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Funciones
¿Qué es una función?
Una función es, en matemáticas, el término usado para
indicar la relación de correspondencia o dependencia
entre dos o más cantidades. Como dependencia, se
entiende la conexión entre las características de las
cantidades. Así, un cambio de una generará un efecto
en las otras. Este es un elemento muy importante en la
noción de función.
Por otra parte, la idea de dependencia está
intrínsecamente ligada a la de variación y variable,
pues la manera de predecir que una cosa depende de
otra es hacer variar cada una a su turno y constatar cuál
es el efecto de la variación. Se considera, pues, que los
principales elementos de las funciones son la
variación, la dependencia y la correspondencia.
Las funciones numéricas proporcionan una manera de
cuantificar y descubrir la dependencia entre variables y
también un modelo para el estudio del comportamiento
de la situación analizada.
Una función, que resulte de la modelación de un
hecho, posibilita hacer previsiones y tomar las
precauciones necesarias cuando la magnitud que se
estudia se acerca a valores que se consideran críticos.
Es por eso que resulta muy importante hacer un
análisis de las características globales de la función:
dónde crece, dónde decrece, cuán rápidamente lo hace,
dónde toma valores extremos, qué valor toma en cada
punto toma en cada punto, etc.
El matemático y filósofo francés René Descartes
(1596-1650) mostró en sus trabajos de geometría
que tenía una idea muy clara de los conceptos de
“variable’’ y “función’’, al realizar una
clasificación de las curvas algebraicas según sus
grados, reconociendo que los puntos de intersección
de dos curvas se obtienen
resolviendo, en forma
simultánea, las ecuaciones que
las representan.
Aportes matemáticos
- Es el creador de la geometría
analítica.
- Fue el primero en utilizar las coordenadas
cartesianas.
- Expresó por primera vez la duda sobre la
posibilidad de solución a la duplicación del cubo.
- Mostró que una ecuación tiene tantas raíces
positivas como cambios de signos hay en la serie de
coeficientes y tantas negativas como repeticiones de
signos.
- Dedujo que la ecuación de tercer grado se resuelve
por radicales cuadráticos.
- Estableció que una ecuación algebraica puede
tener tantas raíces como unidades tiene su potencia
mayor.
**- Distinguió curvas geométricas y mecánicas.
- Utilizo el símbolo infinito.**
Así como los números surgen de la necesidad de
contar, las funciones surgen a partir de la observación
de la relación existente entre cantidades que varían,
una en dependencia de otras. Cuando realizamos
mediciones de magnitudes físicas observamos que
existen muchas situaciones en las que una cantidad
depende de otra. Por ejemplo: la estatura de una
persona depende de su edad, la temperatura depende
de la fecha, el costo de enviar un paquete por correo,
de su peso. Todos estos son ejemplos de funciones,
decimos que la estatura es una función de la edad y
que el costo de enviar un paquete por correo es una
función de la masa del paquete.
DEPARTAMENTO DE
MATEMÁTICA
EL MATEMÁTICO DE LA WEB
CLASES VIRTUALES Y PRESENCIALES
MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA I CICLO - I
Tema: Funciones de variable real Semestre: 2019 - I
Turno: Noche Pabellón: A Aula: 201 A Semana: 02 - 03
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La estatura es una función de la edad
El costo es una función de masa
Aunque no existe una regla simple que relacione la
estatura con la edad, sí existe una que relaciona el
costo de enviar un paquete por correo con su masa (de
hecho, ésta es la que utiliza la oficina de correos).
Definición de términos básicos: Es importante que
definamos de manera precisa cada uno de los
siguientes términos:
Par ordenado: es un conjunto de dos elementos
considerados en un determinado orden ( ; )
(x; y) (y; x)
Producto cartesiano: Dados dos conjuntos no vacíos
A y B, el producto cartesiano es el conjunto de todos
los pares ordenados (x, y) de modo que la primera
componente le pertenece al conjunto A y la segunda al
conjunto B, es decir:
AxB ( , x y ) / x A y B
Relación: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se
denomina relación R de A en B ( : → ) a todo
subconjunto del producto cartesiano A x B, es decir:
R AxB
Dominio: llamado también conjunto de pre imágenes,
es el conjunto que tiene por elementos a todas las
primeras componentes de los pares ordenados
pertenecientes a la relación.
