¡Descarga Dominio y Asíntotas de Funciones Racionales: Guía Completa y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Dominio de funciones racionales
El caso más simple de función racional es el de la función de proporcionalidad inversa 1/x. En ese caso, la gráfica resulta una hipérbola equilátera. Restando o sumando una constante k al denominador desplazamos la gráfica hacia la izquierda o la derecha respectivamente. Observa que, en cada caso, el valor que anula el denominador es el que hay que excluir del dominio, resultando en una asíntota vertical.
3- Asíntotas Verticales: Aparecen en los valores de x que anulan el denominador, donde la función tiende a infinito o menos infinito. Son líneas verticales que la gráfica nunca cruza. En el ejemplo anterior, hay una asíntota vertical en x=3.
Horizontales: Describen el comportamiento de la función cuando x→±∞. Se determinan comparando los grados de los polinomios del numerador y denominador. Por ejemplo, si el grado del numerador es menor que el del denominador, la asíntota horizontal es y=0. Si son iguales, la asíntota es el cociente de los coeficientes líderes.
Oblicuas: Si el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, la función tiene una asíntota oblicua, que se obtiene mediante división polinómica Una asíntota es una recta a la cual se aproxima indefinidamente una función, sin llegar nunca a tocarla.
Tipos de asíntotas La palabra asíntota proviene del griego asumptotos que significa sin encontrarse. En la figura tenemos los 3 tipos de asíntotas que puede presentar una función: en verde, una asíntota horizontal; en rojo, una asíntota vertical; en azul, una asíntota oblicua. Como puedes ver, las ramas de la función nunca tocan a las asíntotas, pero se aproximan de manera constante a ellas.
Como ves, gráficamente las asíntotas se asocian a ramas de la función infinitas (que no tienen fin).
¹- Asíntotas verticales
Gráficamente, las asíntotas verticales se distinguen porque, a medida que nos acercamos a un valor concreto de x, la función "se va" a infinito (o a menos infinito). En 1 los límites laterales, y por tanto el límite, de la función es infinito. En el segundo caso, los límites laterales son distintos, por lo que no existe, estrictamente hablando, el límite, aunque sí la asíntota. En 3 y 4 podemos ver que basta que sólo uno de los límites laterales sea infinito para que exista la asíntota.
Cálculo en funciones racionales Ya sabes que una función racional es aquella que se puede expresar como el cociente de dos polinomios: f(x)=P(x)/Q(x). En estos casos:
Simplificamos f(x) factorizando P(x) y Q(x) y eliminando las raíces comunes
Las raíces del denominador son las asíntotas verticales de f(x), con lo que las buscamos haciendo Q(x)=
Asíntotas en funciones logarítmicas
Las funciones logarítmicas tienen una asíntota vertical en los puntos en que se anula el argumento (x=0 en el caso de las dos gráficas de la figura). En 1, forma de las funciones logarítmicas cuando la base es mayor que 1. A la derecha, el caso de las funciones logarítmicas con base entre 0 y 1.
Asíntotas oblicuas
Gráficamente, las asíntotas oblicuas se distinguen porque cuando la x se hace infinitamente grande (por la derecha o por la izquierda), la función se aproxima a una recta con cierta pendiente m. A la izquierda, en 1, a medida que crecen los valores de x, los correspondientes valores de y=f(x) se aproximan a la recta y=x (m=1, n=0). A la derecha, a medida que creen los valores de x, la función se aproxima a y=-x+1 (m=-1, n=1).
Cálculo en funciones racionales Cuando la función es racional, f(x)=P(x)/Q(x), se producen asíntotas oblicuas siempre que grado P(x) - grado Q(x) = 1. Si es así, realizaremos la división de P(x) entre Q(x): El cociente de la misma, en la forma m·x+n, es la asíntota oblicua.
Recordamos que, según la "prueba de la división", el dividendo, P(x), es igual a cociente, C(x), por divisor, Q(x), más el resto, R(x), con lo que: El cociente R(x)/Q(x), en rojo, tiende a ser cada vez más pequeño para valores altos de x (ya que el grado del resto R(x) será menor al del divisor Q(x), con lo que la función P(x)/Q(x) se comportará de manera cada vez más parecida a la del cociente C(x), que es un polinomio de grado 1, es decir, la recta oblicua que constituye la asíntota de la función. Ejemplo
Podemos buscar las asíntotas oblicuas de f(x) = x²-×- —------- x-
, ya que grado de P(x) = 2 grado de P(x) = 1 (el numerador es sólo un grado mayor que el denominador). Si dividimos numerador entre denominador:
De manera que la asíntota oblicua es directamente y=x+1.
