FUNCIONES HIPERBÓLICAS, Diapositivas de Ingeniería

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ.

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACUL TAO DE INGENIERÍA

FASCÍCULOS DE MA TEMÁTICAS

FUNCIONES ,

HIPERBOLICAS ,.aa,...,.�u�.

"Uno no puede escapar al pensamiento de que • estas fórmulas matemáticas tienen

una existencia independiente y una inteligencia propia, que son más inteligentes que

nosotros y que sus descubridores, y que nosotros recibimos más de ellas que ellas de

nosotros".

Henrich Hertz

"El pensamiento es sólo un relámpago entre dos largas noches, pero este relámpago

lo es todo".

Henri Poncaire

"Newton no encontró la causa de que cayera la manzana, pero hizo ver una similitud

entre la manzana y las estrellas".

D'Arcy Wentworth Thompson

¡Ay vida, qué emoción vivirle!

Pablo García y Colomé PROFESOR DE CARRERA

G..

FASCÍCULOS DE MATEMÁTICAS

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

ÍNDICE

PRÓLOGO 1

LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS A PARTIR DE LA HIPÉRBOLA 2

LA CATENARIA Y LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS 7

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS 11

FUNCIONES HIPERBÓLICAS. DOMINIOS, GRÁFICAS Y RECORRIDOS 13

FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS 17

DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS 22

INTEGRACIÓN DE Y CON LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS 31

APLICACIONES 39

BIBLIOGRAFÍA 54

FASCÍCULOS DE MA TEMÁTICAS

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

PRÓLOGO

EL concepto fundamental del Cálculo es el de función, que es el punto de

partida para el tratamiento de los límites, que a su vez conducen a la

derivada y a la integral, de gran importancia y trascendencia para el estudio

de innumerables problemas de las matemáticas y la física en sus diversas manifestaciones en los campos de la teoría y las aplicaciones.

Dentro de las funciones trascendentes, es decir, aquéllas que para denotarse no requieren de operaciones algebraicas, destacan las funciones hiperbólicas, que al igual que las conocidas como circulares por derivarse de un círculo unitario, constituyen de manera semejante, toda una "trigonometría" que merece un análisis aparte.

Este trabajo tiene como objetivo apoyar el proceso de enseñanza aprendizaje del Cálculo en la Facultad de Ingeniería, y está dirigido también a todos los estudiosos de las matemáticas que deseen conocer más sobre estas funciones que le dieron especial dignidad a una hipérbola "unitaria".

En este breve estudio, el lector encontrará definiciones, teoremas, fórmulas de derivación e integración, ejercicios e interesantes, además de ilustrativos, problemas de aplicación de estas singulares funciones.

El autor.

3

Considérese la circunferencia x2 + y2 = 1, y sea P(x,y) un punto de ella en el primer cuadrante, como se observa en la Figura 1.

y

!. /1-X

8

y=

o

Figura 1

De la figura se puede expresar que:

de donde

Areadel Sector Circular OAP = TC.r^2 rp (^) =

rp u^2 2Jr 2

Areadel triángulo OAB = � 1/ 2

.

rp rp _ Areadel Sector Circular OAP _ 2 _ rp

• • ;¡;ea del trici;;gulo O

AB - l_ -

�

Entonces, el arco

rp puede considerarse como la razón entre el área del sector OAP y el área del triángulo OAB.

Aquí también cabría notar que la medida del ángulo rp puede definirse como el doble del área del sector circular OAP que el ángulo determina en el círculo unitario.

Ahora considérese la hipérbola x2 - y2 = 1 y un punto de ella P(x,y) en el primer cuadrante. Para ello habrá que analizar la gráfica mostrada en la Figura 2.

y B

y=-t:./i-

X

Figura 2

Se procede de manera semejante al caso del círculo y se tiene el número e que se define como el doble del área del sector hiperbólico OAP. Y a este número e se le llama la medida hiperbólica del ángulo AOP, con arco AP de la hipérbola. Entonces

() = Area del sec tor OAP = Area de� �e_��o�_(}A!! Area del triángulo OAB 1 2

El cálculo del área del sector OAP se detennina como sigue, de acuerdo con la Figura 2:

Area del sector OAP = Area del triángulo OCP- Area ACP

donde el área ACP es la limitada por la hipérbola, el eje de las abscisas y las rectas x = A y x = C. Esta área se calcula de la siguiente manera:

se resuelve la integral indefinida mediante el método de sustitución trigonométrica y

z=secy

Figura 3 dz = sec ytanydy

Se realizan las sustituciones correspondientes y la integral definida queda como

(} =

21n! x + y¡

1 2

de donde (} =ln!x+' y;