Dom R ( ) D x A / ( , x y ) R
R
Rango: llamado también conjunto de imágenes, es el
conjunto que tiene por elementos a todas las segundas
componentes de los pares ordenados pertenecientes a
la relación.
Ran R ( ) R y B / ( , x y ) R
R
Variable independiente: se refiere a la variable que
representa a los posibles valores del dominio.
Variable dependiente: se refiere a la variable que
representa a los posibles valores del rango.
Función: es una relación tal que a cada elemento del
dominio le corresponde exactamente un elemento del
rango. Es decir:
f
f x y RxR x D y f x
En términos formales:
Si ( , x y ) f ( , x z ) f y z
Notación de una función
Si f es una función definida en A con valores en B, que
a cualquier ∈ pone en correspondencia un y B
cualquiera, se simboliza por:
(x)
f A B
x y f
Donde la ecuación = ( ) se denomina REGLA
DE CORRESPONDENCIA entre x e y, además:
A: Conjunto de partida
B: Conjunto de llegada
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( 3 ) = (− 2 ) y (− 2 ) = ( 3 ).
Halla = ( 2 ) + ( 3 )
A. - 4 B. - 3 C.- 2 D. - 1
- Si ( ) es una función definida por
( ) = + + , tal que:
( 0 ) = 3 , ( 1 ) = 8 (– 1 ) = 2. Calcula el valor
de (– 2 ).
A 3 B. 4 C.5 D. 6
- La función ( ) = + + + , tiene
valores: ( 0 ) = 12 y (– 1 ) = 14. Calcular el valor
de ( 2 )
A. 30 B. 40 C.50 D. 60
- Dada la función
f (3 ;5), (11; ), ( ;10) a b c
con
regla de correspondencia ( ) = – 2.
Halla = + +
A. 5 B. 16 D. 19 E. 26
- Dadas las funciones
f ( ; a 19), (1; b )
y
g x ( ) 7 x 3.Si sabemos que (ℎ) = (ℎ) +
2 para todo valor de h. Halla +
A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 1
1 1. Halla ,
a
b
si f es una función
f (2; a 1), (2; b 2), (5; 2 a b ), (5; a 2)
A. - 1/2 B. - 1/5 C. 3/5 D. - 5/
1 2. El conjunto
f (2;3), (5; a b ), (2; a b ), (5;7) es
una función. Halla el valor de
2 2
a b
A. 25 B. 29 C. 34 D. 36
1 3. Halla a – b, siendo la función f definida en ℤ por:
2
f (2;5), (3;a ), (2;a b);(3; 4), (b;5)
A.- 9 B. - 6 C. 6 D. 9
1 4. Calcula. para que el conjunto de pares
ordenados sea una función
f (2; 4), (3; x y ), (5;6), (3;8), (2, x y )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 14
1 5. Dada la siguiente función
2
f (4; k ), (2;5 ), (7; 2 k k 1), (4; 2 k 1)
Halla el valor de k
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1 6. Halla la suma de los elementos del rango de la
siguiente función
2
f (1;5), ( ;6), (3; a a ), (3; 2 a 3)
A. 8 B. 9 D. 12 E. 13
1 7. Sean f y g dos funciones definidas en ℤ por:
f (2; a ), ( ; 2) b y ( ) = 3 + 1. Si se sabe que
( ) + 2 = ( ), halla el valor de +
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
1 8. Dado el conjunto A 1; 2;3; 4 , se definen las
funciones con dominio en A, tales que
f (1; k ), (2;5), (1;3), ( p k ; ), (3;5)
y ( ) = + 2. Halla la suma de todos los
elementos del rango de
A. 46 B. 48 C. 60 D. 62
1 9. Si el conjunto de pares ordenados:
2 2 2
a b c
f a a b c
bc ac ab
representa una función, calcula el valor de f(2)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 0. Si ( ) = + ; < 0 ; ( 0 ) = 2 ,
Halla (− 2 )
A. - 8 B. - 2 D. 2 D. 8
2 1. Señala el valor de: E f (-3) f (2) - f ( f (0)),
si:
(x)
x x
f
x x
A. 5 B. 7 C. 9 D. 18
- Si
2
3
(x) 1 ; 2 5,
x x
f x x
x x x
Calcula: P = F(-5) + F(3) + F(8)
A. 58 B.63 C. 65 D. 68
2 3. Dadas las funciones:
( ) = 3 + 2 y ( ) = + 2 − 4
Determina el valor de « a »,
Si: ( + 1 ) = ( ) + 3
A. - 4 B. - 3 C.- 2 D. - 1
2 4. Dada una función f(x) = mx + b definida mediante
la siguiente tabla:
x 1 2 3
f(x) 8 11 14
Halla (− 4 )
A.- 9 B. - 7 C. - 5 D. - 3
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2 5. Sean dos funciones reales definidas por
( ) = + 5 y
= − –. Si ( 2 ; 17 )
pertenece a la función f y además ( 3 ) = (− 1 ).
