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FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
Las funciones con las que se ha trabajado hasta el momento son
funciones reales de una variable real (su rango es un subconjunto de
los reales). Se estudiarán en este capítulo funciones de una variable
real pero cuyo rango es un conjunto de vectores. Este tipo de
funciones son las que se utilizan para describir la trayectoria de un
objeto.
1. Funciones vectoriales
1.1. Definición
Una función vectorial de una variable real en el espacio es una función cuyo
dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de
vectores del espacio, es decir, es una función del tipo
t t f t g t ht f t g t h t
I
r i j k
r R V
donde f , g y h son funciones reales de variable real t , llamadas funciones
componentes de r.
Nota: Si la función vectorial r describe el movimiento de una partícula, el vector
r ( t )=( f ( t ), g ( t ), h ( t ) ) señala su posición en el instante t , en estos casos t
representa la variable tiempo.
Ejemplo 1: r : R → V 3 / r ( t )=( 2 − 3 t ) i + 2 t j +(− 1 + t ) k
Ejemplo 2: : / () ( , , 3 )
2 r R → V 3 r t = t sent cos t
1.2 Dominio de una función vectorial
Esta dado por la intersección de los dominios de sus funciones componentes, es
decir, si (^) r ( t )=( f ( t ), g ( t ), h ( t ))entonces
I = Dom ( r )= Dom ( f )∩ Dom ( g )∩ Dom ( h )
Ejemplo: Si ( t ) ( 1 t , t , lnt )
2 r = + el dominio de r será I = { t ∈ R / t > 0 }
1.3 Límite y continuidad de una función vectorial
Sea la función vectorial r : I ⊆ R → V 3 / r ( t )=( f ( t ), g ( t ), h ( t ))se define
→ → → →
lim ( t ) lim f ( t ),lim g ( t ),lim h ( t ) t a t a t a t a
r
siempre que existan los límites de las funciones componentes.
Ejemplo: Si ( )
t t t sent t e
2 2 ( ) 1 3 , ,
− r = + − entonces
( ) lim( 1 3 ),lim ,lim( ) ( 1 , 0 , 1 )
2 2
0 0 0 0
−
→ → → →
t
t t t t
lim r t t sent t e
Si a ∈ I se dice que r es continua en a si lim ( t ) ( a ) t a
r = r →
Teniendo en cuenta las definiciones de límite y continuidad resulta:
“La función vectorial r ( t )=( f ( t ), g ( t ), h ( t ))es continua en a si y solo si sus
funciones componentes f , g y h son continuas en a ”
1.4 Representación gráfica de una función vectorial
Sea la función vectorial (^) r : I ⊆ R → V 3 / r ( t )=( f ( t ), g ( t ), h ( t ))
Para cada t ∈ I se obtiene un vector r ( t ), que es el vector posición del punto
P ( f ( t ), g ( t ), h ( t ) ). Si la función vectorial es continua en I , es decir sus
funciones componentes f , g y h son continuas en I , define una curva C en el
espacio formada por los extremos del vector (^) r ( t )donde t varía de a a b.
Entonces la curva C es el conjunto de todos los puntos P ( x , y , z )del espacio tal
que
t I
z h t
y g t
x f t
∈
con
( )
, a estas ecuaciones se las llama ecuaciones paramétricas
de la curva C y t es el parámetro.
Cuando se grafica una curva descrita por una función vectorial r ( t ), cada
punto de la misma (extremo del vector r ( t )) queda determinado por un valor
elegido para el parámetro t. Al trazar los puntos resultantes de valores
crecientes de t , la curva se va trazando en una dirección específica, en este caso
se dice que la curva está orientada positivamente.
P ( f ( t ), g (t), h ( t ))
r t
r ( t )
C
t
z
y
x
t
Ejemplo 3: Sea r ( t )=( cost , sent )con t ∈[ 0 , 2 π], cómo r es continua en R
define una curva C en el plano, cuyas ecuaciones paramétricas son
con ∈^ [ 0 , 2 π]
t y sent
x cost
Para determinar cuál es la curva C , elevando ambos miembros de las ecuaciones
paramétricas al cuadrado y sumando miembro a miembro obtenemos la
ecuación cartesiana 1
2 2 x + y = , que en el plano representa una circunferencia
con centro en ( 0 , 0 )y radio 1.
2.- Derivada de una función vectorial
2.1 Definición
Sea r una función vectorial, se define su derivada r 'como
t
t t t t lim t ∆
∆→
0
r r r
siempre que este límite exista.
2.2 Interpretación geométrica de la derivada de una función vectorial
Supongamos que r ( t )sea el vector posición del punto P y r ( t +∆ t ) el vector
posición del punto Q , entonces r ( t + ∆ t )− r ( t )= PQ se puede considerar como
un vector secante a la curva C.
