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limite definicion limites de una funcion trigonometrica
Tipo: Resúmenes
1 / 18
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UNIVERSIDAD NACIONAL
JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN
− − − − −
−
−
−
−
−
−
x
y
2
x
x x
✓ ¿Coinciden los valores de f ( x )cuando x se aproxima
✓ A pesar que (^) f ( x )no está definida para (^) x = 3 , ¿qué se
1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
2. LÍMITES LATERALES
Supongamos que 𝑥 0 ∈ (𝑎, 𝑏)y que tenemos una función 𝑓 tal que su dominio 𝐷𝑓
contiene al intervalo (𝑎, 𝑏) con excepción posiblemente de 𝑥 0 ; el hecho de que la
función 𝑓(𝑥)esté o no definida en 𝑥 0 es irrelevante.
Decimos que el límite de la función 𝑦 = 𝑓 𝑥 , cuando x tiende a 𝑥 0 , es el número real 𝛼
si para números 𝑥 0 ∈ (𝑎, 𝑏) suficientemente próximos a 𝑥 0 las imágenes
correspondientes 𝑓(𝑥) están tan próximas a 𝛼 como queramos. Si esto sucede, se dice
que el límite de 𝑓 𝑥 , en 𝑥 0 existe y es igual a 𝛼
Notación:
Se lee: El límite de𝑓 𝑥 cuando x tiende a 𝑥 0 es 𝛼
Algunos autores escriben:
𝑓(𝑥) → 𝛼 cuando 𝑥 → 𝑥 0
Consideremos la función 2
4 ( )
2
−
x
x f x
Cuando 𝒙 toma valores cercanos a 2 , sin importar si 𝑥 se
aproxima por la izquierda (𝑥 < 2 ) o por la derecha 𝑥 > 2 ,
los valores correspondientes de 𝒇 𝒙 se aproximan cada
vez más a un sólo número el 4.
1. 1 ) Noción Intuitiva
, esta función no está
definida en 𝑥 = 2 , pero observemos el comportamiento de
los valores de dicha función cuando se aproxima a 2
𝒙 2
𝒇(𝒙) ¿?
𝒙 se aproxima a 2 desde la izquierda
… (^1) , 95 1 , 99 1 , 999
𝒇(𝒙) se aproxima a
… (^3) , 95 3 , 99 3 , 999
𝒙 se aproxima a 2 desde la derecha
2 , 001 2 , 01 2 , 05 …
4 , (^0014) , 01 4 , 05 …
𝒇(𝒙) se aproxima a
Si 𝑓(𝑥) se acerca más y más al número 𝐿 cuando 𝑥 se aproxima al valor de 𝑥 0 , entonces este comportamiento se expresa simbólicamente como:
x (^) x
→
0
Definición formal.
Sea 𝑓: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) → ℝ una función en cada número de algún intervalo abierto que contenga a 𝑥 0 , excepto posiblemente en el valor de 𝑥 0 mismo; decimos que:
= − − →
f x L x Df x a f x L x a
lim () 0 , 0 : 0 ( )
Definición épsilon-delta de límites
1. 2 ) Definición de Límite
𝐿
𝑥 0
𝐿 + 𝜀
𝐿 − 𝜀
𝛿 − 𝑥 0 𝑥 0 + 𝛿
𝑋
𝑌 𝒚^ =^ 𝒇(𝒙)
ser 𝑥 − 𝑥 0 es decir:
𝑓 𝑥 − 𝐿 = ℎ(𝑥) 𝑥 − 𝑥 0
2do. Acotar ℎ 𝑥 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 dos números positivos 𝜹𝟏 y 𝑘, para los cuales, se
𝒙 − 𝒙𝟎 < 𝜹𝟏 ⇒ ℎ(𝑥) ≤ 𝑘
Ahora el valor 𝑘 lo hallamos asignando a 𝜹 = 𝜹𝟏 según la forma que tenga la
función 𝑓
a) Si la función 𝑓 es un polinomio de variable real hacemos 𝜹𝟏 = 𝟏
b) Si 𝑓 es racional de la forma: 𝑓 𝑥 =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
𝑞 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑏 … , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, 𝑒𝑡𝑐,
𝑠𝑜𝑛 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑓 𝑠𝑒 𝑒𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑙𝑎 𝑚á𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑎 𝑎 𝑥 0. En particular 𝜹𝟏 =
𝟏
𝟐
c) Si f(x) contiene radicales de índice par, el acotamiento de ℎ(𝑥) se hará a partir del
dominio de 𝑓.
