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FUNCIONES REALES DE VAR. VECT.
Tipo: Diapositivas
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𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐞𝐧𝐭𝐞𝐧𝐝𝐞𝐫 𝐚𝐝𝐞𝐜𝐮𝐚𝐝𝐚𝐦𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐞𝐬𝐭𝐚 𝐮𝐧𝐢𝐝𝐚𝐝 se requiere recordar los siguioente temas:
𝐈𝐧𝐭𝐫𝐨𝐝𝐮𝐜𝐜𝐢ó𝐧
En esta unidad estudiaremos funciones 𝑓: 𝐷𝑐𝑅𝑛^ → R, donde cada elemento de D se va a denotar como 𝑥 Ԧ = x 1 , x 2 , x 3 , … , xn ∈ Rn^ y cada elemento de R como 𝑧, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑧 = 𝑓( 𝑥Ԧ).
Definición.-. Una función real de variable vectorial f: D c Rn^ → R, es una correspondencia que se establece entre los elementos x ∈ D c Rn^ y los elementos z ∈ R, de tal que para cada vector x le corresponde un sólo elemento z que pertenece a R
Dominio y Rango de la función real de variable vectorial
Consideremos la función f: D c Rn^ → R, entonces el 𝐝𝐨𝐦𝐢𝐧𝐢𝐨 de f denotado por 𝐷𝑓 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜:
𝐷𝑓 = (x 1 , x 2 , x 3 , … , xn) ∈ Rn^ / ∃ z ϵ R, donde z = f(x 1 , x 2 , x 3 , … , xn))
𝐷𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟á 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑅𝑓
𝑅𝑓 = 𝑧 𝜖 𝑅 / ∃ 𝑥Ԧ 𝜖 𝑅𝑛^ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑧 = 𝑓( 𝑥Ԧ )
Gráfica de una función. (^) La gráfica de la función f: D C Rn^ → R, denotada por Gf se define como:
En la función anterior z = 25 − x^2 − y^2 , la gráfica está contenida en R^3 y es el hemisferio superior de la esfera x^2 + y^2 + z^2 = 25 para graficar hacemos lo siguiente: para y = 0 , tenemos x^2 + z^2 = 25 , para x = 0 , tenemos: y^2 + z^2 = 25 ; para z = 0 , tenemos: x^2 + y^2 = 25 ; que son circunferencias con centro en el origen en el plano XZ; YZ y XY respectivamnete, y cuya gráfica es la siguiente:
Gf = (x, f x / xϵD ⊆ Rn+^1
Una forma practica de hacer la gráfica de una función real de variable vectorial es a travez de las curvas de nivel: para lo cual consideraremos una función z = f x, y , cuya gráfica es una superficie en 𝑅^3. Para hallar estas curvas de nivel hacemos z = k, kϵ Z, 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: Hallar las curvas de nivel y graficar la función z = f x, y = 𝑥^2 + 𝑦^2
Solución
Solución
Como z = arsen ( x y ) entonces sen z = x y ; pero − π 2 ≤ senz ≤ π 2 ; entonces − 1 ≤ x y ≤ 1
Desarrollando tenemos: − 1 ≤
x y ∧^
x y ≤^1 ;^ esto^ implica^ que^
x + y y ≥^0 ∧^
x − y y ≤^0
Luego el dominio Df = x, y ∈ R^2 /
x + y y ≥^0 ∧^
x − y y ≤^0
Para graficar analizamos: x+ y y ≥ 0 implica que x + y ≥ 0 ∧ y > 0 ∨ ( x + y < 0 ∧ y < 0 )
x−y y ≤^0 implica^ que^ x^ −^ y^ ≤^0 ∧^ y^ >^0 ∨^ (x^ −^ y^ ≥^0 ∧^ y^ <^0 )
Solución
Solución
Ejercicio propuestos
Ejemplo 2. Analizar si el (^) x,ylim →( 0 , 0 )
xy x^2 + y^2
existe o no existe
Ejemplo 1. Determinar si (^) x,ylim →( 0 , 0 )
x^2 y^2 x^2 + y^2 existe^ o^ no^ existe
𝐓𝐄𝐎𝐑𝐄𝐌𝐀
𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓: 𝑅^2 → 𝑅, 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥, 𝑦 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑎 𝑥 0 , 𝑦 0 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑎 𝑥 0 , 𝑦 0 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (^) (𝒙,𝒚)𝐥𝐢𝐦→(𝒙𝟎,𝒚𝟎) 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆
CONTINUIDAD DE UNA FUNCION
Definición. - (^) Una función de dos variables z = f x, y es contínua en el punto x 0 , y 0 , Sii f x 0 , y 0 está definido y es igual al límite de f x, y cuando x, y tiende a 𝑥 0 , 𝑦 0 es decir que:
(x,y)→(x 0 ,y 0 )
Ejemplo 1. Determinar si la siguiente función es contínua en el punto ( 0 , 0 )
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥𝑦 𝑥^2 + 𝑦^2 ,^ 𝑠𝑖^ (𝑥,^ 𝑦)^ ≠^ (^0 ,^0 ) 0 , 𝑠𝑖 𝑥, 𝑦 = ( 0 , 0 )
