¡Descarga Funciones Hiperbólicas: Definición y Propiedades y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Capítulo 1
Funciones hiperbólicas
1.1. Funciones hiperbólicas directas e inversas
A causa de la semejanza que existe entre la circunferencia y la hipérbola, se plantea la cuestión de si habrá un conjunto de magnitudes o funciones que se correspondan con la hipérbola de la misma manera que las funciones circulares se corresponden con la circunferencia. Esas funciones existen y se denominan funciones hiperbólicas, es decir, seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólico, etc. Se representan por Senhx, Coshx, Tanhx, etc, aludiendo la letra h a la hipérbola. En la figura, se ha dibujado un cuadrante M N P de la circunferencia x^2 + y^2 = a^2 y de la hipérbola
x^2 − y^2 = a^2 , y para un punto cualquiera P de ambas curvas la abscisa es x = 0Q, la ordenada es y = QP y el radio es a = 0M. En el caso de la circunferencia, cuando θ es el ángulo circular Q 0 P , las funciones circulares son: Senθ =
y a , Cosθ =
x a , etc.
Análogamente, una vez definido convenientemente el ángulo hiperbólico ϕ, las funciones hiperbó- licas son: Senhϕ =
y a
, Coshϕ =
x a
, etc.
Sin embargo, como el ángulo hiperbólico no es el ángulo ordinario Q 0 P deberemos proceder a su definición. Con este objeto comenzaremos por desarrollar una importante propiedad de la cir- cunferencia. Designemos por u el área del sector circular M 0 P. Puesto que el área de un círcu- lo es igual a 12 (radio · longitud de la circunferencia), el área de un sector circular será igual a
1 2 (radio^ ·^ longitud del arco), siendo el arco aquella parte de la circunferencia que limita al sector. Por lo tanto, en la figura
reaA =
a(arcoM P ).
Pero cuando θ = ∠M 0 P , se verifica que arcoM P = aθ. Por consiguiente,
A =
a(aθ), donde θ =
2 A
a^2
Es decir, que en toda fórmula cuando aparece un ángulo circular se puede sustituir por el área del sector correspondiente al ángulo multiplicada por (^) a^12. Por este motivo se llama a veces a A ángulo sectorial, y la magnitud theta expresada en función de A por medio de la relación θ = (^2) aA 2 es el correspondiente ángulo circular.
Utilizando el ángulo circular así expresado, las funciones circulares de la circunferencia serán, pues, (^) { y a =^ Sen^
2 A a^2 x a =^ Cos^
2 A a^2
En el caso de la hipérbola, no se usa el ángulo ordinario M 0 P , y el ángulo hiperbólico se define como (^2) aA 2 , en que A es el área del sector hiperbólico M 0 P de la figura y a = 0M. Las funciones hiperbólicas quedan entonces definidas por las fórmulas { y a =^ Senh^
2 A a^2 x a =^ Cosh^
2 A a^2
en las que x y y son las coordenadas de un punto P de la hipérbola equilátera. Las demás funciones hiperbólicas se definen como sus análogas de trigonometría circular y entre ellas existen las mismas relaciones como, por ejemplo,
T anhϕ =
Senhϕ Coshϕ
, Cotϕ =
Coshϕ Senhϕ
, etc.
Si recordamos que al hablar del ángulo hiperbólico correspondiente a un determinado punto P de la hipérbola equilátera, no nos referimos al ángulo ordinario M 0 P como en el caso de la circunferencia, sino el ángulo hiperbólico, podremos escribir, como en (1.1) para la circunferencia, para el ángulo hiperbólico correspondiente al área A del sector:
ϕ =
2 A
a^2
y las fórmulas (1.2) se pueden escribir { (^) y a =^ Senhϕ x a =^ Coshϕ^
que corresponden a las fórmulas corrientes de las funciones circulares. El resto de las funciones hiperbólicas se expresan en función del radio a y de las coordenadas x y y, por medio de las rela- ciones ya conocidas.
Existen muchas, interesantes y útiles relaciones entre las funciones hiperbólicas, cuyo conjunto forman lo que a veces se llama trigonometría hiperbólica. Las funciones exponenciales e hiperbóli- cas, están estrechamente relacionadas, tienen enorme importancia en electricidad, principalmente
Gracias a estas ecuaciones podremos expresar directamente las funciones hiperbólicas de un número cualquiera, en función de las funciones exponenciales, sin hacer ninguna referencia a la hipérbola, y eso es lo que se suele hacer frecuentemente. Hay que sobrentender, sin embargo, que la relación hiperbólica, se use explícitamente o no, es la base de las ecuaciones.
