¡Descarga Aproximación de Funciones mediante Series de Taylor y Maclaurin: Ejercicios Resueltos - Pr y más Apuntes en PDF de Métodos Numéricos solo en Docsity!
t
t
2
4.1 La serie infinita
e
x
= 1 + x +
x x
3
x
n!
se utiliza para aproximar ex.
a) Muestre que la expansión en serie de Maclaurin es un caso
especial de la expansión en la serie de Taylor [ecuación (4.7)] con xi = 0 y h = x.
f
x
= f
'
' '
x 2
f ( 0 )= f
'
( 0 ) = f
' '
( 0 )= e
0
x
2
f
x
= 1 + x +
b) Use la serie de Taylor para estimar f ( x ) = e–x en xi +1 = 1 para xi =
0.25. Emplee versiones de cero, primero, segundo y tercer orden, y
calcule |ε t | para cada caso.
f (
x
i + 1
)
= e
− x
i
− e
− x
i
h + e
− x
i
h
− e
− x
i
h
Para xi = 0.2, xi+1 = 1 y h = 0.8. verdad = e–1 =
0.367879. orden cero:
f ( 1 )= e
−0.
ε =
∣
∣
Primer orden:
f (1) =0.818731 -0.818731(0.8) =0.
ε =
∣
∣
Segundo orden:
f
A
ε =
∣
∣
2
3
2
n
t
Tercer orden:
f
A
2
A
6
(
π
)
4
s
ε =
t
∣
∣
Tercer orden:
π
cos
(
)
ε
t
(
π
)
6
ε
a
∣
∣
Dado que el error aproximado es inferior al 0,5%, el cálculo puede finalizarse.
4.3 Repita los cálculos del problema 4.2, pero ahora
usando la expansión de la serie de Maclaurin para sen
x,
sen x = x −
x
x
5
x
7
para evaluar el sen (p/4).
Use el criterio de parada:
ε =0.5∗ 10
2 −
2
Valor verdadero: sin (
π /3) =
0.866025… Orden cero:
sen
(
π
)
π
ε
t
∣
∣
Primer orden:
3
t
t
Orden cero:
ε =
∣
∣
Primer orden:
f
=− 62 + f
'
ε
t
f 3 ( 1 ) 3
f
ε
t
Por lo tanto, el resultado de tercer orden es perfecto porque la función
original es un tercer orden
polinomio.
4.5 Use la expansión de la serie de Taylor de cero al cuarto orden para estimar
f
(3) si f ( x ) = ln x utilizando x = 1 como punto base.
Calcule el error relativo porcentual et para cada
aproximación. Analice los resultados.
Valor verdadero:
f (2.5)=ln ( 2.5)=0.916291...
orden cero:
f (2.5)= f ( 1 )= 0
ε =
∣
∣
Segundo
orden:
f
' '
3
f
ε
t
Tercer orden:
t
t
t
t
Primer orden:
f (2.5)= f ( 1 ) (2.5− 1 )= 0 + 1 (1.5 )=1.
ε =
∣
∣
Segundo orden:
f
''
f
ε =
∣
∣
Tercer
orden:
f
(
3 )
( 3 )
3
f
ε =
∣
∣
Cuarto orden:
f
( 1 )
f (2.5)=1.5+
( 4 )
4
ε =
∣
∣
Por lo tanto, el proceso parece ser divergente, lo que sugiere que se
requeriría un paso más pequeño para convergencia.
4.6 Utilice aproximaciones en diferencias de O ( h ) hacia atrás y hacia
adelante y una aproximación de diferencia central de O ( h 2) para estimar
la primera derivada de la función mencionada en el problema 4.4.
Evalúe la derivada en x = 2 usando un tamaño del incremento 0.2.
Compare los resultados con el valor exacto de las derivadas. Interprete
los resultados considerando el término residual de la expansión en la
serie de Taylor.
∣
h = 0.25:
f
' '
f (2.25)− 2 f ( 2 )+ f (1.75)
2
2
h = 0.125:
f
' '
f (2.125)− 2 f ( 2 )+ f (1.875)
2
2
4.8 Recuerde que la velocidad de caída del paracaidista puede
calcularse con [ecuación (1.10)]
v ( t )=
gm
( 1 − e
( c / m ) t
)
c
Use un análisis de error de primer orden para estimar el error de v para t = 6,
si g
= 9.8 y m = 50, pero c = 12.5 ± 2.
∂v
∂c
cgt
−( c / m ) t
− gm
( 1 − e
−( c / m ) t
)
c
2
∆ v ( c ) =
∂v
∆c =1.38666 (1.5)=2.
∂c
v ( 1 2. 5 )=
( 1 − e
−12. 5 ( 6 )/ 50
) = 3 0.
v- 30.4533 =2.
Por lo tanto, los límites calculados con el análisis de primer orden
van desde 28.3733 a 32.5333. Esta
El resultado se puede verificar calculando los valores exactos como
v ( c − ∆ c )=
( 1 − e
−( 11 / 50 )/ 6
) = 3 2.
v ( c + ∆ c ) =
( 1 − e
−( 14 / 50 )/ 6
) = 2 8.
Por lo tanto, el rango de 2.0844 es cercano a la estimación de primer orden.
4.9 Repita el problema 4.8 con g = 9.8, t = 6, c = 12.5 ± 1.5 y m = 50 ± 2.
∣
∣
∂c ∂c
v ( 1 2. 5 )=
( 1 − e
−12. 5 ( 6 )/ 50
) = 3 0.
