Integrales algebraicas, Apuntes de Cálculo

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Cálculo Integral

¿Qué es el Cálculo Integral?

Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.

ISAAC BARROW

Nació en Octubre de 1630 en Londres Inglaterra y falleció el 4 de mayo de 1677 en Londres, Inglaterra.

ISAAC NEWTON

Nació el 4 de enero de 1643 en la villa de

Woolsthorpe,Lincolnshire,Inglaterra. Falleció el 31 de marzo de 1727 en

Londres, Inglaterra

GOTTFRIED LEIBNIZ

Nació el 1 de julio 1646 en Leipzig, Saxon,Alemania). Falleció el 14 noviembre 1716 en

Hannover, Alemania.

En Cálculo Infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f , es decir ;

F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante:

si F 1 y F 2 son dos primitivas de f , entonces existe un número real C , tal que:

F 1 = F 2 + C.

A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f , el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

Significado grafico del Cálculo Integral

Una de las nociones fundamentales de la integral, es que gráficamente representa el área bajo la curva.

Veamos como surge esta interesante noción:

¿Cómo podríamos calcular el área bajo esta curva?

Sin embargo, existen espacios que aun no han sido cubiertos y que podría resultar impráctico llenar los espacios con círculos mas pequeños.

Gráfica de la función en la que la parte de amarillo no ha sido llenada con círculos aunque pudieran llenarse.

También podríamos intentar llenar el área bajo la curva con triángulos, pero al igual que el llenado con círculos resulta impráctico en el sentido de que tendremos que calcular el área de diferentes triángulos rectángulos o cualquier otro y calcular su área en particular.

¿Qué sucede si realizamos una aproximación con otra figura regular como lo es un rectángulo?

Como podemos sabemos, resulta práctico calcular el área de un rectángulo, han quedado algunas áreas sin llenar y algunos rectángulos han pasado sobre el margen de la curva

Para el segundo rectángulo de lado ∆X 2 y f ( X2 ) tendríamos que el área esta descrita como:

Área del segundo rectángulo = f ( X2 ) ∆X 2

Si sumamos todas las áreas de los rectángulos tendremos:

Área aproximada debajo de la curva = ∑ f ( Xi ) ∆Xi

A medida que hacemos crecer el número de rectángulos que cubren el área bajo la curva tendremos una mejor aproximación, al igual que sucedería con los círculos y los triángulos. Al hacer crecer el número de rectángulos implicara que los incrementos sean mas pequeños a fin de obtener una mejor aproximación.