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Geometría Descriptiva
Ing. Alberto M. Pérez G.
capítulo 1
marco teórico.
Todos los objetos creados por el hombre, desde un simple alfiler hasta la más compleja maquinaria, planta industrial, obra civil, etc, son concebidos inicialmente en forma mental, y antes de su fabricación deben ser descritos con toda precisión para resolver con exactitud cualquier problema relacionado con su forma, tamaño y funcionalidad.
Es el estudio de la Geometría Descriptiva, lo que permite definir correctamente la representación plana (proyección) de los objetos tridimensionales antes ó después de su existencia real.
Estudiar Geometría Descriptiva es estudiar el mundo que nos rodea, es describir la forma de: tornillos; resortes; engranajes; relojes; sillas; mesas; televisores; carros; casas; urbanizaciones; carreteras; represas; planetas; galaxias; en fin, todos los objetos físicos que nos rodean pueden ser concebidos por el hombre mediante representaciones planas de los mismos, y es la Geometría Descriptiva la que
define las reglas que rigen la elaboración de estas proyecciones.
Se logra definir gráficamente cualquier objeto, mediante la sintetización del mismo a sus elementos geométricos mas simples, como lo son: puntos; líneas; superficies; ángulos; etc. Es por lo tanto necesario que el estudiante de Geometría Descriptiva domine y exprese estos conceptos en forma correcta, razón por la cual se inicia la presente obra con este primer capítulo, en el cual se describen en forma simple los conceptos geométricos básicos de mayor uso en el estudio de la Geometría Descriptiva.
Además, pensando en la ejercitación práctica del estudiante en la resolución de problemas de Geometría Descriptiva, se incluyen en este marco teórico las formas elementales de: trazado; manejo de escuadras y compás; y se incluye una breve descripción del concepto de escala.
Se supone que todo el contenido de este primer capítulo es del conocimiento previo del estudiante de Geometría Descriptiva, razón por la cual se presenta en forma concisa y con carácter principalmente informativo.
Geometría Descriptiva CONCEPTOS BÁSICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
CONCEPTOS BÁSICOS.
PUNTO.
Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones. En la fig.1, se muestran algunas formas de representar a un punto.
Cortando líneas Con un círculo Con un cuadrado
A A^ A
fig.1.\ Representación de un Punto.
LÍNEA.
Es una sucesión infinita de puntos. Una línea puede ser: a) recta, b) poligonal (quebrada), ó c) curva\ fig.2.
c) Curva
a) Recta b) Poligonal (Quebrada) c) Curva
fig.2.\ Líneas.
RECTA.
Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos, a los que une recorriendo su menor distancia.
ALGUNAS PARTES DE UNA RECTA SON :
a) Semirrecta. Cada una de las dos partes en que divide a una recta, uno cualquiera de sus puntos\ fig.3a.
b) Segmento. Porción de una recta comprendida entre dos de sus puntos\ fig.3b.
Las semirrectas son de longitud infinita, mientras que los segmentos son de longitud finita.
a^ A^ A
b
A-B
B
a) Semirrectas (a) y (b) b) Segmento (A-B)
fig.3.\ Partes de una Recta.
S EGÚN LA POSICIÓN RELATIVA EN QUE SE ENCUENTREN DOS RECTAS,
SE DEFINEN COMO:
a) Rectas que se cortan. Si las rectas poseen un punto en común. En este caso las rectas están contenidas en un mismo plano\ fig.4a.
b) Rectas paralelas. Si mantienen indefinidamente la distancia entre ellas. En este caso las rectas están contenidas en un mismo plano\ fig.4b.
c) Rectas que se cruzan. Son dos rectas que no se cortan ni son paralelas. En este caso las rectas no están contenidas en un mismo plano\ fig.4c.
b a b
a
P
b
a
a) Rectas que se cortan b) Rectas paralelas c) Rectas que se cruzan
fig.4.\ Posición relativa entre rectas.
ÁNGULO.
Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común.
