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Geometria diferencial de corbes i superf´ıcies Examen Final - 11 de gener de 2013.
1.(4p) Siguin S el subconjunt de R^3 definit per l’equaci´o
x sin ez^ = y cos ez,
i ϕ : R+^ × R −→ R^3 l’aplicaci´o definida per
ϕ(u, v) = (v cos u, v sin u, log u).
*(i) Proveu que S ´es una superf´ıcie regular i que ϕ ´es una carta global de S.
(ii) Calculeu la curvatura de Gauss de S i classifiqueu els punts de S.
(iii) Trobeu la curvatura normal de la corba coordenada v = c. Determineu per a quins valors de c la corba coordenada v = c ´es asimptotica. Determineu per a quins valors de c la corba coordenada v = c ´es geodesica.
*(iv) Determineu per a quins valors de c la corba coordenada v = c ´es plana.
Soluci´on. (i) Si F : R^3 −→ R est definida por F (x, y, z) = x sin ez^ − y cos ez, F es diferenciable. Veamos que 0 ∈ R es un valor regular. En efecto,
d(x,y,z)F = (sin ez^ , − cos ez^ , ezx cos ez^ + ezy sin ez),
por tanto d(x,y,z)F 6 = 0, ∀(x, y, z) ∈ R^3. Por el teorema de la funci´on impl´ıcita, S = F −^1 (0) es una superficie regular.
La aplicaci´on ϕ es diferenciable. Veamos que es inyectiva. Si ϕ(u, v) = ϕ(u′, v′), entonces
v cos u = v′^ cos u′, v sin u = v′^ sin u′, log u = log u′.
Como log es inyectiva, de la tercera ecuaci´on resulta u = u′. De las dos primeras se deduce entonces que v = v′, por tanto ϕ es inyectiva.
Veamos que dϕ tiene rango 2.
ϕu = (−v sin u , v cos u , u−^1 ) ϕv = (cos u , sin u , 0) ϕu ∧ ϕv = (−u−^1 sin u, u−^1 cos u, −v), |ϕu ∧ ϕv|^2 = u−^2 + v^2 ,
por tanto |ϕu ∧ ϕv|^2 6 = 0 para todo (u, v) ∈ U (U = R+^ × R).
Veamos que ϕ(U ) = S. En efecto, si (u, v) ∈ U y (x, y, z) = ϕ(u, v), entonces
x sin ez^ = v cos u sin u, y cos ez^ = v sin u cos u,
por tanto x sin ez^ = y cos ez^ de donde se sigue que (x, y, z) ∈ S. Rec´ıproca- mente, si (x, y, z) ∈ S, entonces el par (u, v) ∈ U definido por u = ez^ > 0 y
v =
x cos ez^
, si cos ez^6 = 0, y sin ez^
, si sin ez^6 = 0,
satisface (x, y, z) = ϕ(u, v). En efecto, hagamos el caso cos ez^6 = 0. En este caso obviamente z = log u, x = v cos u. La otra relaci´on, y = v sin u, se sigue de la ecuaci´on de S:
y =
x sin ez cos ez^
v cos u sin u cos u
= v sin u.
(ii) Calculemos la primera forma fundamental.
E = |ϕu|^2 = v^2 +u−^2 , F = ϕu·ϕv = 0, G = |ϕv|^2 = 1, EG−F 2 = E = v^2 +u−^2.
Calculemos la segunda forma fundamental.
ϕuu = (−v cos u, −v sin u, −u−^2 ), ϕuv = (− sin u, cos u, 0), ϕvv = (0, 0 , 0),
e =
(ϕu, ϕv, ϕuu) √ ∆
vu−^2 √ ∆
v u
u^2 v^2 + 1
f =
(ϕu, ϕv, ϕuv) √ ∆
u−^1 √ ∆
u^2 v^2 + 1
g =
(ϕu, ϕv, ϕvv) √ ∆
K =
eg − f 2 EG − F 2
u−^2 E^2
−u^2 (1 + u^2 v^2 )^2
2.(5p) Sigui ϕ : R+^ × R −→ R^3 una carta global d’una superf´ıcie S tal que
Iϕ =
E 0
, e =
v u^2
E
, on E satisf`a Eu 6 = 0 , Ev = 2v,
i les corbes coordenades u = c, amb c constant, s´on l´ınies asimpt`otiques.
(i) Proveu que els s´ımbols de Christoffel satisfan ( Γ^111 Γ^112 Γ^122 Γ^211 Γ^212 Γ^222
( (^) Eu 2 E
v E 0 −v 0 0
Determineu per a quins valors de c la corba coordenada v = c ´es una geod`esica.
(ii) Proveu que K = v
(^2) −E E^2 i que^ S^ no ´es desenvolupable.