DEFINICIÓN. Como en el caso de las funciones trigonométricas circulares, para la hipérbola dada, el punto P(x,y) de su gráfica y las condiciones obtenidas, se definen las funciones:

sen o hiperbólico de(}=PC =y =senh (}

coseno hiperbólico de (} =OC =x =cosh (}

De la expresión (}=In 1 x+Y! es posible obtener

- ()^

e =-- x+y

mediante la ecuación de la hipérbola x2- y2 = 1, y algunas operaciones algebráicas, se llega a

2 2y X+ y y= y·-=-· = 2 2 X+ y

2xy+2y - - --^2 2(x+ y)

X^2 +2xy+y^2 -1 (x+y)^2 -

=y^2 +2xy+y^2

-^ -^ --·-· ·---= 2(x +y)

(x+y) 2

x 2 - 1 + 2 xy+ y 2 2(x+y)

1

x+y---

x+y x+y e()-e-B = =^ -^ -"^ =^ = = 2(x+y) 2(x+y)

2 2x x+y 2x^2 +2xy x =x·-=-· (^) = 2 2 x+y 2(x+y )

2

x^2 +2xy+ x^2 = -^ "- 2(x+ y)

2 2

y

�1_+2xy+x� 2(x+y)

1 x^2 +2xy+y^2 + 1 (x+y)^2 + 1 X+ Y+^ ()^ - = = - _X^ 2- y 2

= _ x +^ y _e^ +e

por/o que

2(x+y) 2(x+y)

e()+e- B cosh(} = - - 2

2 2

Y en ténninos de estas dos funciones se defir.en la tangente hiperbólica, la cotangente hiperbólica, la secante hiperbólica y la tosecante hiperbólica, cuyas expresiones son:

senhe /J -e-(} tanhe=-- = cosh e (^) eo +e -B

seche =^1 =^ �^

-^2 -

coshe (^) e^0 +e-(}

coth e=

coshe (^) = e (^) +e (^). (^) e ::t:- o senhe (^) e^0 - e-(}'

esehe=^1 = 0

senhe _^0 ; e^ ::t:-^ o e -e

7

Antes de entrar al estudio formal de estas funciones, se presenta a continuación un interesante concepto físico donde se hace presente una de ellas.

LA CATENARIA Y LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Si se deja colgar libremente una cadena o un cable entre dos soportes, se forma una cuNa llamada catenaria (del griego katena que significa cadena). Las catenarias se encuentran por donde uno mira: una reata de tender, un cable telefónico; los cables de suspensión de un puente, etcétera. La forma depende del peso y tensión del cable pero sus ecuaciones son todas de la misma forma y están íntimamente relacionadas con la función exponencial.

Sea la catenaria de la siguiente figura:

X

Figura 4

Se considerará una sección de catenaria, como se obseNa en la Figura 5, donde se analizarán las diferentes fuerzas que inteNienen en ella.

9

Se determinarán las ecuaciones paramétricas de la recta PQ en términos del parámetro a (Figura 6). Esta recta es tangente en el punto P a la curva del cable.

de donde

p ___________. (Xo. Yo) (^) ScosoG

Figura 6

x = xo + s cosa y y= yo+ s sena

dx -=cosa (^) y ds

dy =sena ds

Mora bien, si se aplica la regla de la cadena para obtener dy , se tiene que: da

como

se puede escribir

se integra y se llega a:

dy dy ds =-·- da ds da

dy-=sena y d<i

d<i (^2)

• =csec a da

dy^ =sena·csec^2 a=cseca.tana da

y= fcsecu lanada= e seca +C

si se escogen unos ejes tales que y= e cuando a= O, entonces Ct = O y se puede escribir que:

y= c sec a

e

Si se hace algo semejante para la variable x se tiene que:

pero

luego

se integra y

dx dx ds =-·- da ds da

dx -=cosa (^) y ds

ds =esec2 a da

dx

• =cosa·esec2 a=e seca da

x = fe secada=cln(seca +tana)+C 2

además, si X = o para a = O, se tiene que c2 = O, luego

x =eln(seca +lana)=>�= ln(seca +lana) e

y, mediante la función exponencial

Por otro lado

X ee =seca+lana

X sec a -lan a e e =^ _^1 _ x =^ ___^1 ___ =sec a -lan a sec a + tan a sec a -tan a

se suman ahora las dos exponenciales y

y como

X X ee +e e = (seca+tana)+(seca-tana)=2seca

X X y

---

seca=-=>ee +e e =2·-y e e

por lo tanto la ecuación cartesiana se puede expresar como y =e sec a, o bien

10

luego

tanh

2 x+sech 2 x= ( senh x)

