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Tema 3
Cálculo de proporciones y contraste de
hipótesis.
revisado septiembre 2005
Cuando nos enfrentamos con el resultado fenotípico de un cruce genético tenemos que determinar si éste es el que esperamos en base a determinada hipótesis que nos hemos podido plantear. Para llegar a conclusiones hace falta que, en primero lugar, calculemos las proporciones esperadas en base a esta hipótesis y, en un segundo paso, comparemos estas proporciones con las obtenidas en el experimento con el objetivo de comprobar, con un suficiente grado de fiabilidad estadística, que los resultados experimentales no se desvían significativamente de los esperados en función de la hipótesis planteada. Vamos a ver como podemos hacer estos cálculos.
El uso de diagramas ramificados y tablas de
doble entrada.
Volvamos a considerar los individuos que constituyen la F1 de un dihibridismo de los analizados por Mendel. ¿Podríamos predecir las proporciones (9:3:3:1) de la F2? Como sabemos, se trata de individuos híbridos y por lo tanto heterocigotos para los dos pares génicos. Según el principio de la segregación la frecuencia con que aparecerá cada uno de los dos alelos de cada par génico en los gametos de estos individuos será 0.5. Si suponemos que los dos pares génicos se transmiten independientemente en el momento de la gametogénesis, la probabilidad de que dos alelos determinados, por ejemplo los dos recesivos, se encuentren presentes en el misma gameto nos vendrá dada por la regla del producto y será 0.5 x 0.5 = 0.25. Dicho de otra manera, tendremos cuatro tipos diferentes de gametos, cada uno presente en un 25% y portador de un alelo determinado de cada par génico. Sí ahora suponemos que esta formación de gametos se producirá tanto en machos como en hembras y que posteriormente, en el momento de la formación de los zigotos, los gametos podrán unirse al azar, podremos construir una matriz de 4x4 con objeto de determinar la proporción de los diferentes tipos de individuos de la F2. Esta matriz recibe el nombre de cuadro de Punnett. Agrupando adecuadamente las 16 combinaciones posibles podremos obtener las proporciones genotípicas o fenotípicas que deseamos. Figura 3.1. Debemos decir que el cuadro de Punnett puede ser utilizado para cualquier combinación de segregaciones gaméticas con cualquier probabilidad para cada tipo gamético.
1/4 RY
1/
1/
1/
1/
RY
Ry
rY
ry
1/4 Ry 1/4 rY (^) 1/4 ry
FIGURA 3.1. Cuadro de Punnett con la predicción fenotípica de la generación F del cruce dihíbrid de la Figura 3.5.
Rápidamente podemos darnos cuenta que la construcción de cuadros de doble entrada puede ser relativamente sencilla y cómoda para casos de dihibridismo pero la predicción se haría mucho más complicada cuando hablamos de más de a dos pares génicos, como por ejemplo en un trihibridismo. En estos casos es mejor acostumbrarse a calcular las proporciones esperadas de las diferentes clases fenotípicas mediante diagramas ramificados. En ellos para calcular la proporción de los diferentes tipos resultantes de la segregación de dos o más pares génicos se determinan las probabilidades correspondientes a la segregación de cada par génico y se combinan entre ellas secuencialmente. Así, la segregación producida por el cruce entre los individuos dihíbridos típicos de los trabajos de Mendel nos daría unas proporciones fenotípicas y genotípicas que podríamos calcular como se presenta en la Figura 3.2 y en la Tabla 3.1. Estos diagramas son de mucha utilidad cuando trabajamos con más de dos características.
3/ LLISES
3/4 GROGUES
3/4 GROGUES
1/ RUGOSES
1/4 VERDES
1/4 VERDES
9/
3/
3/
1/
primer parell gènic
segon parell gènic proporcions^ fenotips
FIGURA 3.2. Diagramas ramificados para obtener la progenie de un dihibridismo.
exacta. Podemos representar este experimento con un barril lleno de canicas rojas y azules en igual número. Si extraemos sin mirar muestras de 100 canicas, deberíamos esperar que a menudo se produjeran pequeñas desviaciones del tipo 52 rojas: 48 azules y, menos frecuentemente, grandes desviaciones, tales como 60 rojas:
40 azules. La prueba de la χ 2 nos permite calcular la
probabilidad de que tales desviaciones producto del azar ocurran siendo la hipótesis correcta. Pero, si ya se contemplan todas las desviaciones asignándoles diferentes probabilidades siendo la hipótesis cierta, ¿cuándo se rechaza una hipótesis?