Halla el valor de − +.
A. - 30 B.- 29 C. - 28 D.- 27
2 6. Sean dos funciones reales definidas por
( ) = 2 – 5 y ( ) = 3 +.
Si ( ( )) = ( ( ), ¿cuál es el valor de a?
A.- 10 B.- 9 C. - 8 D.- 7
2 7. Sabiendo que
2
f ( ) x x 2 x 2 y
3 3
g (x) 2 x x 3 x 1.
Determina el valor de « a », si f(a) = g(-8)
A.- 3 B. - 2 D. 2 E. 3
2 8. Sean f y g dos funciones reales definidas por:
( ) = 3 + ( ) = − 1. Si ( 2 , )
pertenece a ambas funciones; calcula (− 2 )
A. - 11 B. - 5 C. 5 D. 11
2 9. Si ( ) = +. Además
( ( )) = 8 + 24 +. Halla el valor de:
E = a + b + c
A. 24 B.26 C. 28 D. 29
3 0. Sea f una función definida en R con regla de
correspondencia ( ) =. Si ( − ) = 5 y
además ( + ) = 3 ; entonces el valor de
( – ) es:
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
31. Sea f: R R, definida por:
2
si x
f x x si x
x si x
Encuentra:
a. f(-10) = 3 b. f(-3) = - 9
c. f(0) = - 3 d. f(14) = 193
- Con respecto al gráfico de la función f de la figura,
¿cuál de las siguientes alternativas es falsa?
A) (− 2 ) = − ( 2 )
B) ( 0 ) = ( 0 , 5 )
C) ( 1 ) > ( 3 )
D) f es creciente en el intervalo [− 2 , 3 ].
E) f es decreciente en el intervalo [ 2 , 3 ].
Gráfica de una función:
La gráfica de una función = ( ) es el conjunto de
todos los pares ordenados (x; y), donde x pertenece al
dominio de la función e y es el valor que toma la
función f en el elemento x.
Para dibujar la gráfica de una función f se hace una
tabla de las coordenadas (x; f(x)) para distintos valores
de la variable x en el dominio de la función. Después
se representan todos esos puntos en el plano
cartesiano. Si la función no tiene saltos y no representa
cambios bruscos de dirección, se pueden unir todos los
puntos con una línea continua, es decir, sin levantar el
lapicero del papel.
Ejemplo: Se quiere dibujar la gráfica de la función
( ) = – 2. Su dominio es el conjunto de todos
los números reales. Se da a continuación una tabla de
los pares (x; y) tales que = – 2 :
x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
x
2
L a gráfica de una función f está formada por los
puntos de la forma (a; f(a)), donde a es un punto
cualquiera del eje X y f(a) se encuentra en el eje Y.
Teorema: Una relación es una función si y solo si toda
recta vertical corta a la gráfica de a lo más en un
punto.
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Si adicionalmente, evaluamos la función en otros
valores de x, podemos bosquejar sus gráficas, como se
aprecia en los ejemplos anteriores
Crecimiento y decrecimiento de una función
Dada una función ( ) y dos valores = y =
tales que < :
Si ( ) > ( ), la función es creciente entre a y b.
Si ( ) < ( ), la función es decreciente entre a y b.
Si ( ) = ( ), la función es constante entre a y b.
El crecimiento y decrecimiento de una función son
propiedades locales, es decir, no se estudian
globalmente, sino por intervalos.
Máximos y mínimos en una función
Una función ( ) tiene en = un máximo cuando
a su izquierda la función es creciente y a su derecha
decreciente. Y tiene un mínimo, si a su izquierda la
función es decreciente y a su derecha creciente.