(iii) Proveu que ϕ ´es una superf´ıcie reglada no cil´ındrica amb una directriu rectil´ınia.
(iv) Suposant que E = v^2 +u−^2 , i que el coeficient f de la segona forma fona- mental de ϕ satisfa f > 0, calculeu el parametre de distribuci´o de ϕ. Proveu que la l´ınia d’estricci´o de ϕ ´es una recta perpendicular a les generatrius.
(v) Fent la mateixa hip`otesi que a (iv), determineu f i trobeu. Determineu ϕ de manera que satisfaci les condicions de l’enunciat.
Soluci´on. (i) C´alculo de los s´ımbolos de Christoffel. De la f´ormula
( Γ^111 Γ^112 Γ^122 Γ^211 Γ^212 Γ^222
E F
F G
2 Eu^
1 2 Ev^ Fv^ −^
1 2 Gu Fu − 12 Ev 12 Gu 12 Gv
obtenemos ( Γ^111 Γ^112 Γ^122 Γ^211 Γ^212 Γ^222
( (^) Eu 2 E
Ev 2 E 0 −^12 Ev 0 0
( (^) Eu 2 E
v E 0 −v 0 0
La curvatura geod´esica de v = c es
(kg)|v=c = Γ^211
EG − F 2
E
E (^) |v=c
−c E(u, c)
−c u−^2 + c^2
que se anula para todo u > 0 si y solo si c = 0.
(ii) Aplicando la f´ormula de Gauss
Γ^212 Γ^111 + Γ^222 Γ^211 +
∂Γ^211
∂v
− Γ^211 Γ^112 − Γ^221 Γ^212 −
∂Γ^212
∂u
= EK
obtenemos
K =
v^2 − E E^2
Como Eu 6 = 0, v^2 − E 6 = 0, resulta K 6 = 0 y S no es desarrollable.
(iii) Como Γ^122 = Γ^222 = g = 0 resulta ϕvv = 0 y ϕ es de la forma
ϕ(u, v) = α(u) + v · w(u),
donde α(u) = ϕ(u, 0) y w(u) = ϕv(u, 0). Se cumple |w|^2 = G(u, 0) = 1, por tanto w(u) 6 = 0 para todo u. As´ı ϕ es reglada.
Veamos que es no cil´ındrica. Como |w| = 1, basta ver que w′(u) 6 = 0 para todo u > 0. Se cumple
w′(u) = ϕvu(u, 0) =
Γ^121 ϕu + Γ^221 ϕv + f N
|v=0 = (f^ N)|v=
Calculemos f (u, 0) usando la ecuaci´on de Weingarten:
K =
eg − f 2 EG − F 2
Por el apartado (i) se tiene K(u, 0) = − (^) E(^1 u,0) , y por otra parte
g = 0, F = 0, G = 1
de donde resulta
−
E(u, 0)
−f 2 (u, 0) E(u, 0)
es decir,
f (u, 0) = ± 1 ,
por tanto |w′| = 1 y ϕ es no cil´ındrica.
La directriz α(u) cumple
α′(u) ∧ α′′(u) = {ϕu ∧ ϕuu}|v=0 =
ϕu ∧
Γ^111 ϕu + Γ^211 ϕv + eN
|v=0 = 0
por tanto α es una recta.
- Teoria. (4p)
(i) Definiu els s´ımbols de Christoffel d’una carta ϕ d’una superf´ıcie regular S. Proveu les f´ormules de c`alcul dels s´ımbols de Christoffel a partir dels coeficients de la primera forma fonamental.
(ii) Dedu¨ıu la f´ormula de Gauss que expressa la curvatura de Gauss en funci´o de la primera forma fonamental.
(iii) Definiu carta isometrica. Doneu una carta isometrica del cilindre x^2 + y^2 = 4. Enuncieu el problema dels mapes i doneu-ne la resposta a partir de la f´ormula de Gauss.
*(iv) Enuncieu el teorema fonamental de la teoria de superf´ıcies. Expliqueu el significat amb algun exemple. Trobeu analogies i difer`encies entre aquest teorema i el teorema fonamental de la teoria de corbes planes.
Soluci´on. (i) Definiu els s´ımbols de Christoffel d’una carta ϕ d’una superf´ıcie regular S. Proveu les f´ormules de c`alcul dels s´ımbols de Christoffel a partir dels coeficients de la primera forma fonamental.
Ver la secci´on 3.7 de los apuntes. Siguin S una superf´ıcie regular orientada, N : S −→ S^2 l’aplicaci´o de Gauss, i ϕ : U −→ S una carta positiva de S. Denotem per G la base G =
ϕu ϕv N
. Les derivades de ϕu, ϕv s’expressen en la base G amb certs coeficients.