Se ha establecido el convenio generalizado por el que una probabilidad menor del 5 % se usa como criterio para rechazar una hipótesis. Es lo que se conoce como nivel de significación. Aún así, la hipótesis podría ser correcta, pero en algún punto debemos establecer un límite. La lógica del procedimiento es que sólo en el 5% de los casos corremos el riesgo de rechazar una hipótesis correcta, cuando los resultados experimentales se desvían de lo esperado más allá del límite que establece la probabilidad del 5 %. Este nivel de errores se considera muy aceptable.
Basándonos en esto, podemos decir que las discrepancias pequeñas son “no significativas” y las grandes “significativas” , es decir, que los resultados difieren significativamente de las proporciones teóricas que esperamos.
¡La prueba de la χ 2 no nos informa sobre la validez o falsedad de
una determinada hipótesis! Sólo nos proporciona una probabilidad base en función de la cual podremos rechazar o no la hipótesis. Evidentemente podemos rechazar una hipótesis por presentarse unos resultados que discrepan en gran medida de los esperados y, pese a ello, que ésta sea correcta; o puede darse el caso de que aceptemos una hipótesis porque las diferencias entre los valores observados y esperados son muy pequeñas y que se trate de una hipótesis falsa, pero esto dos casos se darán en muy pocas ocasiones (menos del 5% de las ocasiones).
Grados de libertad Entre los factores que pueden influir en la diferencia entre los resultados observados y las proporciones esperadas se encuentra el número de clases variables independientes o grados de libertad.
El concepto aparece porque al trabajar con resultados experimentales existe un número total fijo de individuos observados. Este número total está formado por la contribución de las diferentes clases fenotípicas componentes. Algunas de estas clases son variables, o libres, en lo que hace referencia al número de sus
componentes. Así, si de un cruce sólo podemos obtener dos clases fenotípicas en la descendencia, como el número total de descendentes es concreto en el experimento, tan pronto como establecemos el número de una clase queda determinado el de la otra. Por tanto sólo tendremos una clase variable y un grado de libertad. Para la mayor parte de experimentos el número de grados de libertad es igual al número de clases fenotípicas menos una,
Nº GRADOS LIBERTAD = Nº CLASES FENOTÍPICAS - 1.
Una vez hemos determinado los grados de libertad y se ha establecido el nivel de significación, tenemos que medir la magnitud de la discrepancia entre los resultados observados y los esperados. Como ya hemos dicho, una medida a la que se recurre habitualmente
es la prueba de ji-cuadrado ( χ 2):
1
2 2
(n- 1)g.ll. ∑
=
=
= i^ n − i Esp
χ Obs Esp
dónde " Obs. " indica la cantidad observada de cada clase, " Esp ." la esperada respectiva según la hipótesis planteada y n el número de clases fenotípicas ( n-1 , el número de grados de libertad).
Atención! Hay que utilizar NÚMEROS, NO frecuencias.
Según la estadística cada valor de χ 2 tiene una probabilidad
de producirse teniendo en cuenta los grados de libertad (fijaos en la tabla 3.2). Así, para un valor concreto de grados de libertad, valores
más pequeños de χ 2 son más probables (recordemos que estos
valores pequeños están indicándonos discrepancias pequeñas entre los valores observados y los esperados según la hipótesis planteada).
Cuanto mayor es el valor obtenido en la χ 2 mayor es la
discrepancia entre los datos y los valores esperados. Y más improbable es que se de este resultado con la hipótesis planteada. Los valores superiores al que figura para una probabilidad de 0.05 en las tablas serán aquellos en que los datos obtenidos sean muy diferentes de los esperados y por azar se producirán en menos del
5% de las ocasiones. Por lo tanto si el valor obtenido en la χ 2 es
superior al que aparece en las tablas al nivel de significación del 5% (0.05 de probabilidad) podremos decir que es muy improbable que se obtenga por azar siendo la hipótesis correcta y por lo tanto nos podremos plantear que la hipótesis propuesta para explicar la segregación analizada es incorrecta y como consecuencia la
Análisis del polihibridismo.
