TALLER 9:
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
(para maestros de décimo a duodécimo grado)
Universidad de Puerto Rico en Bayamón
Departamento de Matemáticas
Preparado por:
Prof. José La Luz, Ph.D.
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Taller de Trigonometría: Funciones Trigonométricas para Maestros, Ejercicios de Cálculo
funciones trigonométricas ejercicios resueltos y propuestos
Tipo: Ejercicios
2019/2020
1 / 67
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TALLER 9:
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
(para maestros de décimo a duodécimo grado)
Universidad de Puerto Rico en Bayamón Departamento de Matemáticas
Preparado por: Prof. José La Luz, Ph.D.
PRE-PRUEBA
- Determine si los siguientes ángulos son coterminales:
a) 110° y 470° b) 700° y 2,200° c) 45° y -315°
- Cambie los siguientes ángulos de grados a radianes:
a) 30 o b) 90o
- Cambie los siguientes ángulos de radianes a grados:
a)^ π
b) π
Para el siguiente triángulo rectángulo, calcule las 6 funciones trigonométricas:
Determine las seis funciones trigonométricas del ángulo formado por el lado terminal
del punto (1,3).
- Encuentre el valor exacto de las siguientes expresiones:
a) sen 405 °
b) cos^20 π
c) tan − 41 π
^ ^
^
- Grafique un periodo de las siguientes funciones:
a) y = sen (2 π x )
b) y = 3cos(2 x )
- Resuelva los siguientes triángulos rectángulos dada la siguiente información:
(Suponga que a y b representan las longitudes de los catetos y c es la longitud de la hipotenusa).
a) α = 30°, a = 10
b) β = 45°, c = 12
OBJETIVOS
Al finalizar el taller los participantes deberán:
- dibujar ángulos positivos, negativos y de valores mayores de 360 grados.
- reconocer cuándo dos ángulos son coterminales.
- cambiar medidas de ángulos de grados a radianes y viceversa.
- calcular el área de un segmento circular de un círculo.
- dado un triángulo rectángulo, calcular las seis funciones trigonométricas del ángulo
dado.
- dado un punto en el plano cartesiano, calcular las seis funciones trigonométricas del
ángulo formado.
- saber utilizar los valores de los ángulos especiales, los ángulos de referencia y los
signos de las funciones trigonométricas para hacer cálculos.
- verificar identidades trigonométricas.
- usar las fórmulas de suma, medio y doble ángulo para hacer cálculos.
- resolver ecuaciones trigonométricas.
JUSTIFICACIÓN
Desde la agrimensura hasta la navegación y la cartografía, la medida precisa de las
distancias es necesaria para nuestro mundo. La trigonometría se desarrolló hace más de
dos mil años para este mismo propósito. Este módulo es una introducción a esta rama
importante de la matemática.
2. EJERCICIOS:
Dibuje los ángulos siguientes:
a) 556° b) 820° c) 2,130°
También tenemos ángulos negativos (ó de menos de 0°). Esto quiere decir que movemos
el rayo a favor de las manecillas del reloj.
EJEMPLOS:
Dibuje los ángulos siguientes:
a) -45°
b) -270°
c) -400°
Anteriormente habíamos calculado que 400° = 360°(1) + 40°. Esta vez es el mismo
ángulo, pero negativo. Esto quiere decir que damos una vuelta completa a favor de las
manecillas del reloj y después 40° más (a favor de las manecillas del reloj).
3. EJERCICIOS:
Dibuje los ángulos siguientes:
a) -90° b) -800° c) -960°
NOTA: Tenemos una cantidad infinita de ángulos con lados terminales que coinciden.
DEFINICIÓN: Dos ángulos son coterminales si los lados terminales coinciden.
EJEMPLOS:
Determine si los siguientes ángulos son coterminales:
a) 110° y 470°
Observe que 470° = 360°(1) + 110°. De esto deducimos que tenemos una vuelta y
después 110°. Por lo tanto estos, ángulos son coterminales.
b) 700° y 2,200°
Como 700° = 360°(1) +340°, el primer ángulo lleva a cabo una vuelta y después 340° y
como 2,200° = 360°(6) + 40° el segundo ángulo lleva a cabo seis vueltas y después 40°,
los ángulos no son coterminales.
c) 45° y -315°
Como -315° + 360° = 45°, entonces los ángulos son coterminales.
