Pr`actica 23, GDC-Grup A, 05/06
Aplicacions isom`etriques, s´ımbols de Christoffel.
Teorema Egregium de Gauss.
(1) Considerem la parametritzaci´o
−→
x(u, v) = (cos(u)m(v),sin(u)m(v), n(v)) , u ∈]0,2π[, v ∈I,
d’una superf´ıcie de revoluci´o. Trobeu per a aquestes superf´ıcies l’expressi´o general
dels s´ımbols de Christoffel.
(2) Trobeu l’expressi´o general de la curvatura de Gauss fent servir la f´ormula obtin-
guda en la demostraci´o del Teorema Egregium de Gauss, ´es a dir, fent servir els
simbols de Christoffel pr`eviament calculats. Comproveu el resultat comparant-lo
amb l’obtingut en la pr`actica 19.
(Sol. : K=n0
m
m0n00
−n0m00
((m0)2+(n0)2)2.)
(3) Calculeu, com vos siga m´es c`omode, la curvatura de Gauss de les seg¨uents su-
perf´ıcies:
(1) Catenoide, per a (u, v)∈U1= ]0,2π[×R
−→
x(u, v) = (cosh vcos u, cosh vsin u, v)).
(Sol. : Kc(−→
x(u, v)) = −1
cosh4v.)
(2) Helicoide, per a (u, v)∈U2= ]0,2π[×R
−→
y(u, v) = (vcos u, v sin u, u)).
(Sol. : Kh(−→
y(u, v)) = −1
(1+v2)2.)
(3) Superf´ıcie embut, per a (u, v)∈U3= ]0,2π[×]0,+∞[
−→
z(u, v) = (vcos u, v sin u, ln v)).
(Sol. : Ke(−→
z(u, v)) = −1
(1+v2)2.)
(4) Denotem per Kc, K hiKe, respectivament, les curvatures de Gauss de les su-
perf´ıcies de l’exercici 2. Considereu l’aplicaci´o de l’helicoide en el catenoide donada
per
φ=−→
x◦h◦−→
y−1,
on h(u, v) = (u, argsinh v) i l’aplicaci´o de la superf´ıcie embut en l’helicoide donada
per
ψ=−→
y◦−→
z−1.
(Noteu que U3⊂U1=U2.) Comproveu que aquestes aplicacions conserven la
curvatura de Gauss, ´es a dir, que
Kh=Kc◦φ, Ke=Kh◦ψ.
(5) Estudieu si les aplicacions φiψde l’exercici 3 s´on o no isometries locals. Ajuda:
noteu que cosh(argsinh v) = √1 + v2.
Aquesta pr`actica t´e, entre d’altres, l’obejctiu de comprovar si ´es o no cert el
rec´ıproc del teorema Egregium de Gauss. A la vista dels resultats podreu donar
la resposta.
1