Mendel demostró que los procesos de segregación y transmisión independiente también pueden ser aplicados a tres pares génicos, lo que denominaríamos trihibridismo. Pero claro está, los resultados son un poco más complejos, así la segregación gamética del híbrido F1 daría lugar a 8, y no 4, tipo gaméticos diferentes, y en consecuencia necesitaríamos un cuadro de 64 casillas para reflejar todas las posibles combinaciones genotípicas. Ni que decir tiene que con 4, 5 etc. pares génicos la cosa se complicará de manera excesiva. Como ya hemos dicho antes los diagramas en horquilla pueden ser un método de trabajo más conveniente en estas situaciones. Así, en la Figura 3.3 podemos encontrar la segregación fenotípica que resulta de la F2 de un trihibridisme típico (27:9:9:9:3:3:3:1). Fijaos como esta segregación es la resultante de la combinación de tres segregaciones de tipo (3/4 + 1/4) puesto que
[(3/4 + 1/4) x (3/4 + 1/4)] x (3/4 + 1/4) = = (9/16 + 3/16 + 3/16 + 1/16) x (3/4 +1/4) = = (27/64 + 9/64 + 9/64 + 9/64 + 3/64 + 3/64 + 3/64 + 1/64).
3/4 A
3/4 B
3/4 C 27/64 ABC
1/4 a
1/4 b
3/4 B
1/4 b
1/4 c
3/4 C 1/4 c
3/4 C 1/4 c
3/4 C 1/4 c
9/64 ABc
9/64 AbC 3/64 Abc
9/64 aBC 3/64 aBc
3/64 abC 1/64 abc
A,a B,b C,c PROPORCIÓ FINAL
FIGURA 3.3. Proporciones fenotípicas de la F2 de un trihíbrido utilizando diagramas ramificados.
Cuando estamos considerando varios pares génicos, todos ellos con la misma segregación, el desarrollo y correcta interpretación del binomio correspondiente, nos puede dar a conocer directamente tanto los posibles fenotipos como las proporciones de cada uno de
ellos. Por lo general habremos de desarrollar la expresión (p + q)n,
siendo necesario que sea igual a la unidad, y dónde p es la probabilidad del primer tipo fenotípico, q es la probabilidad del fenotipo alternativo y n es el número de pares génicos implicados.
Cada término del binomio nos vendrá dado por la expresión:
Cn,m p(n-m)^ qm^ = n! / (n-m)! m! p(n-m)^ qm
y lo podremos interpretar así:
el número combinatorio nos indica cuántos fenotipos hay de cada tipo,
la interpretación de los supraíndices presentes en p(n-m) y qm , nos está indicando cada uno de los diferentes tipos fenotípics
y la resolución de cada producto p(n-m)^ qm^ la probabilidad o proporción del mencionado tipo fenotípico.
Así, por ejemplo para analizar la segregación de un trihibridismo, con segregaciones individuales de 3:1, es decir
(3/4+1/4)3, el desarrollo del binomio nos dirá:
(3/4+1/4)^3 =
(^30 ) (3/4)^3 (1/4)^0 + (^31 ) (3/4)^2 (1/4)^1 + (^32 ) (3/4)^1 (1/4)^2 + (^33 ) (3/4)^0 (1/4)^3 =
= 1 (27/64) + 3 (9/64) + 3 (3/64) + 1 (1/64) = 1.
(a) (b) (c) (d)
y podremos hacer la siguiente lectura: (a) hay un tipo fenotípico triple dominante (A-B-C-) que se presenta con una frecuencia de 27/ (b) hay tres tipos fenotípicos con dos características fenotípicamente dominantes y la otra recesiva (A-B-cc; aaB-C-; A-bbC-) cada una presente en una proporción de 9/ (c) hay tres tipos fenotípicos con una característica fenotípicamente dominante y las otras dos recesivas (A-bbcc; aaB-cc; aabbC-) cada uno presente en una proporción de 3/ (d) hay un tipo fenotípico triple recesivo (aabbcc) que está presente con una frecuencia de 1/64.
El desarrollo total o parcial del binomio nos puede proporcionar, rápida y fundamentalmente, la probabilidad de determinados fenotipos o genotipos concretos sin tener que desarrollar todo el cuadro o hacer uso de los diagramas ramificados.
MASCLE FEMELLA APARELLAMENT
EN ORDRE DE NAIXEMENTPARES AMB DOS FILLS
NOMBRE DE FILLS DEDETERMINAT SEXE
AFECTATS
LLIGAT AL SEXE I RECESSIUPORTADORA D'AL.LEL
(pl. PROPOSITA)PROPOSITUS
BESSONS DIZIGÒTICS
BESSONS MONOZIGÒTICS
SEXE DESCONEGUT
APARELLAMENTCONSANGUINI
MORT AVORTAMENT OMORT AL NÀIXER
FIGURA 3.4. Símbolos utilizados comúnmente en el análisis de genealogías humanas.