4. EJERCICIOS:
Determine si los siguientes ángulos son coterminales:
a) 180° y -180° b) 1,000 y 2,121°
π^ =π
c) 15 o
15 o^ π
180 o
^ ^
^ ^
5. EJERCICIOS:
Cambie los siguientes ángulos de grados a radianes:
a) 45 o b) 180o c) 270o d) π o
Para cambiar de radianes a grados, multiplicamos el ángulo por^180
o
EJEMPLOS:
Cambie los siguientes ángulos de radianes a grados:
a)^ π
180 o
^
^ ^
= 10 o
b) π
o
=^180 o
6. EJERCICIOS:
Cambie los siguientes ángulos de radianes a grados:
a)^ π
b)^ π 5
c)^7 π
d) 9
TRIGONOMETRÍA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Un triángulo rectángulo es un triángulo donde uno de los ángulos
mide 90°. A los lados opuestos a los ángulos que miden menos
de 90° se les conocen como los catetos y el lado opuesto al
ángulo de 90 ° se le conoce como la hipotenusa. Dado un
triángulo rectángulo y un ángulo agudo θ en ese triángulo,
definimos seis funciones de ese ángulo. Llamamos a estas
razones trigonométricas.
sen θ = opuesto
hipotenusa
cos θ = adyacente
hipotenusa
tan θ = opuesto
adyacente
csc
sec
cot
hipotenusa opuesto hipotenusa adyacente adyacente opuesto
EJEMPLOS:
Para los siguentes triángulos rectángulos calcule las 6 razones trigonométricas de θ :
a)
sen θ = 4
cos θ = 35
tan θ = 4
csc θ = 5
sec θ = 53
cot θ = 3
sen θ = 8
cos θ = 6
tan θ = 86 = 43
csc θ = 10
sec θ = 10
cot θ = 86 = 43
NOTA: Observe que los valores del seno, el coseno y la tangente son recíprocos a los
valores de la cosecante, la secante y la cotangente.
7. EJERCICIOS:
Para los siguentes triángulos rectángulos, en donde los catetos se denotan por a y b y la
hipotenusa por c , calcule las 6 razones trigonométricas:
a) a = 3, b = 5 b) a = 1, c = 4 c) a = 2, b = 7
NOTA: Los valores de las razones trigonométricas de θ
son independientes del triángulo que usemos para
definirlas. Por ejemplo, si usamos el triángulo pequeño
de la figura tenemos que sin θ = b
c
y si usamos
el triángulo grande entonces sin θ = b ′
c ′
, pero como los dos
triángulos son semejantes, tenemos que b c
= b ′ c (^) ′
. Lo mismo para las otras funciones.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES
En general, es difícil saber el valor de las razones trigonométricas para un ángulo. Pero
para ciertos ángulos, llamados ángulos especiales, podemos saber el valor exacto.
Si θ = 45° entonces β = 45°. Esto nos dice que a = b. Por el Teorema de Pitágoras,
tenemos que c = a^2 + a^2 = 2 a^2 = a 2. Entonces tenemos:
sen 45 o^ = a a 2
cos45o^ = a a 2
tan 45o^ = aa = 1
csc 45o^ = a^^2 a
sec 45o^ = a^ a^2 = 2
cot 45o^ = a a
Si θ = 30 ° entonces adjuntamos otro triángulo igual y
obtenemos un triángulo equilátero donde cada ángulo mide 60°.
Tenemos entonces que c = 2b. Usando el Teorema de Pitágoras
tenemos:
( 2 b )^2 = a^2 + b^2 4 b^2 = a^2 + b^2 3 b^2 = a^2 b 3 = a
Entonces tenemos:
sen 30 o^ = 2 bb = (^12)
cos 30o^ = b 2^ b^3 = 23
tan 30o^ = b b 3
csc 30 o^ = (^2) bb = 2
sec 30 o^ = 2 b b 3
cot 30o^ = b^^3 b
Si r = x^2 + y^2 las razones trigonométricas se convierten en:
sen θ = y
r
cos θ = xr
tan θ = y
x
csc θ = r
y
sec θ = r
x
cot θ = x
y
EJEMPLOS :
a) Determine las seis funciones trigonométricas del ángulo cuyo lado terminal pasa por
el punto (1, 2).