Funciones continuas y discontinuas
Una función es continua si su gráfica puede dibujarse
de un solo trazo, es decir, si no presenta puntos de
discontinuidad. Una función es discontinua si tiene
puntos en los cuales una pequeña variación de la
variable independiente produce un salto en los valores
de la variable dependiente. A estos puntos se les
denomina puntos de discontinuidad. Los puntos de
discontinuidad pueden ser de dos tipos:
Puntos en los que la función no está definida, es decir,
los puntos que no pertenecen al dominio de la función,
gráfica a.
Puntos en los que la gráfica presenta un salto.
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Función periódica
Una función es periódica si su gráfica, o las imágenes
de los valores de x, se repiten cada cierto intervalo. A
la longitud del intervalo, T, se le llama período y
significa que:
siendo k un número entero.
Funciones simétricas
Una función puede ser simétrica respecto del eje de
ordenadas o respecto del origen. Se denominarán
funciones pares o impares, respectivamente.
Estudiamos dos tipos de simetrías
Simetría respecto del origen. Una función es
simétrica respecto del origen cuando verifica que
(− ) = − ( ). Este tipo de función se llama
función impar.
Simetría respecto del origen: Una función es
simétrica respecto del origen cuando verifica que
(− ) = − ( ). Este tipo de función se llama
función impar.
Cuando realizamos el estudio completo de una función
lo que hacemos es estudiar todas sus propiedades:
continuidad, dominio, rango, puntos de corte con los
ejes, crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos,
simetría y periodicidad.
Ejemplo 01
Dominio:
Crecimiento y decrecimiento
Creciente [-1; 3 ]
Decreciente [3; +∞[
Máximos y mínimos
Máximos: (3; 4)
Ejemplo 02.
Dominio: Dominio ( ) =
Puntos de corte
Eje x: (-4,0), (-1,0), (3,0)
Eje y: (-3, 0)
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involucradas en la regla de correspondencia de la
función dada.
Para la suma, resta, multiplicación y potenciación
sabemos que no hay restricción en el conjunto de
números que pueden relacionarse por medio de estas
operaciones. Para la división si hay una restricción, ya
que sabemos que no podemos dividir entre cero. Para
la radicación o extracción de raíces, tenemos
restricción si el índice de la raíz es par, es decir,
debemos restringirnos a operar solo con números
reales no negativos; si el índice de la raíz es impar no
tenemos restricción. Entonces, solo tenemos
problemas de búsqueda de dominios para aquellas
funciones que pueden ser comparadas, en su forma,
con las siguientes funciones:
f (x) ;
x
f ( ) x x
Busquemos el dominio de estas funciones.
Dominio de funciones que contienen fracciones
Para la función f definida por la regla:
f (x)
x
tenemos que la división del número 1 entre algún
número x en R solo es posible si x 0 Así, el
conjunto de números que esta función puede operar es:
R 0
Ejemplo Encuentra el dominio de la función
(x)
f
x
Esta función es comparable con la
función
x
según su forma, pues es una división entre
una expresión que contiene a la variable x. Entonces
para buscar el dominio, primero resolvemos la
igualdad: x 3 0
Despejando la variable x, tenemos:
x 3
Segundo,
eliminamos del conjunto R, este valor, y el conjunto
resultante es el dominio buscado. Entonces:
f
D R
Dominio de funciones que contienen raíces
Para la función g definida por la regla: f (x) x
tenemos lo siguiente: las raíces pares existen solo si el
radicando es mayor o igual a cero, es decir, es no
negativo, entonces debemos resolver la desigualdad:
x 0.
La solución de esta desigualdad nos conduce al
intervalo:
0, el cuál es el dominio de la función
dada.
Ejemplo Encuentra el dominio de la función
f (x) x 5
Si comparamos esta función con la función x
vemos que son similares en la forma, es decir, f es la
obtención de una raíz de índice par. Entonces
procedemos a buscar el dominio resolviendo la
desigualdad: x 5 0
Despejando la variable x, tenemos: x 5. Y esto nos
conduce al intervalo
5, Entonces:
f
D
Vamos ahora a generalizar esta manera de encontrar
dominios.
Si la función dada es la división entre una expresión
que contiene a la variable x, resolvemos la ecuación:
Denominador 0.