UN ÁNGULO, SEGÚN SU MEDIDA ANGULAR EN GRADOS
SEXAGESIMALES^1 , SE DEFINE COMO:
a) Cóncavo. Si mide entre 180^0 y 360 0 \ fig.5a. b) Llano. Si mide 180 0 \ fig.5b.
c) Completo. Si mide 360 0 \ fig.5c.
d) Convexo. Si miden menos de 180^0. Se definen a su vez
fig.5d:
1) Agudo. Si mide menos de 90 0.
2) Recto. Si mide 90^0.
3) Obtuso. Si mide entre 90^0 y 180 0.
DOS ÁNGULOS SE DEFINEN COMO:
Ángulos consecutivos. Si se ubican uno a continuación del otro. A su vez se denominan\ fig.5e:
a) Complementarios. Si la suma de sus medidas angulares es igual a 90^0.
b) Suplementarios. Si la suma de sus medidas angulares es igual a 180 0.
DOS RECTAS QUE SE CORTAN DEFINEN CUATRO ÁNGULOS, LOS
CUALES, TOMADOS EN PARES, SE DEFINEN COMO:
a) Opuestos. Si no poseen ninguna semirrecta común. En este caso sus medidas angulares son iguales\ fig.5f.
b) Adyacentes. Si poseen una semirrecta común. En este caso son ángulos suplementarios\ fig.5g.
(^1) Un grado sexagesimal es la 90va. parte del ángulo recto.
Geometría Descriptiva CONCEPTOS BÁSICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
3) Pentágono, hexágono, heptágono, octágono. Polígono de cinco, seis, siete u ocho lados respectivamente
fig.7b.
Hexágono regular
Octágono regular
Heptágono regular
Pentágono regular a) Polígono regular
Cuadrado
Triángulo equilátero
Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono b) Polígono irregular
γ β
β
Triángulo acutángulo
Triángulo obtusángulo
Triángulo rectángulo
Triángulo escaleno
Triángulo isósceles
αα^ α
Tres ángulos agudos
Un ángulo recto
Tres ángulos diferentes
Dos ángulos iguales
c) Triángulo. Polígono de tres lados
α α α
Triángulo equilátero
Tres ángulos iguales
Un ángulo obtuso
Paralelogramo. Cuadrilátero con lados opuestos paralelos
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
α a
a
a b
b a a
b
b
a a
a
a a
a
β
β β
β α
Trapezoide. Cuadrilátero sin lados paralelos
Trapecio. Cuadrilátero con solo dos lados paralelos
Trapecio Trapecio rectángulo Trapecio isósceles
a a
d) Cuadrilátero. Polígono de cuatro lados
α α
α α
fig.7.\ Polígono.
CURVA.
Línea del plano o del espacio que no tiene segmentos rectos. Las curvas se clasifican en:
a) Cónica. Curva que se genera al seccionar un cono recto de revolución con un plano\ fig.8a.
DEPENDIENDO DE LA RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS:
α o^ : Ángulo que forma el plano (α) seccionante con el plano base del cono.
β o^ : Ángulo que forman las generatrices^2 (g) del cono con el plano base del mismo.
LAS CÓNICAS SE DENOMINAN \ fig.8a:
(^2) Rectas que contienen al vértice (V) del cono y a un punto (P) de su circunferencia base.
1) Circunferencia. Cónica generada cuando el plano (α) seccionante y el plano base del cono son paralelos; (α 0 =0 0 ).
2) Elipse. Cónica generada cuando el ángulo (α 0 ) es menor que el ángulo (β 0 ); (α 0 < β 0 ).
3) Parábola. Cónica generada cuando los ángulos (α 0 ) y (β 0 ) son iguales; (α 0 = β 0 ).
4) Hipérbola. Cónica generada cuando el ángulo (α 0 ) es mayor que el ángulo (β 0 ); (α 0 > β 0 ).
El estudio de las cónicas es de gran importancia en los campos de la Óptica, Astronomía, Física, Biología, Informática, Ingeniería, entre otras, ya que son la base del diseño y construcción de lentes, espejos, y superficies: elípticas, circulares parabólicas e hiperbólicas, los cuales son componentes esenciales de: microscopios, telescopios, radares, antenas parabólicas, teodolitos, distanciómetros, etc, de gran uso en estas ciencias.
b) Curvas Matemáticas, Físicas, Estadísticas, etc. Estas curvas son generadas por ecuaciones propias de cada una de estas ciencias, y su estudio es de gran utilidad en la solución de problemas relacionados con las mismas. En la fig.8b se muestra una curva trigonométrica.
c) Espiral de Arquímides. Curva del plano, generada por un punto (P) que se mueve con velocidad lineal constante (v), a lo largo de una recta (a); mientras esta gira, con velocidad angular uniforme (ϖ), alrededor de un punto fijo contenido en ella\ fig.8c.
d) Involuta ó Envolvente. Curva del plano, generada por un punto fijo (P) de un hilo, mientras este se desenrolla a partir de un segmento, polígono regular ó circunferencia\ fig.8d.
La involuta de un círculo se utiliza en la construcción de los dientes de engranajes.
e) Cicloide. Curva del plano, generada por un punto fijo (P) de una circunferencia que ruede sin deslizarse a lo largo de una recta (a)\ fig.8e.
Las cicloides tienen aplicación en la construcción de los dientes de engranajes.
f) Catenaria. Curva plana que forma, por la acción de su propio peso, un hilo, completamente homogéneo, flexible e inextensible, cuando se fijan dos de sus puntos
fig.9a.
La catenaria, tiene gran aplicación en la Ingeniería Eléctrica para el diseño y colocación de líneas eléctricas, ya que los cables, al ser suspendidos, generan este tipo de curvas y su estudio permite determinar los esfuerzos a que serán sometidos por la acción de su propio peso. En la Ingeniería Civil se aplican en el diseño y construcción de puentes colgantes.
g) Helice. Curva del espacio, generada por un punto (P), de una recta (a), la cual se desplaza, con velocidad constante (v), y rota, con velocidad constante (ϖ), sobre otra recta (e), con la que se corta (fig.9b). Una hélice puede ser:
1) Hélice cilíndrica. Si el punto (P) que la genera es un punto fijo de la recta (a)\ fig.9b1.
Geometría Descriptiva CONCEPTOS BÁSICOS
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B
C
A
D
a) Cónica
Parábola
α
αο
α^0 = β 0
β ο
Elipse
α
β ο
α^0 < β 0
αο Hiperbola
α
α^0 > β 0
αοβ^ ο
P
V
g
α
β ο
Circunferencia α^0 = 0 0
0^0 90^0 180^0 270^0 360^0
-1,
-0,
0,
1,
0
f(x)=seno α 0
α^0
b) Curva trigonométrica
c) Espiral de Arquímides
ϖ
v (^) a
P
Involuta de una Recta. Involuta de un Polígono. Involuta de un Círculo.
P P
P
A B
d) Involuta ó (envolvente)
a
P
e) Cicloide
**fig.8.\ Curva.
- Hélice cónica.** Si el punto (P) que la genera, se mueve, con velocidad lineal constante (v (^) p), a lo largo de la recta (a)\ fig.9b2.
Las hélices tienen aplicación en la Ingeniería Mecánica para la construcción de roscas de tornillos y tornillos sin fín para engranajes transportadores; también en la Ingeniería Civil y Arquitectura las hélices se utilizan para el diseño y construcción de escaleras en espiral (escaleras de caracol); se
aplican también en la Industria Publicitaria para la construcción de avisos publicitarios.
a) Catenaria
1) Hélice Cilíndrica 2) Hélice Cónica
a
v ϖ ϖ
vp
v
e e
P a^ P
b) Hélice
fig.9.\ Catenaria - Hélice.
CÍRCULO.
Figura geométrica plana limitada por una circunferencia. En la fig.10. Se muestran el círculo y sus partes.
Cuerda
Sector
Secante
Radio Diámetro
Arco Circunferencia Tangente
Círculo
Cuadrante
Semicírculo
Círculos Concéntricos
Círculos Excéntricos
Segmento
Radio
fig.10.\ Círculo y sus partes.
SUPERFICIE.
Configuración geométrica que posee solo dos dimensiones. Los principales tipos de superficie son: a) Superficie reglada. Superficie generada por el movimiento de una recta, denominada generatriz (g), manteniéndose en contacto con otra ú otras líneas, denominadas directrices (d), y cumpliendo además ciertas condiciones particulares. Entre las superficies regladas se pueden mencionar\ fig.11: 1) Plano. Superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), que se mantiene en contacto con una directriz (d) recta, siendo paralelas todas las posiciones de la generatriz
fig.11a.
Geometría Descriptiva CONCEPTOS BÁSICOS
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3) Paraboloide. La generatriz (g) es una parábola.
4) Hiperboloide. La generatriz (g) es una hipérbola.
Esfera Elipsoide Paraboloide Hiperboloide
e g (^) g
e
g
e
g
g
e
fig.12.\ Superficies de doble curvatura.
SÓLIDO.
Espacio limitado por superficies. Se clasifican en:
a) Poliedro. Sólido limitado por superficies planas (polígonos). Los polígonos que limitan al sólido se denominan caras; los lados de estos polígonos aristas; y los puntos donde concurren varias aristas vértices. Los poliedros se denominan\ fig.13:
1) Poliedro irregular. Poliedro que posee caras diferentes y/o aristas de longitudes distintas. Según el número de sus caras, se denominan:
Tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro ú octaedro. Poliedro de cuatro, cinco, seis, siete, u ocho caras respectivamente\ fig.13a.
2) Poliedro regular. Poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales, y todas sus aristas son de igual longitud; en consecuencia, todos sus vértices están contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y se denominan\ fig.13b:
i) Tetraedro regular. Poliedro definido por cuatro triángulos equiláteros iguales. ii) Hexaedro regular (cubo). Poliedro definido por seis cuadrados iguales.
iii) Octaedro regular. Poliedro definido por ocho triángulos equiláteros iguales.
iv) Dodecaedro regular. Poliedro definido por doce pentágonos regulares iguales. v) Icosaedro regular. Poliedro definido por veinte triángulos equiláteros iguales.
3) Prisma. Poliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos (bases) y cuyas caras laterales son paralelogramos. La recta que une los centros geométricos de las bases se denomina eje del prisma (e). Los prismas se denominan\ fig.13c:
i) Prisma recto. Si el eje (e), es perpendicular a las bases; en cuyo caso todas sus caras laterales son rectángulos.
ii) Prisma oblicuo. Si el eje (e),no es perpendicular a las bases. iii) Prisma regular. Prisma cuyas bases son polígonos regulares. Pueden a su vez ser:
A) Prisma regular recto. Prisma regular cuyo eje (e), es perpendicular a las bases; en cuyo caso todas sus caras laterales son rectángulos iguales.
B) Prisma regular oblicuo. Prisma regular cuyo eje (e), no es perpendicular a las bases.
iv) Paralelepípedo. Prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u oblicuos.
4) Pirámide. Poliedro definido por un polígono base, y cuyas caras laterales son triángulos que poseen un vértice común (V), denominado vértice de la pirámide, no contenido en el plano base. La recta que pasa por el vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base se denomina eje de la pirámide (e). Las pirámides se denominan\ fig.13d:
i) Pirámide recta. Si el eje (e), es perpendicular a la base. ii) Pirámide oblicua. Si el eje (e), no es perpendicular a la base.
iii) Pirámide regular. Pirámide cuya base es un polígono regular. Pueden a su vez ser:
A) Pirámide regular recta. Pirámide regular cuyo eje (e), es perpendicular a la base; en cuyo caso, todas sus caras laterales son triángulos isósceles iguales.
