Introducción al Cálculo Diferencial e Integral: Funciones Matemáticas, Diapositivas de Matemáticas

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Cálculo Diferencial e

integral

Diferencial.

Funciones

Prof. Domingo Torres De La

O

Funciones Matematicas: Conceptos Básicos

En matemáticas, una función (f) es la

relación que existe entre dos conjuntos

de pares ordenados, uno X (llamado

dominio) y otro conjunto de elementos Y

(llamado contradominio, imagen,

codominio, recorrido, ámbito) de tal

manera relacionados que a cada

elemento Y le corresponde uno y

solamente uno de X.

Dominio = {1; 2; 3}

Contradominio = {3; 6; 9; 12}

Rango = { 3; 6; 9}

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?: 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda. La regla es entonces "elevar al cuadrado". Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número". Usualmente se emplean dos notaciones: x --- x f (x) = x. Así, f (3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9. Entonces: f(3) = 9. f(2) = 4 f(4) = 16

Veamos algunos ejemplos que constituyen

funciones matemáticas.

Ejemplo 1. Correspondencia entre las personas

que trabajan en una oficina y su peso expresado

en kilogramos

Cada persona (perteneciente al conjunto X o

dominio) son las entradas y forman parte de la

variable independiente. Cada peso

(perteneciente al conjunto Y o codominio) son

las salidas y forman parte de la variable

dependiente.

Notemos que una misma persona no puede

tener dos pesos distintos. Notemos también que

es posible que dos personas diferentes tengan el

mismo peso.

Conjunto X Conjunto Y(Kg) Ángela 55 Pedro 88 Manuel 62 Adrián 88 Roberto 90

Definición formal. Una función (f) es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio). Otra definición equivalente es: Sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X. Usualmente X e Y son conjuntos de números. Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota. f : A ---> B sustituyendo X por A y Y por B f : X -----> Y) o bien f(x) = x

Ejemplo 3

Suponga que el conjunto A = {1, 2, 3} y que el conjunto B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo". Determinar su es función y obtener el dominio y el rango Veamos: A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B). Dominio = {1, 2, 3} Rango = {4, 8, 12} Notar que el rango es un subconjunto del conjunto B = {0, 4 , 6, 8 , 10, 12 } Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes: Si tenemos los conjuntos A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5} Podemos establecer las relaciones f = {(1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5)} g = { (1 ; 2) ; (1 ; 3) ; (2 ; 4) ; (3 ; 5) ; (4 ; 5) } h = {(1; 1); (2; 2); (3; 3)} Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero: ● (^) f es una función porque todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b) ● (^) g no es función porque (1; 2) y (1; 3) tiene el mismo elemento del dominio (el 1). ● (^) h no es una función porque al Dominio (h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).

Ejemplo.

Identificar dominio y rango de la función f(x) =√ x - 2 Veamos: Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2. El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f. Veamos ahora un ejemplo en el que tenemos que definir el dominio y rango a partir de un gráfico: