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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

TEMA 2 _Lección 2 Ingeniería en Sistemas Computacionales Marzo - Julio 2021 Instructora: M.I. Yazmin Ruiz Bonilla Correo: [email protected]

Los eventos estadísticamente independientes son

aquellos en donde la presentación o resultado de

uno no tiene efecto sobre la probabilidad de

presentación de cualquier otro.

Existen tres probabilidades que se presentan bajo

independencia estadística:

• Marginal
• Conjunta
• Condicional

TEMA 2: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

PROBABILIDADES BAJO CONDICIONES DE INDEPENDENCIA

ESTADÍSTICA

TEMA 2: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

PROBABILIDAD CONJUNTA PARA EVENTOS

INDEPENDIENTES

Ejemplo : ¿Cuál es la probabilidad de obtener cruz, cara, cruz, en ese orden, en tres lanzamientos consecutivos de una moneda no alterada? P(cruz,cara,cruz)=P(cruz).P(cara).P(cruz) Si P(cara)=0. P(cruz)=0. P(cruz cara cruz)=(0.5).(0.5).(0.5) P(cruz cara cruz)=0. Lanzamiento 1 Lanzamiento 2 Lanzamiento 3 P(cara)=0. P(cruz)=0. P(cara)=0. P(cruz)=0. P(cara)=0.5 P(cara)=0. P(cruz)=0.5 P(cruz)=0. P(cara)=0. P(cruz)=0. P(cara)=0. P(cruz)=0.

Probabilidad conjunta de tres lanzamientos en un diagrama de árbol

TEMA 2: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

PROBABILIDAD CONDICIONAL PARA EVENTOS

INDEPENDIENTES

La probabilidad de que un segundo evento (B) se presente si un primer evento (A) ya ha ocurrido.

TEMA 2: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

PROBABILIDAD CONDICIONAL PARA EVENTOS

INDEPENDIENTES

Ejemplo : ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo hijo de una pareja sea a) niño, dado que primero tuvieron niña. b) niña, dado que primero tuvieron una niña.

a) P(niño | niña)=P(niño)

Si P(niño)=0.5 y P(niña)=0. P(niño | niña)=0.

b) P(niña | niña)=P(niña)

Si P(niño)=0.5 y P(niña)=0.

P(niña | niña)=0.

La dependencia estadística existe cuando la

probabilidad de que se presente algún

evento depende o se ve afectada por la

ocurrencia de algún otro.

Exactamente igual que en los eventos

independientes, existen tres probabilidades

que se presentan bajo dependencia

estadística:

• Marginal
• Conjunta
• Condicional

TEMA 2: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

PROBABILIDADES BAJO CONDICIONES DE DEPENDENCIA

ESTADÍSTICA

TEMA 2: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

PROBABILIDAD CONDICIONAL PARA EVENTOS

DEPENDIENTES

La probabilidad de que un segundo evento (B) se presente si un primer evento (A) ya ha ocurrido.

TEMA 2: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

PROBABILIDAD PARA EVENTOS DEPENDIENTES

Ejemplo : Una tienda de departamentos ha sido objeto de muchos robos durante el último mes; pero debido al aumento en las medidas de seguridad, se ha detenido a 250 ladrones. Se registró el sexo de cada ladrón, también se anotó si se trataba de un primer delito o era reincidente. Los datos se resumen en la siguiente tabla: Sexo Primer delito Reincidente Hombre 60 70 Mujer 44 76 104 146 Suponga que se elige al azar un ladrón detenido, calcule: a) La probabilidad de que el ladrón sea hombre b) La probabilidad de que sea el primer delito dado que es hombre c) La probabilidad de que sea mujer, dado que es reincidente d) La probabilidad de que sea mujer, dado que es el primer delito e) La probabilidad de que sea hombre y reincidente

TEMA 2: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

PROBABILIDAD PARA EVENTOS DEPENDIENTES

Suponga que se elige al azar un ladrón detenido, calcule: a) La probabilidad de que el ladrón sea hombre b) La probabilidad de que sea el primer delito dado que es hombre c) La probabilidad de que sea mujer, dado que es reincidente d) La probabilidad de que sea mujer, dado que es el primer delito e) La probabilidad de que sea hombre y reincidente Resultados : a) P(H)=( 60 + 70 )/ 250 = 130 / 250 = 0. 520 b) P(PD|H)= P(PDyH)/P(H) = ( 60 / 250 ) / ( 130 / 250 )= 0. 462 c) P(M|R)=P(MyR) / P(R)=( 76 / 250 )/( 146 / 250 )= 0. 521 d) P(M|PD)= P(MyPD) / P(PD)=( 44 / 250 ) / ( 104 / 250 )= 0. 423 e) P(HyR)=P(H|R). P(R)= (( 70 / 250 )/( 146 / 250 )). ( 146 / 250 )= 0. 28

Revisión de las estimaciones anteriores de probabilidades: Teorema de Bayes

El origen del concepto de la obtención de

probabilidades posteriores con información

limitada se atribuye al reverendo Thomas Bayes

( 1702 - 1761 ). La fórmula básica para la

probabilidad condicional en circunstancias de

dependencia se conoce como se conoce como

teorema de Bayes.

La aplicación del teorema de Bayes permite hacer

la búsqueda de probabilidades posteriores

cuando se cuenta con estimaciones anteriores.

Ejemplo

Considere el problema del equipo de una liga

menor de béisbol que utiliza una máquina de

lanzamientos automática para su entrenamiento.

Si la máquina se coloca de manera correcta, es

decir, ajustada apropiadamente, lanzará strikes

85 % de las veces. Si se le coloca incorrectamente,

lanzará strikes sólo en 35 % de los lanzamientos.

La experiencia pasada indica que 75 % de las

veces que se coloca la máquina se hace de

manera correcta.

Un día, después de que la máquina ha sido

colocada para una práctica de bateo, lanza tres

strikes en los primeros tres lanzamientos. ¿Cuál es

la probabilidad revisada de que la máquina esté

bien colocada?

3. P( 3 strikes | evento) es la probabilidad de obtener tres strikes en tres lanzamientos consecutivos, dado el evento, es decir, dada una colocación correcta o incorrecta de la máquina. Las probabilidades se calculan de la siguiente manera: P( 3 strikes | correcta) = 0. 85 * 0. 85 * 0. 85 = 0. 6141 P( 3 strikes | incorrecta) = 0. 35 * 0. 35 * 0. 35 = 0. 0429
4. P(evento, 3 strikes) es la probabilidad de que se presenten conjuntamente el evento (colocación correcta o incorrecta) y tres strikes. Podemos calcular la probabilidad de la manera siguiente: P(correcta, 3 strikes) = 0. 6141 * 0. 75 = 0. 4606 P(incorrecta, 3 strikes) = 0. 0429 * 0. 25 = 0. 0107 Buscando la solución…

Hasta aquí, la información se puede representar en una tabla. Si A = evento y S = strike, entonces las dos últimas probabilidades se ajustan a la fórmula matemática general para probabilidades conjuntas en condiciones de dependencia: P(AS)= P(SA) = P(S|A) * P(A)

5. Se debe determinar la probabilidad revisada de que la máquina esté correctamente instalada.