B) Pirámide regular oblicua. Pirámide regular cuyo eje (e), no es perpendicular a la base.
b) Cuerpo redondo. Sólido que contiene superficies curvas. Entre ellos se pueden mencionar\ fig.14:
1) Cilindro. Sólido limitado por una superficie cilíndrica y por dos bases planas paralelas. La recta que pasa por los centros geométricos de las bases se denomina eje del cilindro (e), y es paralela a la generatriz (g) de la superficie cilíndrica. Los cilindros pueden ser\ fig.14a:
i) Cilindro recto. Si el eje (e), es perpendicular a las bases. ii) Cilindro oblicuo. Si el eje (e), no es perpendicular a las bases.
iii) Cilindro de revolución. Cilindro limitado por una superficie cilíndrica de revolución. Pueden a su vez ser:
A) Cilindro de revolución recto. Cilindro de revolución cuyo eje (e), es perpendicular a las bases.
B) Cilindro de revolución oblicuo. Cilindro de revolución cuyo eje (e), no es perpendicular a las bases.
2) Cono. Sólido limitado por una superficie cónica y por una base plana. La recta que pasa por el vértice (V), de la superficie cónica y el centro geométrico de la base se denomina eje del cono (e). Los conos pueden ser\ fig.14b:
Geometría Descriptiva CONCEPTOS BÁSICOS
Ing. Alberto M. Pérez G.
i) Cono recto. Si el eje (e), es perpendicular a la base.
ii) Cono oblicuo. Si el eje (e), no es perpendicular a la base.
iii) Cono de revolución. Cono limitado por una superficie cónica de revolución. Pueden a su vez ser:
A) Cono de revolución recto. Cono de revolución cuyo eje (e), es perpendicular a la base.
B) Cono de revolución oblicuo. Cono de revolución cuyo eje (e), no es perpendicular a la base.
Tetraedro Pentaedro Hexaedro Heptaedro Octaedro. a) Poliedros irregulares
Icosaedro regular
Dodecaedro regular
Octaedro regular
Hexaedro regular (cubo)
Tetraedro regular b) Poliedros regulares
e e e e
e (^) e e e
Prisma oblicuo Prisma irregular Prisma regular
Prisma recto Prisma regularrecto Prisma regularoblicuo
c) Prismas
Pirámide oblicua Pirámide irregular Pirámide regular
Pirámide recta Pirámide regularrecta Pirámide regularoblicua
d) Pirámides
fig.13.\ Poliedros.
3) Sólido de revolución. Sólido limitado por una generatriz curva que rota alrededor de un eje. Entre ellos se pueden mencionar\ fig.14c:
i) Esfera, elipsoide, paraboloide e hiperboloide. Espacios limitados por estos tipos de superficie ya descritas.
ii) Toro (anillo). Su superficie la genera una circunferencia ó una elipse, que gira alrededor de un eje (e), coplanar con ella, y situado fuera de ella.
Cilindro oblicuo
a) Cilindro
Cilindro de nó revolución Cilindro de revolución
e
e e e V V V V
e
e e e e
Cilindro recto Cilindro rectode revolución revolución oblicuoCilindro de
Cono oblicuo Cono de nó revolución Cono de revolución
Cono recto Cono de revolución oblicuo
Cono recto de revolución
b) Cono
Sólidos limitados por superficies cuádricas
Esfera Elipsoide Paraboloide Hiperboloide Toro
c) Sólidos de revolución
fig.14.\ Cuerpos redondos.
TRAZADO.
En la fig.15, se muestran los tipos básicos de trazado, utilizados en la elaboración de un dibujo.
Procedimiento Contorno invisible Eje Verdadero tamaño Cota
Contorno visible
fig.15.\ Líneas de trazado.
Geometría Descriptiva TRAZADO
Ing. Alberto M. Pérez G.
t 2
T 1 t^1
T (^2)
O A O
a
A
M
b
fig.21.\ Recta (t), tangente a una circunferencia, y que pase por un punto (A), externo a ella.
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES
IGUALES.
Ejemplo : Dividir el segmento (A-B) en cinco partes iguales
fig.22a.
Solución:
a) Se traza una recta (r) cualquiera, que pase por uno de los extremos del segmento; en el ejemplo se trazó por el punto (A)\ fig.22b.
b) Se marcan en la recta (r), y a partir del punto (A), cinco divisiones iguales.
c) Se transportan, mediante rectas paralelas, las cinco divisiones de la recta (r), al segmento (A-B).
