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LÍMITES LECCIÓN 3
Índice: Límites laterales. Problemas.
1.- Límites laterales
En la lección anterior estudiamos el comportamiento de una función en +∞ mediante sucesiones que tienden a +∞ (por su izquierda, como no puede ser de otra manera). Ahora, sin embargo, al querer estudiar de la misma forma el comportamiento de una función en las proximida- des^1 de un punto x 0 , se nos presenta la doble posibilidad de hacerlo mediante sucesiones que tienden a x 0 por la izquierda o por la dere- cha. Hagámoslo por la derecha, por ejemplo. Consideremos todas las sucesiones x 1 , x 2 , x 3 ,… contenidas en Dom(f), que tienden a x 0 y cuyos términos son mayores^2 que x 0. ¿Qué sucede con las sucesiones f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),…? Veamos los distintos casos que se pueden presentar en un punto cualquiera, en x 0 =0 por ejemplo, con algunas funciones sencillas. 1º) Hay funciones cuyos dominios no contienen ninguna sucesión que tienda a 0 y cuyos términos sean mayores que 0. La función f(x)= -x es un ejemplo:
En estos casos diremos que no tiene sentido plantear el límite la- teral derecho de la función en 0. 2º) La función signo convierte los números negativos en -1, el 0 en 0 y los positivos en 1:
Pues bien, esta función transforma todas las sucesiones contenidas en su dominio, que tienden a 0 y cuyos términos son mayores que 0 en sucesiones que tienden a 1:
(^1) Estudiar la función f en el punto de abscisa x 0 es sencillo: si x 0 no pertenece al dominio de la función, f(x 0 ) no existe; si x 0 pertenece al dominio de la función, f(x 0 ) es un número real que se calcula con la regla de transformación de la función. Aquí analizamos una cuestión 2 distinta. Pues no nos interesa aquí, como se indica en la nota anterior, lo que pase en x 0.
O
Sig(x)=
-1 0 sisi^ x<0x= 1 si x>0 O
Dom(f) Im(f) x 1 > x 2 > x 3 > … ↓ 0
f(x 1 )= f(x 2 )= f(x 3 )= … ↓ 1
En este caso diremos que el límite lateral derecho de la función f en 0 es 1 , y lo indicaremos así:
lím x→ 0 x> 0
f(x)=1 o lím x→ 0 + f(x)=
3º) La función f(x)=1/x transforma todas las sucesiones contenidas en su dominio, que tienden a 0 y cuyos términos son mayores que 0 en sucesiones que tienden a +∞:
En este caso diremos que el límite lateral derecho de la función f
en 0 es + ∞, y lo indicaremos así:
lím x→ 0 x> 0
f(x)=+∞ o lím x→ 0 + f(x)=+∞
4º) La función f(x)=-1/x transforma todas las sucesiones conteni- das en su dominio, que tienden a 0 y cuyos términos son mayores que 0 en sucesiones que tienden a - ∞:
En este caso diremos que el límite lateral derecho de la función f
en 0 es - ∞, y lo indicaremos así:
lím x→ 0 x> 0
f(x)=-∞ o lím x→ 0 + f(x)=-∞
Dom(f) Im(f) x 1 > x 2 > x 3 > … ↓ 0
f(x 1 )=1/x 1 f(x 2 )=1/x 2 f(x 3 )=1/x 3 … ↓ +∞
O
Dom(f) Im(f) x 1 > x 2 > x 3 > … ↓ 0
f(x 1 )=-1/x 1 f(x 2 )=-1/x 2 f(x 3 )=-1/x 3 … ↓
O
La segunda línea de la tabla, que está remarcada, establece la de- finición de límite lateral derecho. Como hemos visto en los ejem- plos, L puede ser un número real, +∞ o - ∞.
Como el concepto de límite lateral derecho de una función f en x 0 solo depende de las sucesiones contenidas en su dominio, que tienden a x 0 y cuyos términos son mayores que x 0 , dicho concepto es indepen- diente de si existe o no f(x 0 ), o de su valor. Los siguientes ejem- plos ponen de manifiesto lo que se quiere decir.
En los tres casos: lím x→ 0 x> 0
f(x)=
Si se consideran las sucesiones contenidas en Dom(f), que tienden a x 0 y cuyos términos son menores que x 0 , es fácil llegar al concepto de límite lateral izquierdo.
2.- Problemas
1) Define límite lateral izquierdo de una función en un punto.
2) Dibuja la gráfica de una función que verifique los límites si- guientes: a) lím x→ 1 x< 1
f(x)=+∞ y lím x→ 1 x< 1
f(x)=+∞ b) lím x→ 1 x< 1
f(x)=+∞ y lím x→ 1 x> 1
f(x)=-∞
c) lím x→ 1 x< 1
f(x)=-∞ y lím x→ 1 x> 1
f(x)=0 d) lím x→ 1 x< 1
f(x)=0 y lím x→ 1 x> 1
f(x)=
3) A la vista de sus gráficas (o con la calculadora), indica los lí- mites laterales de las siguientes funciones en los puntos indicados: a) y=ln x en x=0 b) y=tg x en x=π/ c) y=cosec x en x=0 d) y=sec x en x=π/ e) y=ctg x en x=0 f) y=arc sen x en x= g) y=arc cos x en x=1 h) y=arc cosec x en x= i) y=arc sec x en x=1 j) y=log1/3x en x=
O
O
O
f(0)=1 f(0)=0≠ 1 No existe f(0)
4) Si el límite lateral derecho de f en 0 es 1, justifica gráfica- mente el valor del límite lateral izquierdo de f en 0 si f es una función^1 : a) par b) impar
5) Dibuja las gráficas de dos funciones f y g simétricas respecto del eje de ordenadas y tales que el límite lateral derecho de f en 3 sea 2, mientras que el límite lateral derecho de g en -3 no sea 2.
6) Si f es una función par y el límite lateral derecho de f en 2 es 4, ¿qué otro límite lateral de esa función te están dando? ¿Y si es impar?
7) Si f y g son dos funciones simétricas respecto del eje de absci- sas y el límite lateral derecho de f en 3 es - ∞, ¿qué límite lateral de g conoces?
8) Si f(x)<0 ∀x, ¿puede ser positivo el límite lateral izquierdo de f en 0? ¿Y si la función solo es negativa en un entorno de 0?
9) Sean f, g y h tres funciones^2 tales que f(x)≤g(x)≤h(x) ∀x. Si el límite lateral derecho de f en x 0 es el número real L y el de h tam- bién es L, ¿cuál es el de g? Justifícalo gráficamente.
10) Sean f y g dos funciones^2 tales que f(x)≤g(x) ∀x. Si el límite lateral izquierdo de f en x 0 es +∞, ¿cuál es el de g? Y si el límite lateral izquierdo de g en x 0 es - ∞, ¿cuál es el de f? Justifícalo gráficamente.
(^1) Recuerda que una función es par si su gráfica es simétrica respecto del eje de abscisas; e 2 impar si su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas. Vuelve a aparecer aquí la regla del sandwich.