Usando el Teorema de Pitágoras tenemos que r = 12 + 2 2 = 1 + 4 = 5. Con esto
podemos calcular las razones trigonométricas:
sen θ = 3
cos θ = 1
tan θ = 3
csc θ = 5
sec θ = 5
cot θ = 1
b) Si x = 4, r = 5, halla las 6 razones trigonométricas
Usando el Teorema de Pitágoras tenemos que
5 2 = 4 2 + y^2 25 = 16 + y^2 25 − 16 = y^2 9 = y^2 3 = y
Con esto podemos calcular las funciones trigonométricas:
sen θ = 3
cos θ = 4
tan θ = 3
csc θ = 5
sec θ = 5
cot θ = 4
8. EJERCICIOS:
Determine las seis razones trigonométricas del ángulo con la información dada:
a) el lado terminal del ángulo pasa por el punto (4, 6). b) y = 2, r = 6
Si el punto está en cualquier otro cuadrante, el procedimiento es el mismo excepto que tenemos
que tener cuidado con los signos. Recuerde que como r es una distancia, siempre es positiva.
EJEMPLOS:
Determine las seis razones trigonométricas del ángulo generado por el lado terminal del punto
dado:
a) (-8, -6)
Usando el Teorema de Pitágoras encontramos que r = 10. Entonces:
sen θ = −^6
cos θ = −^8
tan θ = −^6
csc θ = − 5
sec θ = − 5
cot θ = 4
b) El ángulo θ está en el cuarto cuadrante, x =1, r = 5
Debido a que θ está en el cuarto cuadrante, y < 0. Usando el Teorema de Pitágoras tenemos que
y = -2. Entonces
2 2 5 5 5
cos 1 5 5 5 tan 2
sen θ
csc 5 2 sec 5
cot 1 1 2 2
θ
θ
θ
9. EJERCICIOS :
Determine las seis razones trigonométricas del ángulo θ dada la siguiente información:
a) el lado terminal del ángulo θ se encuentra en el segundo cuadrante, y = 2, r = 5
EJEMPLOS:
Determine el signo de las siguientes razones trigonométricas en los diferentes cuadrantes del
plano cartesiano:
a) sen θ
Debido a que s e n y r
θ = y que r siempre es positivo, es suficiente saber el signo de y en cada
cuadrante. En el primer y segundo cuadrante y > 0, en el tercero y el cuarto y < 0. Por lo tanto,
s e n θ > 0 en el primer y segundo cuadrante y sen θ < 0 en el tercer y cuarto cuadrante.
b) tan θ
Debido a que tan θ = y
x
, tan θ es positivo si x > 0 y y > 0 ó x < 0 y y < 0. Esto ocurre en el primer
y el tercer cuadrante. Por lo tanto tan θ > 0 en el primer y el cuarto cuadrante y tan θ < 0 en el
segundo y el cuarto cuadrante.
10. EJERCICIOS:
Determine el signo de las otras razones trigonométricas en los diferentes cuadrantes del plano
cartesiano.
Colocando los cuadrantes donde cada función trigonométrica es positiva tenemos:
EJEMPLO:
Usando la información provista, determine el valor de las 5 razones restantes:
a) cot θ = -3, sen θ < 0
Como cot θ < 0 en el segundo y el cuarto cuadrante y sen θ < 0 en el tercero y el cuarto
cuadrante, entonces θ está en el cuarto cuadrante. Esto nos dice que x > 0 y y < 0.
Como cot θ = x
y
, podemos tomar x = 3, y = -1. Con esto tenemos que r = 10. Con esto tenemos:
cos 3 3 10 10 10 tan 1 1 3 3
sen θ
csc 10 10 1 sec 10 3 cot 3
11. EJERCICIOS:
Usando la información provista, determine el valor de la función requerida:
a) 3
sen θ =^6 , cos θ < 0 , tan θ
b) csc θ = − 5 , tan θ > 0 , cos θ
c) sec θ = − 11, sin θ > 0 , sen θ
DEFINICIÓN: El ángulo de referencia de θ es el ángulo positivo agudo formado por el eje de x y
el lado terminal de θ.
Los siguientes diagramas nos muestran cómo calcular el ángulo de referencia.