0
3
5 4 2 1 A B a r
B
A
b
fig.22.\ División de un segmento en cinco partes iguales.
TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES.
a) TRIÁNGULO EQUILÁTERO \ ver fig.23; fig.24; y fig.25.
A B
600 600
A B
C
A B
C
A B a) Por medio de los ángulos.
b) Cortando arcos.
fig.23.\ Dibujo de un triángulo equilátero (ABC), conocido el lado (AB).
a
r 60 r
0 600
A b
B C
A
fig.24.\ Dibujo de un triángulo equilátero (ABC), conocido el vértice (A) y la recta (r) que contiene al lado (B-C).
C
B
a
A O A O
b
fig.25.\ Dibujo de un triángulo equilátero (ABC), conocido el vértice (A) y la circunferencia que lo circunscribe.
b) CUADRADO \ ver fig.26; y fig.27.
a) Trazando perpendiculares y diagonales.
A
D C
B
450450 A
D C
A B B b) Trazando perpendiculares y arcos.
fig.26.\ Dibujo de un cuadrado (ABCD), conocido el lado (AB).
a
A^ O
b
O
D
B
A C
fig.27.\ Dibujo de un cuadrado (ABCD), conocido el vértice (A), y la circunferencia que lo circunscribe.
Geometría Descriptiva TRAZADO
Ing. Alberto M. Pérez G.
c) P ENTÁGONO REGULAR \ ver fig.28; y fig.29.
A B M Punto medio de (A-B)
2
1
A B
C
a b) Se define el vértice ( C )
r=A-
r=A-
A B
E C
M (^) A M B
E
D
C
c) Se define el vértice ( E ) d) Se define el vértice ( D )
fig.28.\ Dibujo de un pentágono regular (ABCDE), conocido el lado (AB).
O
A
O
a
A
b
r=A-B
B
D
E
A
C
O O E B
A (^) c d
fig.29.\ Dibujo de un pentágono regular (ABCDE), conocido el vértice (A) y la circunferencia que lo circunscribe.
d) HEXÁGONO REGULAR \ ver fig.30; y fig.31.
60 0 60 0
A B
600
b
F
E D
C
A B
a
fig.30.\ Dibujo de un hexágono regular (ABCDEF), conocido el lado (AB).
b
F
E D
r
r
O C
A B
a
O
A
fig.31.\ Dibujo de un hexágono regular (ABCDEF), conocido el vértice (A) y la circunferencia que lo circunscribe.
e) HEPTÁGONO REGULAR \ ver fig.32; y fig.33.
a
G
A B
C
F D
b E
r=AB 300
O
A B
fig.32.\ Dibujo de un heptágono regular (ABCDEFG), conocido el lado (AB).
1 a
r
F r
E D
C
O
G B
b A
O
A
fig.33.\ Dibujo de un heptágono regular (ABCDEFG), conocido el vértice (A) y la circunferencia que lo circunscribe.
f) OCTÁGONO REGULAR \ ver fig.34; y fig.35.
Geometría Descriptiva ESCALA
Ing. Alberto M. Pérez G.
ESCALA.
Es la proporción de aumento o disminución que existe entre las dimensiones reales y las dimensiones representadas de un objeto. En efecto, para representar un objeto de grandes dimensiones, deben dividirse todas sus medidas por un factor mayor que uno, en este caso denominado escala de reducción; y para representar objetos de pequeñas dimensiones, todas sus medidas se multiplican por un factor mayor que uno, denominado escala de ampliación. La escala a utilizar se determina entonces en función de las medidas del objeto y las medidas del papel en el cual será representado. El dibujo hecho a escala mantendrá de esta forma todas las proporciones del objeto representado, y mostrará una imagen de la apariencia real del mismo. Finalmente, deben indicarse sobre el dibujo las dimensiones del objeto real, y la escala en que ha sido elaborado.
