Geometría - El postulante, Apuntes de Matemáticas

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ÍNDICE

• Segm entos y án g u lo s
• T rián g u lo s
• Polígonos y cu ad rilátero s
• C irc u n fe re n cia
• Puntos notables asociad os al triángulo
• Se m ejan za de se g m en to s
• R elacio nes m é trica s
• C álculo de á re a s
• Geom etría del e s p a c io
• Geom etría a n a lític a

1 0 ¡ C o lec c ió n E l P o s t u l a n t e

Elem ento s:

lados: O A y O B; vértice: O

Notación: ángulo A O B : Z A O B medida del ángulo A O B : m Z A O B m Z A O B = 0

BISECTRIZ DE UN ANGULO

E s aquel rayo ubicado en la región interior del án gulo cuyo origen es el vértice de dicho ángulo y que forma con su s lados, ángulos de igual medida.

En la figura, OP: bisectriz del ángulo A O B.

m Z A O P = m Z P O B

CLASIFICACION DE ANGULOS SEGUN SUS MEDIDAS

Ángulo agudo. E s aquel ángulo cuya medida es m ayor que 0 o y menor que 90°.

el Z A O B e s agudo

0° < a < 90°

Ángulo recto. E s aquel ángulo cuya medida es igual a 90°.

el Z A O B e s recto

a = 90°

O (^) B

Ángulo obtuso. E s aquel ángulo cuya medida es m ayor a 90° y menor a 180°.

A el Z A O B es obtuso

90° < a < 18 0°

SEGUN LA POSICION DE SUS LADOS

Á n g ulo s adyacentes. Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y adem ás están situados a distinto lado de un lado común. A. B

O C

los ángulos A O B y BO C son adyacentes. 0 = a + (

Á ngulos co nsecutivos. S e denominan asi a dos o m ás ángulos que son adyacentes con su inmediato.

los ángulos A O B , B O C , C O D , y D O E son co nse cutivos. m Z A O E = a + p + 0 + y

Á ng ulo s o pu esto s por el vértice. Son dos ángu los que tienen el mismo vértice y ad em ás los lados de uno de elios son las prolongaciones de los lados del otro en sentido contrario. A - , r M

B '*■ N

los ángulos A O B y MON son opuestos por el vértice.

m Z A O B = mZMON

Angulos com plem entarios. Son dos ángulos cuya sum a de su s medidas e s igual a 90°

G e o m e t r ía ¡ 11

se tienen los ángulos complementarios A O B y MQN.

a + 1 : 90°

S e a C (a ): complemento de a. C (a ) = 90° - a

A ng ulo s suplem entarios. Son dos ángulos cuya sum a de su s m edidas e s igual a 180°. A * M i

B O Q N

se tienen los ángulos suplem entarios A O B y MQN.

a + e = 180°

S e a S (x ): suplem entario de x. S (x ) = 180° - x

POSTULADO

Por un punto exterior a una recta solo se puede trazar una recta paralela a ella. Q L, ■L

S i Q e s exterior a la recta L, entonces por Q solo se puede trazar L! // L (recta L-, paralela a la recta L).

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARA

LELAS Y UNA RECTA TRANSVERSAL

Al trazar una recta secante o tran sversal a dos rectas paralelas, se forman ocho ángulos cuyas medidas guardan ciertas relaciones, a sí tenem os:

Á ng ulo s alternos internos

S e a : L , // L 2. entonces a y 9 son las m edidas de dos ángulos alternos Internos.

Á ng ulo s co njug ados internos

S e a : L , // L2, entonces a y (3 son las m edidas de

dos ángulos conjugados Internos.

a + R = 180°

Á ng ulo s co rrespo ndientes

S e a : L , // L 2, entonces a. y 0 son las m edidas de dos ángulos correspondientes.

PROPIEDAD

Si L-i // L 2, entonces: x = a + f

En general:

Li

Si: L , // L 2 => E Z I = S Z D

a + b + c = x + y-t-z

G eo m e tr ía | 1 3

Usando ángulos de lados perpendiculares: 100° = 2p => <)> = 50° ...(1 ) Por ángulos conjugados internos: 2 (j> + 5(1 = 180° ...(2 ) (1) en (2): 2(50) + 5(1 = 180° => p = 16° P or propiedad: x = <j) + 2( x = 5 0 ° + 2 (1 6 ° ) x = 82°

(~ EJERCICIO S PROPUESTOS 1 |

1. En la figura, calcu lar x, si: M es punto medio d e A B. A M B

(12 + 4a)x 12(a + x)^ H

a) 12 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2

2. En una recta se ubican los puntos consecuti vo s A , B , C y D, de m odo q u e: B C = 6 y A C + B D = 2 0. C alcu lar AD.

a) 10 b) 12 c) 14 d) 20 e) 18

3. Del gráfico, calcu lar x, si: (A C )(A B ) = 20

A B M C

• (^) *!

6. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: A B = 17; C D = 23 y AD = 6 B C. C alcu lar B C.

