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ACTIVIDAD II:
EJERCICIOS
- Con base en el material consultado en la unidad resuelve los ejercicios propuestos aplicando
los conocimientos sobre:
Ø Funciones vectoriales de variable real
Ø Gráficas y superficies de funciones
- De las siguientes funciones, obtener su dominio, imagen ( ver Conjunto de ejercicios 1 ).
Posteriormente mediante el uso de Octave obtener sus curvas de nivel y gráfica de cada
función, en un intervalo conveniente para ilustrar su comportamiento, así como sus
superficies de nivel en ciertos valores.
3. Para descargar el software Octave ingresa también a
https://www.gnu.org/software/octave/download.html
4. Para graficar en Octave las funciones revisa el siguiente tutorial:
Selecciona el Sistema
Operativo de tu
computadora y realiza la
instalación.
García, M. (Productor). (16 de Julio de 2019). Octave-01: Graficación
básica en octave [Archivo de video]. Recuperado de
https://www.youtube.com/watch?v=jhTTD3QEYWo
Conjunto de ejercicios 1
Hallar el dominio e imagen de las siguientes funciones. Graficar posteriormente utilizando
Octave:
El dominio es todos los números reales ya que no hay número reales por tanto la expresión
no es indefinida.
Intervalos: (-¥, ¥)
Conjuntos: {x½xÎℝ}
2.- 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥
!
!
Las variables x, y son positivas y por lo tanto el producto será positivo, al tener un signo
negativo, la función siempre será positiva o cero, por lo tanto, el rango es:
𝑅 = {𝑓(𝑥, 𝑦)| f(x, y) ≤ 0 }
!
!
!
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ
!
}
𝑓 − 1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1 = 0 ≤ 𝑐𝑜𝑠
!
(𝑥) ≤ 1 P
𝑅 =
{ 𝑓
( 𝑥, 𝑦
) | 0
}
(#
!
$%
!
$&
!
)
El dominio es todos los números reales ya que no hay número reales por tanto la expresión
no es indefinida.
Intervalos: (-¥, ¥)
Conjuntos: {x½xÎℝ}
El dominio es todos los números reales ya que no hay número reales por tanto la expresión
no es indefinida.
Intervalos: (-¥, ¥)
Conjuntos: {x½xÎℝ}
!
!
Conjunto de ejercicios 2
Consulta la Páginas 114 y 115 y resuelve:
- Ejercicios 1 a 6
- Ejercicios 7, 8, 11, 12, 17 y 22 incisos
a y b
- Ejercicios 28, 33 y 37
- Ejercicios 39, 41 y 43
Jane, S. (2013). Cálculo vectorial
[Versión electrónica]. Recuperado de
https://elibro.net/es/ereader/uvm/
?page=
Colección E-Libro Pórtico UVM
- Incorpora en este mismo documento el desarrollo y resultados obtenidos de cada conjunto
de ejercicios, así como las pantallas de las gráficas realizadas en Octave.
En los ejercicios 1 a 6 determine si el conjunto dado es abierto o cerrado (o si no tiene
ninguna de ambas propiedades).
!
!
!
Conjunto abierto, y que tiene limite interno ni externo
!
!
!
Conjunto cerrado, ya que tiene todos sus puntos limite.
!
!
!
Ni abierto ni cerrado, pues tiene su limite interno, pero no limite externo.
(
!
!
!
Conjunto cerrado, ya que tiene todos sus puntos limite.
!
!
Ni abierto ni cerrado, pues tiene una línea infinita abierta en el plano (-1<x<1) y una
línea cerrada en el plano (x=2).
(
!
!
Conjunto abierto por un cilindro infinito abierto en ℝ
(
y.
- Ejercicios 7, 8, 11, 12, 17 y 22 incisos a y b
0
!
"
lim
($,&)→($,$)
|𝑦|
C𝑥
!
!
=
|𝑦|
C𝑦
!
= 1 lim
(),$)→($,$)
|𝑦|
C𝑥
!
!
=
0
√𝑥
!
= 0
lim
(),&)→($,$)
| 𝑦
|
C𝑥
!
𝑦
!
= ∄
lim
($,&)→($,$)
!)
)
*&
)
)
)
*&
)
=
&
)
&
)
= 1 lim
(),$)→($,$)
!)
)
*&
)
)
)
*&
)
=
!)
)
)
)
= 2
lim
(),&)→($,$)
!)
)
*&
)
)
)
*&
)
= ∄
2 (− 1 )
!
!
(− 1 )
!
!
=
6
5
lim
,→$
𝑟
!
𝑐𝑜𝑠
!
𝜃 ∗ 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑟
!
𝑐𝑜𝑠
!
´ + 𝑟
!
𝑠𝑒𝑛
!
𝜃
= lim
,→$
𝑟
!
𝑐𝑜𝑠
!
𝜃 ∗ 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
lim
,→$
𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃
√𝑟
!
𝑐𝑜𝑠
!
𝜃 + 𝑟
!
𝑠𝑒𝑛
!
𝜃
= lim
,→$*
( 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃
) = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃
lim
(),&)→($,$)
𝑥 + 𝑦
C𝑥
!
!
= ∄
Lim
(),&,-)→($,$,$)
)-
)
)
*&
)
*-
)
= ∄
En los ejercicios 39,41 y 43 determine si las funciones son continuas en sus dominios:
Es un polinomia y es continuo en todas partes.
Es la composición de la función continua cos () con otra función continua, entonces la
composición es continua.
𝑓 es discontinua en (0,0).