En la fig.39a, se muestra un cuadrado de 1 cm. de lado dibujado en sus dimensiones reales (dibujado a escala natural ó escala 1/1). En la fig.39b, se muestra el mismo cuadrado representado en escala 2/1 (multiplicadas sus medidas por dos). Y en la fig.39c, se muestra el mismo cuadrado representado en escala 1/2 (divididas sus medidas por dos).
esc: 1/1 esc: 2/1 esc: 1/
1 cm 1 cm
1 cm
1 cm 1 cm
1 cm
a b c
fig.39.\ Representaciones a escala de un cuadrado.
En la fig.40, se muestran algunos factores de escalas de reducción y ampliación.
longitud de representación de 1 metro 100 cms. 80 cms. 50 cms. 40 cms. 20 cms. 13,33 cms. 10 cms.
factor de reducción
1 1, 2 2, 5 7, 10
escala
1/ 1/1, 1/ 1/2, 1/ 1/7, 1/
longitud de representación de 1 cm. 1 cms. 1,33 cms. 2 cms. 4 cms. 5 cms. 8 cms. 10 cms.
factor de aumento
1 1, 2 4 5 8 10
escala
1/ 1,33/ 2/ 4/ 5/ 8/ 10/
escalas de reducción escalas de ampliación
fig.40.\ Factores de escalas de reducción y ampliación.
Para evitar la realización de multiplicaciones ó divisiones en la elaboración de un dibujo a escala, se trabaja con reglas graduadas denominadas escalas, las cuales son construidas en base a los factores de reducción ó ampliación de las respectivas escalas. En la fig.41, se muestran algunas de estas escalas.
escala natural esc: 1/ 0 1 cm 2 3 4 5 6 7
0 1 cm 2 3 4 5 6 7 8 9
esc: 1/1,
esc: 2/ 0 1 cm 2 3
esc: 1/ 0 5 10 cm (^15 20 25 30 )
esc: 1/7, 0 5 10 cm (^15 20 25 30 35 40 45 50 )
esc: 1/ 0 1 m 2 3 4 5
esc: 1/ 0 10 m 20 30 40 50
esc: 1/ 0 5 10 cm 15
esc: 1/2, 0 5 10 cm 15
fig.41.\ Escalas.
ESCALÍMETRO.
Es una regla ó un juego de reglas que contiene simultáneamente varias escalas diferentes.
Son muy comunes los escalímetros de forma triangular que contienen seis escalas como el mostrado en la fig.42.
fig.42.\ Escalímetro.
Geometría Descriptiva
Ing. Alberto M. Pérez G.
capítulo 2
SISTEMAS DE
PROYECCIÓN.
En este capítulo se hace una breve descripción de los sistemas de proyección mas utilizados en Ingeniería y Arquitectura, describiendo el fundamento básico de la ejecución de proyecciones en estos sistemas.
El objetivo principal del capítulo es que el estudiante conozca estos sistemas de proyección, y sepa identificar cuando un objeto esta representado en cada uno de ellos. Al igual que el capítulo anterior, el carácter del presente capitulo es básicamente informativo por lo tanto se presentan las características mas esenciales de estos sistemas de proyección sin entrar en descripciones profundas de sus métodos de trabajo.
Geometría Descriptiva SISTEMAS DE PROYECCIÓN
Ing. Alberto M. Pérez G.
B) Proyección en el primer triedro (primer octante). Usado en todo el mundo, excepto en los Estados Unidos y Canadá.\ fig.47.
Primer triedro
Derecha Frontal
Planta
fig.47.\ Proyección en vistas múltiples en el primer triedro. ii) Proyección acotada. Es una proyección ortogonal sobre la que se acotan en cada punto, línea, u objeto representado la altura (cota) del mismo con respecto a cualquier plano de referencia que sea paralelo al plano de proyección\ fig.48. La proyección acotada es muy práctica cuando es necesario representar gráficamente objetos irregulares; razón por la cual se usa frecuentemente para el diseño de techos de viviendas; construcción de puentes, represas, acueductos, gasoductos, carreteras, determinación de áreas de parcelas, trazado de linderos, y dibujos topográficos de plantas y perfiles de terrenos, entre otros.