Procedemos a eliminar de R los valores encontrados en
la solución de la ecuación anterior, y el conjunto
resultante es el dominio.
Si la función dada contiene una raíz de índice par,
resolvemos la desigualdad:
Radicando 0
El conjunto solución resultante es el dominio buscado.
Cuando la regla de correspondencia de la función
contiene raíces en el denominador, es necesario
imponer las dos condiciones anteriores.
Ejercicios
- Determina el dominio y rango de las siguientes
funciones:
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- Dadas las funciones:
f (x) 3x 2; x 0; 2
g (x) 1 x; x 2;
Halla: ( ) ∪ ( )
A. R B. [-4, 4] C. D.
- Halla el dominio de la función
f ( ) x x
x
.. –
{ 0
}
. −
{ − 1
}
. − { 1 }
- Halla el dominio de la función
2
f x
x
. − {− 2 ; 2 }. − {− 2 } . − { 2 }. ] − 2 ; 2 [
- Calcula el dominio de la función
f (x) 2 x x 3
Y da como respuesta la suma de sus valores enteros
. − 3. − 1. 1. 3
- Halla el dominio de la función
(x)
x
f
x
A. R
B. R
C.
, 0 D.
0,
07. Halla el dominio de la función f (x) 1 1 x
A. R B. [0, 1] C. D. [-1, 0]
- Halla el dominio de la función
2
2
(x)
x x
f
x
A.
B.
C.
D.
- Halla el rango de la función
(x)
x
f
x
A. R - {0} B. R - {1}
C. R - {2} D. R - {3}
- Halla el rango de f, si
2
f (x) 4 x 16 x 17
A.
1;1 B.
C.
1; D.
1 1. Determina el dominio y rango de las siguientes
funciones:
1 2. Calcula el ( ) ∩ ( ) para la función:
2
(x)
x x
f
x x
A.
2;5 B.
C.
D.
1 3. Sea la función
2
(x) ; 3 2
x x
f x x
x x
Halla
el rango de f.
A.
B.
C.
0;9 D.
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C.
1;0 D.
3 0. Dada la función f según:
2
f (x) 2 x 16 x 16;
1 x 5
Hallar: ( ) ∩ ( )
A.
B.
C.
2;5 D.
Función Inyectiva, Suryectiva y
Biyectiva
"Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan
información sobre el comportamiento de una función.
Función Inyectiva Una función puede tomar el
mismo valor en diferentes puntos de su dominio, tal es
el caso de la función:
2
f (x) x
que toma el mismo valor para elementos opuestos de
su dominio, por
Ejemplo:
En el caso de la función:
f (x) (x 3)(x 5)
tenemos que.
f (3) 0 y f(5) 0
Las funciones para las que esta clase de repetición no
tiene lugar, se denominan inyectivas.
Definición: Una función es inyectiva o univalente
(uno a uno) si y solo si a elementos distintos del
dominio le corresponden imágenes distintas es decir:
1 2 1 2
si x x f ( x ) f ( x )
En forma equivalente:
1 2 1 2
Si f ( x ) f ( x ) x x
Observa en el gráfico siguiente como TODOS los
elementos del conjunto X , tienen diferente imagen en
el conjunto Y.
Observación
En toda función inyectiva se cumple que cualquier
recta horizontal intercepta a su gráfica en no más de un
punto.
Sea la función f : R R dada por
2
f ( ) x x
En matemáticas, una función es inyectiva si a cada
valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor
distinto en el conjunto (imagen). Es decir, a cada
elemento del conjunto A le corresponde un solo valor
tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más
elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales, dada
por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede
obtenerse como ( 2 ) ( − 2 ). Pero si el dominio se
restringe a los números positivos, obteniendo así una
nueva función entonces sí se obtiene una función
inyectiva.
Función Suryectiva Es aquella donde cada elemento
del conjunto de llegada (Rango) es imagen de algún
elemento del conjunto de partida (Dominio). Es decir
el conjunto de llegada e imagen son iguales.
Definición: Sea : → una función. La función f
es suryectiva o sobreyectiva si para todo y є B, existe
x є A, tal que ( ) =. Es decir, f es suryectiva si
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En el gráfico siguiente observa como TODOS los
elementos del conjunto Y , son imagen de los
elementos del conjunto X.