𝟎
𝟏
0
𝟏
𝑥→𝑥 0
1. 4 ) Indeterminación matemática
Si al tratar de calcular el lim se obtiene: 𝑥→𝑥 0
g(𝑥)
entonces se dice que el límite es indeterminado y que
tiene la forma:
lim 𝑥→𝑥 0
𝑓 𝑥 = (^0) y lim 𝑥→𝑥 0
g 𝑥 = 0
Formas Indeterminadas
En general, las formas indeterminadas son:
¿Cómo eliminar la indeterminación de un límite?
Si lim es de la forma , entonces para eliminar la 𝑥→𝑥 0
g(𝑥)
indeterminación es necesario realizar las siguientes operaciones:
lim 𝑢→ 0
factorizaciones o racionalizaciones en el numerador o
denominador y en algunos casos es recomendable realizar un
cambio de variable.
trigonométricas y el límite notable
1. 5 ) Ejercicios Resueltos
I. Calcular los siguientes límites determinados:
lim (^1) −
→ − (^) x
x
x
cos( 2 ) ( )
( 2 ) cos( ) lim x senx
sen x x
x (^) +
→
1.
1.
cos( 2 ) ( )
( 2 ) cos( )
sen
sen
= =− 1
1. 5 ) Ejercicios Resueltos
II. Calcular los siguientes límites indeterminados:
12
4 lim 2 (^4) − −
−
→ (^) x x
x
x
Solución
2
x
( 3 )
1 lim (^4) +
= x → (^) x 7
lim 4 2 − −
→ (^) x x
x
x 7
Por lo tanto =
2.1
0
0 Forma
𝒙→𝟑
2.
𝒙→𝟐
𝟑
𝟐
2.
𝟐
𝒙→𝟐
𝒙→𝟎
𝟒
𝟑
2.
2. 1 ) Límite Lateral por la Izquierda
Por izquierda
Se escribe
lim 𝒙→𝒂−^
y se menciona que el
límite lateral izquierdo de
𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑎
es igual a 𝐿, si podemos
acercar arbitrariamente a
𝐿 los valores de 𝑓(𝑥)
aproximando a 𝑎, con 𝑥
menor que 𝑎.
2. 2 ) Límite Lateral por la Derecha
Se escribe
lim 𝒙→𝒂+^
y se menciona que el
límite lateral derecho de
𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑎
es igual a 𝐿, si podemos
acercar arbitrariamente a
𝐿 los valores de 𝑓(𝑥)
aproximando a 𝑎, con 𝑥
mayor que 𝑎. Por derecha
2. 3 ) Teorema de Límites Laterales
x a x a x a
→
− → →
El límite de una función 𝑓(𝑥) existe y es único
cuando 𝑥 se aproxima al valor de 𝑎 sí y solo si, los
límites laterales derecho e izquierdo en 𝑎 existen y
son iguales.
1. (^) lim 2.
𝑥→ 2
8 − 4 𝑥
𝑥 2
3.
lim 𝑥→− 3
𝑥 2
𝑥 + 5 − 2
lim 𝑥→ 4
4 + 𝑥 − 4 − 2
3 𝑥 − 𝑥 − 3 − 11
Sea
𝒇 𝒙 =
𝟔
𝟑 𝒙 − 𝟔𝑺𝒈𝒏(𝒙𝟐^ − 𝟒) − 𝟒 𝒙 + 𝟒 + 𝟐𝒙
𝒙𝟐^ + 𝟓 − 𝟑 Hallar 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐−^
𝒇(𝒙)
4.
Dada la función
𝒇 𝒙 =
𝟑 𝒙−𝒂
𝟐 − 𝒙𝟐^ + 𝟑
𝟏 − −𝒙
, −𝟏 < 𝒙 ≤ 𝟎
− 𝟑 + 𝒃𝒍𝒐𝒈𝟑 𝒙 + 𝟑 , 𝒙 > 𝟎
Si lim 𝑥→− 1
𝑓 𝑥 𝑦 lim 𝑥→ 0
𝑓(𝑥) existen, determine
los valores de las constantes 𝑎 𝑦 𝑏.
5.
Calcule
lim 𝒉→𝟎
𝒇 𝟐 + 𝒉 − 𝒇(𝟐)
𝒉 Si 𝑓 𝑥 = 3 𝑥
6.
1
𝟐
𝒙→𝟑
𝒙→𝟕
2
a
b
𝟑
𝒙−𝟐
𝒙→𝟐