Si ∆ t > 0 el vector
( ) PQ t
t t t t ∆
r r tiene
la misma dirección y sentido que el
vector PQ , entonces cuando ∆ t → 0
el vector PQ ∆ t
se aproxima a un
vector que está en la recta tangente a
la curva C en el punto P. Si ∆ t < 0 con
un razonamiento similar se llega a la
misma conclusión. Por lo que al vector r ' ( t )se lo denomina vector tangente a la
curva C en el punto P, siempre que r ' ( t )exista y r ' ( t )≠ 0.
La recta tangente a la curva C en el punto P es la recta que contiene a P y tiene la
dirección del vector r ' ( t ).
r ’( t )
t+ ∆ t
Q
r ( t )
P
r
r ( t+ ∆ t ) C t
z
y
x
t t
También se puede considerar el vector tangente unitario '( )
t
t t r
r T =.
2.3 Teorema: Fórmula de cálculo de (^) r ' ( t )
Sea la función vectorial r ( t )= f ( t ) i + g ( t ) j + h ( t ) k =( f ( t ), g ( t ), h ( t ))con t ∈ I
tal que (^) f , g y h son funciones derivables en I entonces
r ' ( t )= f '( t ) i + g '( t ) j + h '( t ) k =( f '( t ), g '( t ), h '( t ) )
Demostración:
[ ( ) ( )]
[ ]
( '(), '(), '())
0 0 0 (*)
0
0
0
f t g t h t
t
h t t h t lim t
g t t g t lim t
f t t f t lim
f t t f t g t t g t h t t h t t
lim
f t t g t t h t t f t g t h t t
lim
t
t t t t lim
t t t
t
t
t
∆→ ∆→ ∆ →
∆→
∆→
∆→
r r r
La igualdad (*) es válida pues por hipótesis f , g y h son funciones derivables.
Ejemplo: Sea r ( t )=( cost , sent , t ) con t ∈ R , vimos que su representación
gráfica es una hélice.
r ' ( t ) =(− sent , cost , 1 )
r ' ( 0 )= ( − sen 0 , cos 0 , 1 ) =( 0 , 1 , 1 )
r
r T
Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice en el punto
P ( 1 , 0 , 0 )son
∈ R
t
z t
y t
x
con
2.4 Reglas de derivación
Sean r (^) 1 y r (^) 2 funciones vectoriales derivables, c un escalar y f una función real
derivable. Entonces
a. [ ] dt
d t
dt
d t t t dt
d () () ( ) ()
1 2 1 2
r r r + r = +
- C es una curva seccionalmente suave (suave a trozos o suave por partes) si está
formada por un número finito de arcos de curva suave.
4. Longitud de un arco de curva
Sea C un arco de curva suave y simple, la representación gráfica de la función
vectorial r ( t )con t ∈ I =[ a , b ].
Se puede probar que la longitud del arco de curva C viene dada por:
L t dt
b
∫ a
= r '()
Ejemplo: Calcular la longitud del arco de curva C definido por la función
vectorial r ( t )=( cost , sent )con t ∈[ 0 , 2 π]
C es un arco se curva suave y simple (verificarlo!!).
r ' ( t )= ( − sent , cost )
2 2 r t = − sent + cost =
π π
2
0
L dt 2
Nota: Una curva puede ser descrita por más de una función vectorial. Por
ejemplo las funciones vectoriales r 1 ( t )=( cost , sent ) con t ∈[ 0 , 2 π] y
r 2 ( u )= ( cos 2 u , sen 2 u ) con u ∈[ 0 ,π]definen la misma curva, una
circunferencia con centro en ( 0 , 0 ) y radio 1. Entonces para una misma curva
se tienen distintas parametrizaciones. Se puede probar que el cálculo de la
longitud de un arco de curva suave y simple es independiente de la
parametrización que se utilice.
5. Movimientos en el espacio: velocidad y aceleración
Supongamos una partícula que se mueve en el espacio de manera que su
posición en cada instante t de tiempo está dado por el vector r ( t ).
C 4
C 3
C 1 C 2
Curva seccionalmente suave
C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 ∪ C 4
El cociente t
t t t
∆
r ( + ∆ ) − r ( ) nos da la velocidad promedio en un intervalo de
tiempo de longitud ∆ t.
El vector velocidad v ( t )en el tiempo t será '()
0
t t
t t t t lim t
r
r r v = ∆
∆→
La rapidez de la partícula en el tiempo t es v ( t )= r '( t )
El vector aceleración a ( t )en el tiempo t será a ( t )= v '( t )= r ''( t ).