Función Biyectiva: Sea : → una función. La
función f es biyectiva si y solo si es inyectiva y
suryectiva.
para ser más claro se dice que una función es biyectiva
cuando todos los elementos del conjunto de partida en
este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto
de llegada, que es la regla de la función inyectiva.
Sumándole que cada elemento del conjunto de salida le
corresponde un elemento del conjunto de llegada, en
este caso (y) que es la norma que exige la función
sobreyectiva.
Teorema : Si es una función biyectiva, entonces su
función inversa existe y también es biyectiva.
Ejercicios
- ¿Cuántas de las siguientes gráficas corresponden a
funciones inyectivas?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
- Halla el valor de
2 2
x y sabiendo que la función
f es inyectiva
f 5; 1 , 3; 2 , 2 x y ; 1 , (y x; 2), (x;6)
A. 1 B. 4 C. 5 D. 13
- Indica el conjunto de valores de k, de tal manera
que la función f sea inyectiva.
2
kx
f x y R y
x
A. {4} B. R – { 1 }
C.R – {-4} D. R – {4}
- Dada la función
f : m ;7 n ;3 m con regla de
correspondencia
f ( ) x 5 2. x
determina el valor de
A. - 10 B. - 8 C. 8 D. 10
- Dada la función
f : a ;10 20; b con regla
de correspondencia
2
f ( ) x x 4 x 32.Halla a + b
para que f sea biyectiva.
A. 6 B. 18 C. 28 D. 34
- Dada la función
2
3
(x)
x x
f
x x
Determina si la función es inyectiva y halla su rango.
A.
Si ; 1; 1 B.
Si ; 1;
C.
No ; 1; 1 D.
No ; 1;
- Si f es una función inyectiva definida por
2
f ( ; x x 2 ) / x x ; k 5 entonces es
verdad que:
. ≤ 2. ≤ 5 . ≤ 6. ≤ 7
- Sea
2
f ( ) x x 2 x 1 una función sobreyectiva
cuyo dominio es
2;10 y rango
a b ; 1 .Halla el
valor de a.
A. - 1 B. 1 C. 80 D. 81
- Dada la función
f : 0;3 3; B definida
por:
2
(x)
x
x
f
x x
Halla B para que f sea
suryectiva.
A.
7; 2 B.
C.
; 7 2; D.
- Dada la función : ↦ con regla de
correspondencia
x x k
f x
x x k
Halla k, si f es biyectiva.
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C.
5;1 1; D.
2 4. Con respecto a la función:
2
2
x
f a b f x
x
Calcula ,
b a
E a b si la función es suryectiva.
A. 1,25 B. 1,
C. 1,75 D. 2,
2 5. Sea
f : 0;5 1;7 definida por:
2
x x
f x
x x x
Se cumple que:
A. f es inyectiva y sobreyectiva
B. f es inyectiva pero no sobreyectiva
C. f es sobreyectiva pero no inyectiva
D. f no es inyectiva ni sobreyectiva
2 6. Con respecto a la función:
2
f ( ) x ( ; x y ) R / y 4 x 7
es correcto afirmar que:
A. Es inyectiva B. Es biyectiva
C. Es sobreyectiva D. No es función
2 7. Dados los conjuntos
∧ = { 1 ; 2 } y la función ∶ ↦.
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
I. {(1;1), (2;1), (3;2)}es sobreyectiva
II. {(1;2), (2;2), (1;3)} es inyectiva
III. {(1;2), (2;2), (3;1)} es sobreyectiva
A. VVV B. VVF
C. VFV D. VFF
2 8. Dada la función:
f : 1;1 ;0 con regla
de correspondencia
x
f x
x
¿Qué clase de función es f?
A. Inyectiva B. Suryectiva
C. Biyectiva D. No es función
2 9. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
I. f (x) 3 x x Es inyectiva
II. f : 3; 1;
con regla de
correspondencia
2
f (x) x 6 x 10 es biyectiva
2
III. f ( ) x 3 x 6 x 3 es inyectiva
x ; 1
A. Solo I B. I y II
C. II y III D. Solo III
3 0. Dadas las funciones:
f : R A / f ( ) x x
x
g R R g x
Donde
A x R / x 0
Señala la proposición verdadera
A. f y g son suryectivas
B. f es inyectiva y g es suryectiva
C. f y g son inyectivas
D. f es suryectiva y g es inyectiva
Operaciones con funciones
Las operaciones de suma, resta, multiplicación y
división entre funciones son posibles y semejantes a
las correspondientes efectuadas con los números.
