = y ∴ al ser f inyectiva y suprayectiva entonces f es biyectiva
Teorema 8. Una función que es biyectiva admite inversa
Demostración. De nimos una función g : B → A mediante g(y) = x si f (x) = y, tenemos que ver que g satisface la de nición de función. En efecto todo elemento y del domino B tiene un correspondiente x en A, ya que, por se f sobreyectiva, todo y en B proviene de algún x en A. El correspondiente x asociado a y es único, por ser f inyectiva. En efecto si x 1 , x 2 fueran distintos de y por f se tendría x 1 6 = x 2 y f (x 1 ) = f (x 2 ) = y, lo cual es absurdo pues f es inyectiva Hay que ver que g ◦ f = IdA. Cualquiera que sea A se tiene
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(y) = x = IdA(x)
Ahora probaremos que (f ◦ g)(y) = IdB se tiene que
(f ◦ g)(y) = f (g(y)) = f (x) = y = IdB (y)
Al tener inversa izquierda e inversa derecha entonces la función admite inversa y ademas es única pues si g′^ fuera inversa se tendría que
g′^ = g′^ ◦ IdB = g′^ ◦ (f ◦ g) = (g′^ ◦ f ) ◦ g = IdA ◦ g = g
Ejemplo.-Probar que la función f (x) = (^) 1+xx admite inversa para x > − 1 Para ver que es inyectiva se tiene que dados x 1 6 = x 2 ∈ Domf tal que f (x 1 ) = f (x 2 ) se tiene entonces que x 1 1 + x 2
x 1 1 + x 2
⇒ x 1 + x 1 · x 2 = x 2 + x 2 · x 1 ⇒ x 1 = x 2
por lo tanto f es inyectiva Para ver que f es suprayectiva sea y ∈ Imf tenemos que ver que existe x ∈ Domf tal que f (x) = y. Si f (x) = y entonces x 1 + x
= y ⇒ x = y 1 − y
por lo tanto para y ∈ Imf se tiene que existe x = y 1 − y
∈ Domf tal que f (x) = y
Por tanto al ser f inyectiva y suprayectiva entonces f es biyectiva y por tanto admite una inversa
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