Despejando en las ecuaciones (1.10) eϕ^ y e−ϕ, se pueden expresar también las exponenciales en función de las funciones hiperbólicas. En efecto, sumando primero las dos ecuaciones se eliminan las exponenciales negativas, y restando la primera de la segunda, se eliminan los términos positivos, teniendo así los resultados (^) { eϕ^ = Coshϕ + Senhϕ e−ϕ^ = Coshϕ − Senhϕ
Esas dos notables fórmulas dan la función exponencial e±ϕ^ en función de las funciones hiperbólicas.
1.1.1. Función seno hiperbólico
El seno hiperbólico se define en R, con la fórmula
f (x) =
(ex^ − e−x)
Dado que
f (−x) =
[e(−x)^ − e−(−x)] =
(e−x^ − ex) = −
(ex^ − e−x) = −f (x)
la función f (x) = Senhx es impar, monótona creciente desde −∞ hasta +∞. El origen de coorde- nadas es un punto de inflexión y el centro de simetría de la curva. No tiene asíntotas. La inversa de f (x) = Senhx, se establece de la siguiente manera:
Figura 1.1: f(x)=Senhx y f(x)=AreaSenhx
y =
(ex^ − e−x) ⇒ e^2 x^ − 2 yex^ − 1 = 0 ⇒ x = ln
y ±
1 + y^2
de donde AreaSenhx = ln
x +
1 + x^2
, x ∈ R
Dado que f (−x) = AreaSenh(−x) = −AreaSenhx = −f (x)
la función f (x) = AreaSenhx es impar, monótona creciente desde −∞ hasta +∞. El origen de coordenadas es un punto de inflexión y es el centro de la simetría de la curva. Carece de asíntotas.
Ejemplo 1.1 Determine el dominio de la siguiente expresión:
f (x) = Senh
2 x^2 − 1 4 x^2 − 1
− Sen
x + 1 6 x^2 − x − 1
Solución La expresión está determinada si se cumple lo siguiente:
4 x^2 − 1 6 = 0 ⇒ (2x − 1)(2x + 1) 6 = 0 ⇒ x 6 = −
y x 6 =
6 x^2 − x − 1 6 = 0 ⇒ (2x − 1)(3x + 1) 6 = 0 ⇒ x 6 = −
y x 6 =
Por lo tanto, el dominio de la función es: x ∈ R\
1.1.2. Función coseno hiperbólico
El coseno hiperbólico se define en R, con la fórmula
f (x) =
(ex^ + e−x)
Dado que
f (−x) =
(e−x^ + e−(−x)) =
(e−x^ + ex) =
(ex^ + e−x)
la función f (x) = Coshx es par; para x < 0 decrece desde +∞ hasta 1, para x > 0 crece desde 1 hasta +∞.
Tiene un mínimo en el punto (0, 1): no tiene asíntotas. La curva está situada simétricamente con respecto al eje Y. La inversa de f (x) = Coshx, se establece de la siguiente manera:
Figura 1.2: f(x)=Coshx y f(x)=AreaCoshx
y =
(ex^ + e−x) ⇒ e^2 x^ − 2 yex^ + 1 = 0 ⇒ x = ln
y ±
y^2 − 1
de donde
AreaCoshx = ln
x +
x^2 − 1
, x ≥ 1. (AreaCoshx > 0 es valor principal)
La expresión f (x) = AreaCoshx no es par ni impar, es biforme y existe sólo para los valores de x ≥ 1. La curva es simétrica con respecto al eje X; en el punto (1, 0) es tangente a la recta vertical x = 1, después y crece en valor absoluto.
Dado que
f (−x) =
e−x^ − e−(−x) e−x^ + e−(−x)^
e−x^ − ex e−x^ + ex^
ex^ − e−x ex^ + e−x^
= −f (x)
la función f (x) = T anhx es impar, monótona creciente desde -1 hasta + 1. El origen de coordenadas es un punto de inflexión y es el centro de simetría de la curva. Tiene dos asíntotas: y = ± 1. La inversa de f (x) = T anhx, se establece de la siguiente manera:
Figura 1.3: f(x)=Tanhx y f(x)=AreaTanhx
y =
ex^ − e−x ex^ + e−x^
⇒ e^2 x^ =
1 + y 1 − y
⇒ x =
ln
1 + y 1 − y
de donde
AreaT anhx =
ln
1 + x 1 − x
, − 1 < x < 1.
La expresión f (x) = AreaT anhx es impar y existe sólo para los valores de |x| < 1 ; desde −∞ hasta +∞ es monótona creciente. El origen de coordenadas es un punto de inflexión y es el centro de simetría de la curva. Tiene dos asíntotas: x = ± 1.