COMPOSITORS
GRANS COMPOSITORS
I
I I
I I I
I V
V
I V.8, J.S. Bach
Figura 3.5. Un ejemplo de genealogía. En ella se pretende mostrar la posible predisposición genética hacia la composición musical al presentar con diferentes tonalidades los compositores y grandes compositores que se dieron en la familia de J. S. Bach (individuo IV.8). La figura tan sólo pretende ser un ejemplo de genealogía que nos puede servir para reflexionar sobre la dificultad de éste tipo de análisis puesto que a la vista de la misma ¿dirías que hay una componente genética importante para esta habilidad humana? Crees la ausencia de mujeres compositoras en la familia puede indicarnos la asociación de esta habilidad con el sexo masculino o bien puede estar poniendo de manifiesto efectos ambientales como por ejemplo el papel de la mujer en la sociedad de aquel tiempo?
Como ya hemos dicho antes, una de las principales razones por que se puede estar interesado en el análisis de una genealogía puede ser para calcular la probabilidad de que se de determinado genotipo, muchas veces no deseado. Por lo general, cuando nos enfrentamos al análisis de una genealogía tenemos que proceder de una manera ordenada, que podríamos resumir en:
- Tenemos que tomar nota minuciosa de los fenotipos de todos y cada uno de los individuos de la genealogía. Dibujar ésta indicando la simbología utilizada y nombrar a sus componentes.
- A la vista de la distribución de fenotipos tenemos que plantearnos el posible patrón de herencia que nos permita explicar la presencia de los fenotipos observados. Es decir, habremos de analizar si se trata de una característica dominante o recesiva, si hay indicios de letalidad, si se trata de una característica ligada a los cromosomas sexuales o más bien presenta una distribución característica de un gen localizado en un autosoma, etc.
- Teniendo en cuenta el tipo de herencia considerado, hemos de asignar los posibles genotipos a cada uno de los individuos de la genealogía. Muchas veces nos encontraremos con el hecho de que un determinado individuo puede presentar más de un posible genotipo debido a que disponemos de una información insuficiente. El caso típico es el de un fenotipo dominante del que no podemos asegurar, al analizar la información de los padres y posibles hijos, si se trata de un homocigoto ( AA ) o de un heterocigoto ( Aa ). Como no estamos en condiciones de efectuar un cruce prueba (recordad que estamos refiriéndonos a humanos), a la hora de calcular las probabilidades asociadas a un posible cruce en que participe este individuo deberemos tener en cuenta las dos posibilidades genotípicas que puede presentar.
- Por último, y si es el caso, calcularemos las probabilidades correspondientes a los determinados supuestos genéticos que nos plantee el problema, muchas veces cuál es la probabilidad de tener un descendente de determinado fenotipo (o genotipo) a partir de dos de los individuos analizados.
Respecto del tipo de pezuña, el caso no resulta tan claro puesto que desconocemos el genotipo del parental pezuña de mula (M-). Ahora bien, como sabemos que sus padres eran heterocigotos para el carácter en cuestión, si que podemos suponer que estos individuos pueden presentar el genotipo MM con una probabilidad de 1/3 o el genotipo Mm con una probabilidad de 2/3.
A la hora de calcular las proporciones fenotípicas que podemos esperar en la descendencia de un cruzamiento en el que esté involucrado un individuo con “posibilidades” alternativas, hemos de considerar cada una de ellas. Esta consideración puede hacerse por separado, como si de dos problemas parciales se tratase:
(1) cruzamiento [1/3 MM x mm] y (2) cruzamiento [2/3 Mm x mm]
y sumamos todas las frecuencias de los descendientes,
o podemos tratar el cruzamiento globalmente, cosa que prefiero, preguntándonos que tipos gaméticos –y en que proporciones- puede producir este individuo con “posibilidades” alternativas. En este caso procedemos de la siguiente manera:
individuos M-
p(MM)=1/3 ; p(Mm)=2/3 X^
individuos mm p(mm)= gametos que produce este individuo: tipo M = 2/3* tipo m = 1/3**
gametos que produce este individuo:
tipo m = 1
F1:
2/3 de individuos con pezuña de mula (Mm) 1/3 de individuos con pezuña normal (mm)
* los 2/3 de gametos de tipo M se originan a partir de las meiosis del
tercio de individuos MM más la mitad de gametos originados en las meiosis de los dos tercios de individuos Mm. ** el tercio de gametos de tipo m se origina a partir de la mitad de gametos originados en las meiosis de los dos tercios de individuos Mm
En resumen, y para contestar completamente la pregunta, esperamos una descendencia de 2/3 de individuos de color negro con pezuña de mula y 1/3 de individuos negros con pezuña normal.