Lema 1. Sigui (u, v, n) una base positiva de l’espai vectorial euclidia orien- tat R^3 tal que la matriu de la metrica en aquesta base ´es
E F 0
F G 0
Si w = λ 1 u + λ 2 v + λ 3 n, se satisf`a
λ 1 λ 2
E F
F G
w · u w · v
, λ 3 = w · n. (1)
Demostraci´on. Per a obtenir (1), multipliquem escalarment l’equaci´o w = λ 1 u + λ 2 v + λ 3 n pels vectors de la base, i obtenim el sistema d’equacions w · u = λ^1 · E + λ^2 · F, w · u = λ^1 · F + λ^2 · G, w · n = λ^3 ,
´es a dir, en forma matricial, ( w · u w · v
E F
F G
λ^1 λ^2
per tant (^) ( λ 1 λ 2
E F
F G
w · u w · v
, λ 3 = w · n.
En la situaci´o que ens interessa, (u, v, n) ´es la base de Gauss (ϕu, ϕv, Nϕ)|(u,v) associada a (S, ϕ) en un punt ϕ(u, v) ∈ S. La component normal en aquesta base d’un vector qualsevol ´es el producte escalar per N.
Per a ϕuu obtenim ϕuu · N = −ϕu · Nu = e. Analogament, ϕuv · N = f i ϕvv · N = g.
Les components tangencials s´on a priori noves funcions escalars: existeixen funcions Γkij , 1 ≤ i, j, k ≤ 2, ´uniques tals que ϕuu = Γ^111 · ϕu + Γ^211 · ϕv + e · N ϕuv = Γ^112 · ϕu + Γ^212 · ϕv + f · N ϕvu = Γ^121 · ϕu + Γ^221 · ϕv + f · N ϕvv = Γ^122 · ϕu + Γ^222 · ϕv + g · N
Observem que, de la igualtat de derivades creuades ϕuv = ϕvu, se segueix Γk 12 = Γk 21 , si k = 1, 2.
Definici´on 2. Les funcions Γkij (u, v), s’anomenen els s´ımbols de Christof- fel de ϕ.
A continuaci´o calcularem els s´ımbols de Christoffel a partir dels coeficientes E, F, G i de les seves derivades de primer ordre.
(ii) Dedu¨ıu la f´ormula de Gauss que expressa la curvatura de Gauss en funci´o de la primera forma fonamental.
Ver la secci´on 3.7 de los apuntes.
Teorema 5. (F´ormula de Gauss.)
Γ^212 Γ^111 + Γ^222 Γ^211 +
∂Γ^211
∂v
− Γ^211 Γ^112 − Γ^221 Γ^212 −
∂Γ^212
∂u
= EK.
Demostraci´on. Es l’equaci´´ o escalar que resulta d’igualar les components en la direcci´o ϕv en l’equaci´o ϕuuv = ϕuvu. En efecte, d’una banda se satisf`a
ϕuuv = (ϕuu)v = (Γ^111 · ϕu + Γ^211 · ϕv + e · N )v = (Γ^111 ,v · ϕu + Γ^211 ,v · ϕv + ev · N ) + (Γ^111 · ϕuv + Γ^211 · ϕvv + e · Nv) = (Γ^111 ,v · ϕu + Γ^211 ,v · ϕv + ev · N )
- Γ^111 · (Γ^112 · ϕu + Γ^212 · ϕv + f · N )
- Γ^211 · (Γ^122 · ϕu + Γ^222 · ϕv + g · N ) + e · (a^12 ϕu + a^12 ϕv).
Per tant, la component en la direcci´o ϕv de ϕuuv ´es
Γ^211 ,v + Γ^111 · Γ^212 + Γ^211 · Γ^222 + e · a^22.
De la mateixa manera es demostra que la component en la direcci´o ϕv del vector ϕuvu ´es Γ^212 ,u + Γ^112 · Γ^211 + Γ^212 · Γ^221 + f · a^21.
Igualant ambdues components obtenim l’equaci´o
Γ^211 ,v + Γ^212 Γ^111 + Γ^222 Γ^211 − Γ^212 ,u − Γ^211 Γ^112 − Γ^221 Γ^212 = −(e · a^22 − f · a^21 ).
De les equacions de Weingarten es dedueix
( e f
E F
) (a^11 a^12 a^21 a^22
per tant, tenint en compte
e · a^22 − f · a^21 =
e f
a^22 −a^21
dedu¨ım
e·a^22 −f ·a^21 = −
E F
) (a^11 a^12 a^21 a^22
a^22 −a^21
E F
) (a^11 a^22 − a^12 a^21 0
= −EK,
que demostra la f´ormula de Gauss.