Esbozo de asíntotas oblícuas
En la figura, el esbozo de las asíntotas oblicuas del ejemplo. Observa que, mientras la rama izquierda se acerca a la asíntota y=x+1 desde arriba, la derecha lo hace desde abajo. Al igual que sucedía con las asíntotas horizontales, para distinguir un caso del otro, damos a la x valores muy grandes, positivos y negativos respectivamente, y comprobamos si el valor de la función es ligeramente superior o inferior al de la asíntota. Si es inferior, la función se acerca desde abajo. Si es superior lo hace desde arriba.
A continuación tienes la función del ejemplo representada gráficamente, puedes ver que los puntos de corte encontrados coinciden con los de la gráfica:
- Gráfica de la función Para graficar:
-Se dibujan las asíntotas verticales y horizontales u oblicuas. -Se marcan las intersecciones con los ejes. -Se evalúan algunos puntos adicionales para determinar la forma de la curva. -Se analiza el comportamiento cerca de las asíntotas (la función puede tender a+∞ o−∞). -Se identifican intervalos donde la función es positiva o negativa para ubicar la curva arriba o abajo del eje x.
- Propiedades adicionales -Continuidad: La función es continua en su dominio, pero presenta discontinuidades en los valores que anulan el denominador (asíntotas verticales o "huecos" si hay factores comunes en numerador y denominador). -Crecimiento y decrecimiento: Se puede estudiar con la derivada para encontrar intervalos donde la función crece o decrece. -Simetría: Algunas funciones racionales pueden ser pares (simétricas respecto al eje y) o impares (simétricas respecto al origen). -Puntos singulares: Máximos, mínimos o puntos de inflexión se pueden hallar con derivadas -Concavidad y puntos de inflexión Analizando la segunda derivada, se identifican intervalos donde la función es cóncava (curva hacia arriba) o convexa (curva hacia abajo), y se localizan puntos de inflexión donde cambia la concavidad. -Clasificación según grados de polinomios •Funciones racionales propias: grado del denominador mayor que el del numerador. Su comportamiento para valores grandes de x tiende a cero (asíntota horizontal en y=0). •Funciones racionales impropias: grado del numerador mayor o igual que el del denominador. Se pueden expresar como la suma de un polinomio y una función racional propia, lo que facilita su análisis, especialmente de las asíntotas oblicuas o de orden superior.
- Aplicaciones prácticas Estas propiedades permiten modelar fenómenos reales como la fuerza gravitatoria, la corriente eléctrica, o la concentración de sustancias en función del tiempo, donde las relaciones inversas o proporcionales se representan mediante funciones racionales.
- Ejemplos prácticos Graficar f(x)=x+ —--- x- : dominio R−{3}, asíntota vertical x=3, asíntota horizontal y=1, intersección con eje x en x=−2, intersección con eje y en y=2 = - —- — -3 3. Analizar funciones con diferentes grados en numerador y denominador para observar cambios en asíntotas y forma de la gráfica.
Ejemplo 1: Función de proporcionalidad inversa Considera la función: f(x)= 1 — x
•Dominio: Todos los reales excepto x=0. •Asíntota vertical: x=0 (eje y). •Asíntota horizontal: y=0 (eje x). •Intersecciones: No corta los ejes.
Descripción de la gráfica: La curva se aproxima a los ejes pero nunca los toca. En el primer y tercer cuadrante, la gráfica es hiperbólica, acercándose cada vez más a los ejes pero sin cruzarlos.
Ejemplo 2: Función racional con desplazamiento f(x)= - — x− -Pasos para graficar:
•Intercepto en y: f(0)= -3 =3 → Punto (3,0). —
•Intercepto en x: El numerador es constante −3, así que la función no corta el eje x. •Asíntota vertical: x−1=0⟹x=1. •Asíntota horizontal: El grado del denominador es mayor que el del numerador, así que y=0 es la asíntota horizontal. •Puntos adicionales: f(2) =-3=−3 → Punto —- 2− (2,−3).
•Descripción de la gráfica: La gráfica tiene dos ramas: una en x<1 y otra en x>1. Se acerca a la asíntota vertical en x=1 y a la horizontal en y=0, sin tocarlas.
Ejemplo 3: Función racional con hoyo f(x)= x²− —--- x- Simplificación: x²−1=(x−1)(x+1), así que