Ejemplo 1.5 Demuestre la siguiente propiedad
T anh(x + y) =
T anhx + T anhy 1 + T anhxT anhy
Solución Para probar esta identidad, utilizaremos las fórmulas deducidas anteriormente para Senhx y Coshx:
T anh(x + y) =
Sen(x + y) Cosh(x + y)
SenhxCoshy + CoshxSenhy CoshxCoshy + SenhxSenhy
=
SenhxCoshy+CoshxSenhy CoshxCoshy CoshxCoshy+SenhxSenhy CoshxCoshy
=
Senhx Coshx +^
Senhy Coshy 1 + SenhxCoshx · SenhyCoshy
T anhx + T anhy 1 + T anhxT anhy
1.1.4. Función cotangente hiperbólica
La Cotangente hiperbólica se define en R{ 0 }, de la siguiente manera:
f (x) =
ex^ + e−x ex^ − e−x
Dado que
f (−x) = e−x^ + e−(−x) e−x^ − e−(−x)^
e−x^ + ex e−x^ − ex^
ex^ + e−x ex^ − e−x^
= −f (x)
la función f (x) = Cothx es impar, para x = 0 tiene una discontinuidad. Para x < 0 decrece desde -1 hasta −∞, para x > 0 decrece desde +∞ hasta +1. No tiene extremos ni puntos de inflexión. Tiene tres asíntotas: x = 0, y = ± 1. La inversa de f (x) = Cothx, se establece de la siguiente manera:
Figura 1.4: f(x)=Cothx y f(x)=AreaCothx
y =
ex^ + e−x ex^ − e−x^
⇒ e^2 x^ =
y + 1 y − 1
⇒ x =
ln
y + 1 y − 1
de donde
AreaCotx =
ln
x + 1 x − 1
, x > 1 ó x < − 1.
La función f (x) = AreaCothx es impar y existe sólo para los valores de |x| > 1. Para −∞ < x < − 1 decrece desde 0 hasta −∞, para +1 < x < +∞ decrece desde +∞ hasta 0. No tiene extremos ni puntos de inflexión. Tiene tres asíntotas: y = 0, x = ± 1.
Ejemplo 1.6 Demuestre la siguiente propiedad
AreaCothx = AreaT anh
x
Solución Para probar esta identidad, se procede de la siguiente manera:
AreaCothx =
ln
x + 1 x − 1
ln
1 + (^1) x 1 − (^1) x
= AreaT anh
x
Figura 1.6: f(x)=Cschx y f(x)=AreaCschx
la función f (x) = Cschx es impar; para x < 0 decrece desde 0 hasta −∞, para x > 0 decrece desde +∞ hasta 0. No tiene extremos, la curva está situada simétricamente con respecto al origen. Tiene dos asíntotas: y = 0, x = 0. La inversa de f (x) = AreaCschx, se establece de la siguiente manera:
y =
ex^ − e−x^
⇒ ye^2 x^ − 2 ex^ − y = 0 ⇒ x = ln
y
y^2
de donde
AreaCschx = ln
x
x^2
, x 6 = 0.
la función f (x) = AreaCschx es impar; para x < 0 decrece desde 0 hasta −∞, para x > 0 decrece desde +∞ hasta 0. No tiene extremos, la curva está situada simétricamente con respecto al origen. Tiene dos asíntotas: y = 0, x = 0.
1.2. Tarea
- Demuestre las identidades: a) Sech^2 x + T anh^2 x = 1; b) Coth^2 x − Coth^2 x = 1; c) SenhxSenhy = 12 [Cosh(x + y) − Cosh(x − y)]; d) SenhxCoshy = 12 [Senh(x + y) + Senh(x − y)]; e) CoshxCoshy = 12 [Cosh(x + y) + Cosh(x − y)]; f ) Senh(x − y) = SenhxCoshy − CoshxSenhy; g) Cosh(x + y) = CoshxCoshy + SenhxSenhy; h) Cosh(x − y) = CoshxCoshy − SenhxSenhy.
- Demuestre las identidades: a) (Coshx + Senhx)n^ = Coshnx + Senhnx; b) Coshnx = 12 [(Coshx + Senhx)n^ + (Coshx − Senhx)n]; c) Senhnx = 12 [(Coshx + Senhx)n^ − (Coshx − Senhx)n].
- Utilizando las igualdades
Senhnx =
2 n^
(ex^ − e−x)n; Coshnx =
2 n^
(ex^ + e−x)n.