(iii) Definiu carta isometrica. Doneu una carta isometrica del cilindre x^2 + y^2 = 4. Enuncieu el problema dels mapes i doneu-ne la resposta a partir de la f´ormula de Gauss.
Definici´on 6. Una carta isom´etrica de una superficie S es una carta ϕ de S que cumple Iϕ = ( 1 00 1 ). Una carta isom´etrica conserva las longitudes de las curvas.
Ejemplo 7. Carta isom´etrica del cilindro x^2 + y^2 = 4.
ϕ(u, v) = (2 cos
u 2
, 2 sin
u 2
, v)
El problema de l’exist`encia de cartes isom´etriques s’anomena el problema dels mapes. En el cas d’un obert de l’esfera correspon, llevat d’un factor d’escala, al problema de la representaci´o de la superf´ıcie terrestre mitjan¸cant una carta que conservi les longituds de les corbes.
El corol·lari seg¨uent d´ona una resposta al problema dels mapes per a l’esfera.
Corolario 8. Si una superf´ıcie simple t´e una carta isom`etrica aleshores K =
En particular no existeix cap carta isom`etrica d’un obert d’una esfera.
Demostraci´on. En una carta isometrica els coeficients E, F, G s´on constants, aixo implica que els s´ımbols de Christoffel son tots nuls. Per tant, de la f´ormula de Gauss resulta K = 0. Com que una esfera t curvatura de Gauss diferent de 0, no existeix cap carta isom`etrica d’un obert de l’esfera.
(iv) Enuncieu el teorema fonamental de la teoria de superf´ıcies. Expliqueu el significat amb algun exemple. Trobeu analogies i difer`encies entre aquest teorema i el teorema fonamental de la teoria de corbes planes.
Ver seccion 3.8. El teorema fonamamental de la teoria local de superf´ıcies ´es una versi´o per a superf´ıcies de l’espai del teorema fonamental de la teoria local de corbes del pla.
En el cas de corbes del pla aquestes estan caracteritzades, llevat d’un movi- ment positiu del pla, per la funci´o longitud de l’arc s i la funci´o curvatura κ. A m´es, aquestes dues funcions s, κ es poden donar arbitr`ariament i son independents entre s´ı.
Ejemplos 10. (1) Pel teorema de Bonnet, existeix una superf´ıcie parame- tritzada regular ϕ : R^2 −→ R^3 tal que E = 1, F = 0, G = 1, e = 0, f = 0 , g = 1.
(2) Sigui U = R^2 , i E = 1, F = 0, G = 1, e = 1, f = 0, g = 1. Com que no se satisf`a la f´ormula de Gauss, no existeix cap superf´ıcie amb aquestes primera i segona formes fonamentals.
*4. (3p) Siguin α : I −→ R^3 una corba 2-regular amb torsi´o nul·la i parame- tritzada per la longitud de l’arc, i m una constant. Denotem per κ i (T, N, B) la curvatura i el triedre de Frenet de α, respectivament. Sigui β : I −→ R^3 la corba parametritzada definida per
β(t) = α(t) + mt · B, per a tot t ∈ I.
(i) Proveu que β ´es 1-regular i trobeu la seva funci´o longitud d’arc sβ i la seva curvatura κβ en funci´o de t.
(ii) Proveu que β ´es 2-regular i calculeu la seva torsi´o τβ.
(iii) Proveu que β ´es una h`elice generalitzada i determineu el seu eix i el seu pendent.
Soluci´on. (i) Sabemos que τ = 0, y que B es constante. Derivando β suce- sivamente obtenemos
β′^ = T + mB β′′^ = κN β′′′^ = κ′N + κ(−κT − τ B) = −κ^2 T + κ′N.
As´ı, en primer lugar la longitud de arco y la curvatura de β son
sβ (t) =
|β′|dt = t
1 + m^2 , κβ (t) =
|β′^ ∧ β′′| |β′|^3
κ(t) 1 + m^2
(ii) Como α es 2-regular, κ 6 = 0 y, por tanto κβ 6 = 0 y β es 2-regular. La torsi´on es
τβ = −
(β′, β′′, β′′′) |β′^ ∧ β′′|^2
= −κ
m 1 + m^2
(iii) Puesto que − (^) κτββ = m es constante, β es una h´elice. La pendiente es la
tangente del ´angulo de inclinaci´on, es decir, la cotangente del ´angulo que forma la h´elice con su eje. Esta pendiente es − (^) κτββ = m.
El eje tiene la direcci´on del vector de Darboux
wβ =
τ (^) β^2 + κ^2 β
(−τβ Tβ + κβ Bβ ).