∆ v ( c ) =
∣
∂ v
∣
∆ c +
∣
∂ v
∣
∆ m
∂v
∂c
cgt
−( c / m ) t
− gm ( 1 − e
−( c / m ) t
)
c
2
∂ v
e
−( c / m ) t
g
( 1 − e
−( c / m ) t
)= 0.
∂c m c
v =30.4533 = 3.
4.10 La ley de Stefan-Boltzmann se utiliza para estimar la
velocidad de cambio de la energía H para una superficie, esto es, H =
Ae σ T 4
donde H está en watts, A = área de la superficie (m2), e = la emisividad
que caracteriza la propiedad de emisión de la superficie (adimensional),
σ = una constante universal llamada constante de Stefan-Boltzmann (=
5.67 × 10–8 W m– 2 K–4) y T = temperatura absoluta (K). Determine el
error de H para una placa de acero con A = 0.15 m2, e = 0.90 y T = 650
± 20. Compare los resultados con el error exacto. Repita los cálculos,
pero con T = 650 ± 40. Interprete los resultados.
Para ∆ ( T )=20,
∆ H ( T )=
∂ H
∆T
∂T
∂ H
= 4 Aeσ T
3
= 4 ( 0 .15 ) 0.9 ( 5 .6 7 ∗ 10
− 8
) 650
3
∂T
∆ H ( T )=8.408 ( 20 )=168.
Error exacto:
∆ H
Verdad
H ( 670 )− H ( 630 )
Por lo tanto, la aproximación de primer orden está cerca del resultado exacto.
Para
∆T = 40
∆ H ( T )=8.408 ( 40 )=336.
[
x
(
H0.16,0.95,570) =4 (0.16) 0.95(5.67 *10) (570) =1829.
∆ H
Verdad
4.12 Evalúe e interprete los números de condición para
CN =
xf ' ( x )
f ( x )
( a ) CN =
√
√
El resultado está mal acondicionado porque la derivada es grande cerca de x =
(a) CN
( − e
− 10
)
e
− 10
( − 4 .5 4 ∗ 10
− 5
)
− 5
El resultado está mal acondicionado porque x es grande.
[
]
√
2
( C ) CN =
√
( − 5 .55555 6 ∗ 10
− 6
)
El resultado está bien
acondicionado.
− x e
− x
− e
− x
x
( a ) CN =
x
2
(
e
− x
)
El resultado está bien acondicionado.
( e ) CN
x
(1cos) cosx + sinx
(sin)
( 1 + cosx )
2
senx
1 + cosx
El resultado está mal acondicionado porque, como en la siguiente
gráfica, la función tiene una singularidad en
x = 𝑢
∣
∣
∣
∣
∂u v
4.13 Empleando las ideas de la sección 4.2, muestre las relaciones de la
tabla 4.3.
f ( u , v )= u + v
∆ H =
∣
∂ f
∣
∆ u +
∣
∂ f
∣
∆ v
∂u ∂ v
∂ f
∂u
∂ f
∂v
f ( u ~, v ~) = u ~ + v ~
Multiplicación:
f ( u , v )= u. v
∂ f
= v
∂u
∂ f
= u
∂v
f ( u ~, v ~) = u ~ + v ~
División:
f ( u , v )= u / v
∣
∂ f
∣
∣
∂ f
∣
u
∂v v
2
f ( u ~, v ~) =
∣
v
∣
u ~ +
∣
v
2
∣
v ~
precisión de sólo ±10%. Es decir, la rugosidad tiene un valor de 0.03 con
un rango de 0.027 a 0.033, y la pendiente es 0.0003 con un rango de
0.00027 a 0.00033. Use un análisis de error de primer orden para
determinar la sensibilidad en la predicción del flujo para cada uno de
esos dos factores. ¿Cuál se debería intentar medir para una mejor
precisión?
∣
a
a
∆ Q =
∣
∂Q
∣
∆ u +
∣
∂ Q
∣
∆ S
∂n
∂Q − 1
∂S
( BH )
5 / 3
∂n
n
2
2 / 3
S
( B + 2 H )
∂Q
( BH )
5 / 3
∂S
n
2
( B + 2 H )
2 / 3
S
Q = [-50.74]0.003+ [2536.9]0.00003= 0.152+ 0.076 = 0.
4.16 Si | x | < 1, se sabe que
ε
s =0.5∗ 10
2 − 2
% =0.5 %
Valor verdadero:
orden cero:
1 − x
ε =
∣
∣
Primer orden:
1 − x
ε
t
ε =
∣
∣
segundo orden:
1 − x
ε
t
ε =
a
dsen ∅ 0 β
dα
√
( ¿
)
√
(
sen ∅ 0 )
= 3. 1305 ∆ α
para ∆α =0.25( 0.02)=0.005,
(
sen ∅ 0 )
sen ∅ 0
max sin ∅ 0
max sin ∅ 0
max ∅=arcsin
0
π
min ∅=arcsin
0
π
4.18 Considere la función f ( x ) = x 3 – 2 x + 4 en el intervalo [–2, 2]
con h = 0.25. Use las aproximaciones en diferencias finitas hacia
adelante, hacia atrás y centrada para la primera y segundas derivadas,
e ilustre gráficamente qué aproximación es más exacta. Grafique las
tres aproximaciones a la primera derivada por diferencias finitas, junto
con los valores exactos, y haga lo mismo con la segunda derivada.
