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3.8 Funciones exponenciales 171 GUSTES Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la página RES-11. = Fundamentos En los problemas 1-26, encuentre la derivada de la función dada. l.y= 2 y= 200 3.y=6 4 y eo 5. y=5% 6. y =10% 7. y=x2e* 8. y = e * sen rx _ et 9. fa) = >= 10. fo) e 11. y=V1+e* D. y =(e% - ey 2 e+er 13. y= RAR 1M. y= yl ma 15 y = 3 16. y = Mer 100 17. y = (y 18. y = (2) 19. f0) = e" + (ey 20. f(x) = Qx+ e 21. f(x) = e *tane” 22. f(x) = sec e” 2 2 23. (1) = SN] 25. y = e 27. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = (e* + 1) en x =0. 28. Encuentre la pendiente de la recta normal a la gráfica de y=(x- De*enx=0. 24. y= 2. y= 40 29. Encuentre el punto sobre la gráfica de y = e* donde la recta tangente es paralela a 3x — y = 7. 30. Encuentre el punto sobre la gráfica de y = 5x + e” donde la recta tangente es paralela a y = 6x. En los problemas 31 y 32, encuentre el o los puntos sobre la gráfica de la función dada donde la recta tangente es hori- zontal. Use un dispositivo para graficar y obtenga la gráfica de cada función. 31. f() =e *senx 32. f()=(B-x)e* En los problemas 33-36, encuentre la derivada de orden superior indicada. dy 1 dy == =— = ——. =— a MA dy dy a IA En los problemas 37 y 38, C, y C2 son constantes reales arbi- trarias. Demuestre que la función satisface la ecuación dife- rencial dada. 37. y = Ci + Ce” y"+y-6=0 38. y =CjeT*cos2x + CaeTsenda y" +2y+5y=0 35. y = sene”; 39. Si C y kson constantes reales, demuestre que la función y = Cel" satisface la ecuación diferencial y” = ky. 40. Use el problema 39 para encontrar una función que satisfaga las condiciones dadas. ajy=-00ly y y(0)=100 b) e =015P=0 y P(0)=P, En los problemas 41-46, use diferenciación implícita para encontrar dy/dx. 4 y=e > Qy=0 43. y =c0s e” 44, y=e0Y 45. x+y=e% 46. e +e=y 47. a) Trace la gráfica de f(x) = eN, b) Encuentre f'(x). c) Trace la gráfica de f”. d) ¿La función es diferenciable en x = 0? 48. a) Demuestre que la función f(x) = e * es periódica con periodo 27. b) Encuentre todos los puntos sobre la gráfica de f donde la tangente es horizontal. c) Trace la gráfica de f. = Aplicaciones 49. La función logística _ aPo POS bp ta brge” donde a y b son constantes positivas, a menudo sirve como modelo matemático para una población en creci- miento pero limitada. a) Demuestre que P(t) satisface la ecuación diferencial dP_ _ di Pía — bP). b) La gráfica de P(t) se denomina curva logística, donde P(0) = Py es la población inicial. Considere el caso donde a =2, b =1 y Py = 1. Encuentre asínto- tas horizontales para la gráfica de P(t) al determinar los límites Mm P(0) y lím P(0. c) Grafique P(1). d) Encuentre el o los valores de f para los cuales P"() =0. 50. El modelo matemático de Jenss (1937) constituye una de las fórmulas empíricas más precisas para pronosticar la estatura h (en centímetros) en términos de la edad £ (en años) para niños en edad preescolar (de 3 meses a 6 años): h(£) = 79.04 + 6.391 — e926-09%, a) ¿Qué estatura pronostica este modelo para un niño de 2 años? b) ¿Cuán rápido crece en estatura un niño de 2 años? c) Use una calculadora o un SAC para obtener la grá- fica de h sobre el intervalo [!, d d) Use la gráfica del inciso c) para estimar la edad de un niño en edad preescolar que mide 100 cm de estatura. 