Punto de observación muy lejano
4 2
0
2
4
fig.48.\ Proyección acotada.
iii) Proyección axonométrica. Se obtiene cuando el plano de proyección no es paralelo a ninguno de los tres ejes principales del objeto\ fig.49.
Punto de observación muy lejano
fig.49.\ Proyección axonométrica.
La proyección axonométrica, dependiendo de los ángulos que forman entre sí los ejes axonométricos (proyecciones de los ejes principales del objeto), se denomina:
A) Proyección isométrica. Se obtiene cuando los tres ángulos que forman los ejes axonométricos son iguales. Al representar objetos en proyección isométrica se mide en una misma escala sobre los tres ejes isométricos.\ fig.
1200
1200 1200
1 1
1 300 300
fig.50.\ Proyección isométrica.
B) Proyección dimétrica. Se obtiene cuando solo dos de los tres ángulos que forman los ejes axonométricos son iguales. Al representar un objeto en proyección dimétrica debe medirse en dos de los ejes axonométricos con una misma escala y con una escala diferente en el tercer eje axonométrico. La forma gráfica de determinar la relación entre las escalas sobre los tres ejes axonométricos para cualquier distribución de los mismos, se muestra en la fig.52. No obstante, en la fig.51, se muestran tres distribuciones muy usadas de ejes dimétricos con sus respectivas escalas, estas proporciones difieren muy poco de los
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valores teóricos reales, los cuales de ser usados difucultarián grandemente la ejecución de la dimetría.
71 / 20
1
71 / 20
(^3) / (^3) / 4 4
1
371 / 20 371 / 20
(^3) / 4
1
1
71 / 20
(^1) / 2
450
1
fig.51.\ Proyecciones dimétricas.
C) Proyección trimétrica. Se obtiene cuando los tres ángulos que forman los ejes axonométricos son diferentes. En la proyección trimétrica cada eje axonométrico posee su propia escala diferente a la de los otros dos.\ fig.
2) Proyección oblicua. Se obtiene cuando las proyectantes no son perpendiculares al plano de proyección (fig.44b). Preferentemente al dibujar en proyección oblicua se coloca el plano de proyección paralelo a una de las caras principales del objeto; ya que de esta forma dicha cara se proyectará en verdadero tamaño\ fig.53.
Al definir una proyección oblicua el eje recedente (eje de profundidad del objeto) se puede proyectar formando cualquier ángulo (αo) con respecto a los otros dos; e independientemente de este ángulo (αo), la profundidad del objeto se puede proyectar también en cualquier longitud (teóricamente hasta una longitud infinita). Por lo tanto, al dibujar en proyección oblicua, se traza el eje recedente a cualquier ángulo, y se miden las profundidades sobre el en cualquier escala\ fig.54.
α^0
β^0 γ^0
eX eY
(^5) eZ
0
4
3
2
1
0
5
2 3 4
1
5
0 4 3
2 1
2
5
4
0
2,
2,
5
0 5
fig.52.\ Proyección trimétrica.
Punto de observación muy lejano
fig.53.\ Proyección oblicua.
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Punto de observación
fig.59.\ Perspectiva de un punto fuga.
Punto de observación
fig.60.\ Perspectiva de dos puntos de fuga.
Punto de observación
fig.61.\ Perspectiva de tres puntos de fuga.
Las perspectivas de uno, dos, y tres puntos de fuga, pueden dibujarse en forma sencilla a partir de las proyecciones en vistas múltiples, como se muestra en las fig.62; fig.63; y fig.64, respectivamente.
Plano de proyección
Planta
Perspectiva
Frontal
Punto de observación
Horizonte Punto de fuga
fig.62.\ Dibujo de una perspectiva de un punto de fuga.
Frontal
Plano de proyección
Planta
Punto de observación Horizonte Punto de fuga
Punto de fuga
fig.63.\ Dibujo de una perspectiva de dos puntos de fuga.
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α
γ
β
M (^3)
M (^2)
M (^1)
Planta
Punto de fuga
Punto de fuga
Frontal
Punto de fuga
fig.64.\ Dibujo de una perspectiva de tres puntos de fuga.