Suma de funciones.- Sean y dos funciones y
supongamos que denotan los dominios de y
, respectivamente. La función + está definida
por
El dominio de + ∩
Diferencia de funciones.- Sean y dos funciones y
supongamos que denotan los dominios de y
, respectivamente.
La función − está definida por
El dominio de − ∩
Producto de funciones.- Sean y dos funciones y
y denotan los dominios de y ,
respectivamente.
La función ⋅ está definida por
El dominio de ⋅ ∩
División de funciones.- Sean y dos funciones y
, sus dominios respectivamente. Entonces la
función
f
g
está definida por:
( )
x
f f x
g x
g g x
El dominio de
f
g
es ∩ excluyendo los valores
de para los cuales ( ) = 0.
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Ejemplo: Combinaciones de funciones y sus dominios
Sean
f x
x
y
g x x
a) Encuentre las funciones f g , f g ,
f g y
f
g
y sus dominios
b) Encuentre
f g 4 ,
f g 4 ,
fg 4 y
(4)
f
g
Solución
a) El dominio de f es
x / x 2
y el dominio de g
es
x / x 0. La intersección de los dominios de f
y g es
x / x 0... ... y x 2 0, 2 2,
Así se tiene x
x
f g x f x gx
Dominio x x 0 ... y ... x 2
x
x
f g f x g x
Dominio
x x 0 ... y ... x 2
x
x
fg x f xgx Dominio
x x 0 ... y ... x 2
f x
f
x
g g x
x x
Dominio
xx 0 ... y ... x 2
Hay que observar que en el dominio de
f
g
se excluye
0 porque g 0 0.
a) Cada uno de estos valores existe porque x 4
está en el domino de cada función.
f g f g
f g f g
4 1
fg f g
f
f
g g
Función compuesta : Una función compuesta es una
función que está formada por la composición de dos
funciones, es decir, la función resultante de aplicar a x
una función en primer lugar y a continuación a este
resultado le aplicamos una nueva función.
La forma en que denotamos la función compuesta es
un pequeño círculo entre las dos funciones o ( ( )),
que quiere decir que en primer lugar se aplica la
función , y al resultado la función.
( ) (g( ))
X Y Z
x g x f x
Dadas las funciones f y g, la función compuesta fog
está definida por:
( f g )( ) x f ( g x ( ))
En un diagrama de flechas, lo vemos de la siguiente
manera:
Definición: Dadas dos funciones , tales que
: → : → , donde es necesario que la
imagen de f esté contenida en el dominio de g, se
define la función compuesta de : ( ( )) (tened
mucho cuidado ya que para leerlo o nombrarlo se
hace al revés de cómo se escribe) como ( ∘ )( ) =
( ( )), para todo x perteneciente a. Lo podemos
representar como:
Hay que señalar que la función compuesta definida de
esta forma está bien definida ya que cumple las dos
condiciones necesarias: la de existencia y la de
unicidad.
Condición de existencia: Para todo valor de x del
dominio de f podemos hallar ( , ( )), y para
cualquier elemento = ( ) del dominio de g
podemos hallar ( , ( )) = ( ( ), ( ( ))). Por lo
tanto, podemos decir que ( ( ) cumple la condición
de existencia. Veamos ahora que pasa con la condición
de unicidad.
Condición de unicidad: Como tanto f como g son
funciones que están bien definidas, para cada valor de
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Solución
a) f g x f g x Definición de f g
f 2 x
Definición de
g
2 x Definición de f
4
2 x
El dominio de f g es
x 2 x 0 x x 2 , 2
b) g f x g f x Definición de g f
g x Definición de f
2 x Definición g
Para que x esté definida, se debe tener x 0. Para
que 2 x esté definida, se debe tener
2 x 0 , es decir, x 2 , o bien x 4. Así,
se tiene
0 x 4
, por lo tanto el dominio de
g f es el intervalo cerrado 0 , 4 .
c) f f x f f x Definición de f f
f x Definición de f
x Definición de f
4
x
El dominio de
f f
es 0 ,
d) g g x Definición de
g 2 x Definición de g
2 2 x Definición de g
Esta expresión se define cuando
2 x 0 .. y .. 2 2 x 0. La primera
desigualdad significa x 2 , y la segunda es
equivalente a 2 x 2 , o 2 x 4 , o x 2.
