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FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
Cuando en una función empleamos como dominio a números reales, haciéndoles
corresponder un único número real, tenemos una función de variable real. Es decir:
f : X ⊆ R →Y ⊆ R
Todo elemento del conjunto de salida, debe tener una imagen en elemento del
conjunto de llegada.
No puede existir dos pares ordenados con la misma primera componente y la segunda
componente distinta.
NOTACIÓN:
CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL
En una gráfica de una función y=f(x) ninguna recta vertical la debe cortar en más de un punto.
Las gráficas 1 y 2 corresponden a funciones. La 3 y la 4 no, pues son atravesadas por las rectas
verticales, en azul, en dos puntos distintos cada una.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
También llamado conjunto de partida. Sea f una función tal que: f : X ⊆ R Y ⊆ R ,
X es la variable independiente
Y es la variable dependiente
entonces su DOMINIO es el conjunto X. Es decir:
Dom f : X .
RESTRICCIONES
DIVISIÓN ENTRE CERO, no está definida.
RAÍCES PARES DE NÚMEROS NEGATIVOS, no se define para números reales.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN FRACCIÓN
EJEMPLO: Calcular el máximo dominio de la siguiente función:
f ( x )=
3 x
2 x − 1
2 x − 1 ≠ 02 x ≠ 1
x ≠
Analizando la regla de correspondencia observamos que existe una restricción. Si x = 1 / 2 , se
produciría una división entre cero. Por lo tanto Domf : R −{ 1 / 2 }
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN CON RAÍZ
EJEMPLO: Calcular el máximo dominio de la siguiente función:
f
x
2 x + 3
2 x + 3 ≥ 02 x ≥ − 3
x ≥ −
Analizando la regla de correspondencia observamos que existe una restricción. Si
2 x + 3 < 0 , no
se puede calcular la raíz cuadrada, entonces 2 x + 3 ≥ 0 ≡ 2 x ≥− 3 ≡ x ≥− 3 / 2. Por lo tanto,
Domf :¿.
RANGO DE UNA FUNCIÓN
Sea f una función de variable real f : X → Y , el conjunto de todas las imágenes de los
elementos del dominio, constituye el rango de la función. Este conjunto se representa
simbólicamente por rgf.
PROCEDIMIENTO
El procedimiento para obtener la imagen de una función es el siguiente:
Despejar algebraicamente la variable x en la función.
El rango será el conjunto de valores que puede tomar la variable y , una vez despejada
la variable x.
EJEMPLO: Calcular el rango de la siguiente función:
f ( x )=
4 x − 4
x + 2
y =
4 x − 4
x + 2
y ( x + 2 )= 4 x − 4 xy + 2 y = 4 x − 4 x y − 4 x =− 2 y − 4 x ( y − 4 )=− 2 y − 4
x =
− 2 y − 4
y − 4
y − 4 ≠ 0 y ≠ 4 Por lo tanto, Rgf es R – { 4 }.
Sea 𝑓 una función tal que 𝑓 ∶ ℝ → ℝ, 𝑓 se llama función lineal si 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑚𝑥 + 𝑏, con 𝑚
y 𝑏 constantes. Son polinomios de primer grado.
Ejemplo: La función 𝑓 definida por 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 + 1 , es una función lineal, con 𝑚 = 2 y 𝑏 = 1.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Son polinomios de segundo grado. La forma general de una función cuadrática es la
siguiente:
ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD DE LA PARÁBOLA
Como apreciamos, al esbozar la gráfica de la función cuadrática , esta se abre hacia
arriba o hacia abajo, lo que está indicado por el signo del coeficiente
a que acompaña a
x
2
EJEMPLO1: Dada la función: f
x
= x
2
− 2 x − 3 , a = 1 > 0
. Gráfique.
EJEMPLO2: Dada la función: f
x
=− x
2
− 4 x + 5 , a =− 1 < 0
. Gráfique