2

( (^1) ) 2 = senh

2 x + = senh

2 x + 1 cosh x cosh x (^) eosh 2 x eosh 2 x eosh 2 x

como senh 2 + 1 = cosh 2 x

(^2 2) eosh 2 x tanh x+sech x = (^) = 1 eosh

2 x

TEOREMA. eoth 2 x-ese h 2 x = 1

Prueba.

luego

eoshx cothx= · senh x'

1 esehx= -- senhx

(^2 2) (eoshx)

2 ( (^1) ) 2 cosh

2 x eosh

2 x- coth x-csch x= -^ = = -- -=---- senh x senh x (^) senh 2 x senh 2 x senh (^) 2 x

Como cosh 2 x-1 = senh 2 x

2 (^2 2) senh x eoth x-cseh x = --- = 1 senh 2 x

TEOREMA. (^) senh 2x = 2 senh x eoshx

Prueba. ex -e-x^ ex +e-x^ e2x^ - e- (^2) x senh 2x = 2 senh xcosh x= 2 · (^) = --��--- = senh 2x 2 2 2

TEOREMA. eosh 2x = cosh 2 x +senh

2 x

Prueba.

12

,.. L2x. e-2x ) e2x +e-lx = � = =cosh2x 4 2

Otras identidades importantes, cuyas pruebas se omiten, son las siguientes:

senh 2 x= - - + -^1 2 cosh2x 2 2

cosh 2 x= ! + ! cosh2x 2 2

senh( x+y) = senh xcosh y+cosh x senh y

senh( x-y) = senh x cosh y-cosh x senh y

cosh( x+y) = cosh xcosh y+ senh x senh y

cosh( x-y) = cosh xcosh y- senh x senh y

x-tty x-y cosh x + cosh y = 2 cosh --cosh -- 2 2

x+y x-y cosh x-cosh y = 2 senh --- senh -- 2 2

x+y x-y senh x + senh y= 2 senh --cosh -- 2 2

x-y x+y senh x-senh y= 2 senh --cosh -- 2 2

FUNCIONES HIPERBÓLICAS. DOMINIOS, GRÁRCAS Y RECORRIDOS.

SENO HIPERBÓLICO. Como ya se vio ex -e-x f(x) = senh x= --- 2

l

luego el valor de la función es real para cualquier valor real de x. Por lo que su dominio es Dt = fJl y su gráfica está dada en la Figura 7

.. l ¡l ; � J

15

En la gráfica de cosh x^ se ve que ésta función no se anula en ningún valor de x, luego el dominio de tanhx es Dr =m y su gráfica se muestra en la Figura 9.

y

---------- J� -=-

....-.:z- y= tanhx

X

Figura 9

La gráfica de esta función tiene dos asíntotas horizontales de ecuaciones y= -1 y y y= 1, por lo que su recorrido es Rr = (-1, 1 ).

COTANGENTE HIPERBÓLICA. Como ya se vio

f(x)=cothx=^ coshx^ =e

x +e-x = -^1 -

·senh x ex -e-x^ tanhx

La función senh x se hace cero únicamente en el origen; luego, el dominio de coth x es Dt= fll {0 }, su gráfica es la de la siauiente figura:

y

' 1.

t-�·dx

------�-----.......... ........ __ .....,;. ........._ _____ _

X ·----- --------- -:r-----------�-

\

Figura 10

La gráfica tiene dos asíntotas horizontales de ecuaciones y= -1 y y = 1 y su recorrido es Rt = fJl - f1, 1]

SECANTE HIPERBÓLICA. Como ya se vio

f(x) =^ sechx =

=

ex +e-x^ coshx

Por lo que su dominio es el mismo que el de tanh x, es decir, Dt = fll; su gráfica es:

y

Figura 11

y como se observa, la gráfica tiene una asíntota en y= O, luego su recorrido es R, = (0, 1J

COSECANTE HIPERBÓLICA. Como ya se vio 1 1 f(x) = cschx = =-- ex -e-x^ senhx

Su dominio es el mismo de la función coth x, esto es, o,= fR- {O}, su gráfica está dada por

y 4

3

2

1

/

Figura 12

y=cachx

y como tiene una asíntota de ecuación y = O, su recorrido es Rt = fR- {O}.

---

16