Por lo tanto, 2 x 2 , así que el dominio de
es 2 , 2
Ejercicios
01. Dadas las funciones f ( ) x 2 x 5 y
2
x
g x
x
hallar °.
Rpta.:
2
x x
g f x
x
02. Dadas las funciones f ( ) x 3 x 1 y
2
4
x
g x
x
hallar °.
Rpta.:
2
x
g f x
x x
- Si
(x)
x
f
y ( ) = 4 + 5 , encontrar
a) 3 ( ) + 2 ( ) b) ( ) – ( )
c) [ ( 2 )] d) [ ( 10 )]
04. Si h (x) x 6 y ( ) = 7 + 2 , encontrar
a) (ℎ )( 6 ) b) ( ℎ)( 6 )
c) (ℎ ° )( 6 ) d) ( ° ℎ)( 6 )
Encuentre el resultado de efectuar la operación
indicada.
- Si ( ) = 7 – 4 y ( ) = + 9 , encontrar
a) ( + )( ) b) ( )( )
c) ( / )( ) d) ( ° )( )
- Si
(x)
x
f
x
y ( ) = + 4 , encontrar
a) ( − )( ) b) ( ° )( )
c) ( ° )( ) d) ( )
- Si ( ) = 4 y ℎ
= − 8 , encontrar
a) ( 10 ) b) (ℎ ° )( )
c) ( ° ℎ)( ) d) (ℎ ° )( 4 )
- Si v(x) = 2x
2
- 3x +2 y w(x) = 5x +1, encontrar
a) ( + )( 2 ) b) ( )( 1 )
c) ( / )( 0 ) d) ( ° )(− 1 )
- Si ( ) = 2 / 3 y ( ) = − 9 , encontrar
a) ( )( 9 ) b) ( / )( 9 )
c) ( ° )( ) d) ( ° )(− 6 )
- Si
(x)
x
f
y ( ) = 4 + 5 , encontrar
a) 3 ( ) + 2 ( ) b) ( ) – ( )
c) [ ( 2 )] d) [ ( 10 )]
Función Inversa.
Existen diferentes definiciones de función inversa,
aunque el concepto matemático es el mismo. Para
hallar la inversa de una función no se requiere de la
utilización de la definición.
g g x g g
g g
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Definición de Función Inversa.- Se llama función
inversa o reciproca de f a otra función
1
f
que
cumple que: Si ( ) = , entonces
1
f ( ) b a.
La notación
1
f
se refiere a la inversa de la función f
y no al exponente −1 usado para números reales.
Únicamente se usa como notación de la función
inversa.
Entonces, en lenguaje algebraico si tenemos una
función;
f A B
x f x y
La función inversa será;
1
1
f B A
y f y x
Propiedades: La inversa de una función cuando
existe, es única. La inversa de una función cualquiera
no siempre existe, pero la inversa de una función
biyectiva siempre existe. Las gráficas de y
1
f
son
simétricas respecto a la función identidad =.
Método para Hallar la Inversa de una Función
Aunque existen varios métodos para hallar la inversa,
los siguientes pasos ayudan a obtener la inversa de la
función f (x).
Procedimiento
- Se asila x en la ecuación y = f(x).
- Se intercambian x por y y viceversa para obtener
y = f
- 1
(y)
Ejemplo: Determina la inversa de la siguiente función.
a) ( ) = 4 + 5
Escribimos = ( ): = 4 + 5
Se despeja :
y
x
Se intercambia x e y :
x
y
La inversa es:
1
(x)
x
f
Criterio de la Recta Horizontal
Gráficamente se puede verificar si una función tiene
inversa aplicando el criterio de la recta horizontal,
( ) tiene Inversa sí y solo sí toda recta horizontal
corta a la curva de ( ) en un solo punto.
Ejemplo : de obtención de la función inversa de f
x
f x
Solución
Para calcular
1
f ,
aislamos x:
x
y
5 y 2 x 1 5 y 1 2 x
y
x
Cambiamos x por y:
x
y
1
x
f x
Ejercicios
- Halla la función recíproca (inversa) de:
f x
x
Comprueba el resultado. Rpta.:
1
x
f x
x
