Funciones compuestas, Ejercicios de Matemáticas

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fundamental llamada composición , la cual se considera como una función de función y se define así: La función de f con g, denotada por f o g y que se lee «f composición g» es la función cuyo dominio consiste en los elementos tales que g(x) y cuya regla de correspondencia es: Ejemplo :

• Del gráfico adjunto determinar F o G Se consideran sólo los elementos asociados a líneas que hacen el recorrido completo de A hacia C , pasando por B. dEFINICIÓN : Si f y g son dos funciones en sus dominios respectivos, se define la composición de funciones denotados por fog ‘‘f compuesta con g’’ , así :
• Sean los conjuntos A , B y C y las funciones f y g tal que :
• Los siguientes diagramas ilustran la definición anterior.
• De esta representación gráfica se tiene : nota La composición de funciones es una operación no conmutativa es decir : Ejemplo 1 : Determina la función f o g siendo : Resolución: *Para que exista la función f o g es necesario , según la definición , que el rango de g se encuentre contenido en el dominio de f, esto es, que exista. Si g tiene dominio en A y rango en B , y f tiene rango en C, entonces f o g tiene dominio en A y rango en C. La figura da un diagrama de f o g para este ejemplo. La función compuesta será : Ejemplo 2 : Dadas las funciones:

Hallar : A) f o g B) g o f Resolución: A) Veamos si existe f o g

• Entonces existe f o g
• Nos interesa los pares ordenados de g y f que tengan como segundas y primeras componentes A : – 1 ; 2 y 5 respectivamente. Luego :
• También : B) De manera similar , se halla g o f
• Luego : Ejemplo 3 : Determine f o g si : Resolución :
• Si x = 0
• Si x = 1
• Si x = 2
• Si x = 3; no existe Ejemplo 4 : Dadas las funciones : Halle la función f tal que: h = f o g Resolución :
• Como : h(x) = (f o g)(x) = f(g(x))
• Entonces:
• También : Ejemplo 5 : Dadas las funciones : Hallar el producto de los elementos del rango de la función : h = (f o g) + (g o f) Resolución :
• En este caso es posible seguir el siguiente procedimiento :

• En (2) :
• En (1) : Domf o g =
• Además :
• Hemos determinado f o g indicando su regla de correspondencia y su dominio. Ejemplo 7 : Dadas las funciones f y g , tales que : Hallar : f o g si existe. Resolución : A) Primero veamos si existe f o g Dom f : Ran g : – 1