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 9

a) 6 b) 8 c) 9 d) 7 e) 5

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: A C = BD = 8. C a l cular C D , si ad em ás: AD - B C = 10

a) 10 b) 4 c) 5 d) 3 e) 6

Del gráfico, calcu lar BD. A B C D E I I I 1 1 I 3a 1 2a 1 2b 3b 1 70

a) 14 b) 18 c) 16 d) 42 e) 28

Del gráfico, calcular la medida del segmento que une los puntos medios de AD y de B C. A B C D H

a) 4

b) 17 c) 26

d) 13 e) 16

En una recta se ubican los puntos consecutivos A , B, C y D, de modo que: M = = Cjp y (A B )(B C ) = 96. Calcular CD.

a) 16 b) 20 c) 4 d) 12 e) 24

Del gráfico, calcu lar x, si: C D - A B = 15 A B C D

4x

a) 6 b) 5

9x c) 4 d) 2 e) 3

10. En una recta se ubican los puntos c o n se cu tivo s A, B , C y D, de m odo q u e : B C = 6; B D = 2 A B y A C = 5C D. C alcu lar A B. a) 3 b) 4 c) 2 d) 6 e) 5
11. En la figura, calcular x, si M e s punto medio de A C y N es punto medio del B C. A B M N C

h

a) 12

x b) 6 c) 9 d) 18 e) 3

12. En una recta se tienen los puntos consecuti vos A, B , C y D de modo que: A C = 5; BD = 4 y — ------^ - L^ = ^ ; calcular B C. C D A B 2

a) 1,5 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

13. En una recta se tienen los puntos consecuti vos A, B, C y D, de modo que: 2AB = 3BC = 4CD y AD = 52: calcu lar BD. a) 36 b) 24 c) 28 d) 42 e) 39
14. En una recta se tienen los puntos consecuti vo s A, B , C , D, E y F, si: A C BD C E D F B C C D " D E E F

14, calcular:

p _ A B B C C D D E B C ^ C D D E + E F

1 4 ¡ C o lec c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 14 b) 18 c) 16 d) 12 e) 7

15. En una recta se tienen los puntos consecuti vos A, B, C y D. C alcu lar A C , si: (A D )(B C ) = 16

Y A B ~ C D = A C

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8

16. Sobre una recta se tienen los puntos co n se cu tivos A, B y C. Luego se ubica e! punto medio M de A B ; si A B = 8 y A C = 22, hallar AM. a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
17. Sobre una recta se tienen los puntos consecuti v o s A, B, C y D de modo que: B C = 5 y AD = 29. Luego se ubican los puntos medios M de A B y N d e C D. Hallar MN. a) 17 b) 15 c) 13 d) 11 e) 19
18. En una recta se tienen los puntos consecutivos A , B y C de m anera que: A B - B C = 12. Luego se ubica el punto medio M de A C. Hallar MB. a) 6 b) 8 c) 3 d) 4 e) 9
19. Sobre una recta se tienen los puntos co n se cu tivos A, B y C , tal que A B = 8; luego se ubican- los puntos medios M de A C y N de B C. Hallar MN.

a) 6 b) 5 c) 2 d) 4 e) 8

20. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D, siendo A C = 7 y BD = 11. Luego se ubican los puntos medios M de A B y N de C D. Hallar MN.

a) 6 b) 8 c) 10 d) 7 e) 9

21. En una recta se ubican a los puntos consecu tivos A, B y C , de modo que: A B - B C = 32: luego se ubican a los puntos medios M de A B , N de B C y S de MÑ. Hallar S B.

a) 16 b) 12 c) 10 d) 6 e) 8

22. Sobre una recta se tienen los puntos consecuti vos A, B. C y D, de modo que: A B = 4 y C D = 6. Luego se ubican los puntos medios M d e A C y N de BD ; hallar MN. a) 3 b) 5 c) 6 d) 4 e) 2
23. S e tienen los puntos colineaies y consecuti vos A, B, C y D, tal que: A B = C D = 5. Hallar A C. si (A D )(B C ) = 144. a) 6 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
24. Dados los puntos colineaies y consecutivos A, B. C y D, de modo que: A B = C D = 3. Hallar AQ s ¡- _1 ______ 1 _ _ J L ’ ' B C AD 20 a) 6 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
25. S e tienen los puntos colineaies y consecutivos A, B, C y D. Si A B = 3C D , B C = 11 y AD = 35, hallar CD. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
26. Sobre una recta se tienen los puntos consecu tivos A, B, C y D. Hallar B C , si: A D = 6 B C , A B = 9 y C D = 16. a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 8
27. Dados los puntos colineaies y consecutivos A, B, C y D, de modo que: 3A B = 5C D. B C = 7 y AD = 39. Hallar C D. a) 10 b) 11 c) 15 d) 12 e) 4
28. Sobre una recta se tienen los puntos consecu tivos P. Q. R y S , tal q u e: ^ ^ ^ ; P S + Q R = 38. Hallar Q R. a) 15 b) 10 c) 20 d) 25 e) 14
29. S e tienen los puntos colineaies y consecutivos A , B. C y D. tal q u e: 2 A B = 3 B C = 4C D y AD = 26. Hailar BD.

1 6 ¡ C o lec c ió n E l P o s t u la n t e

a) 108° b) 36° c) 92° d) 56° e) 74°

11. S e tiene ios ángulos consecutivos PO Q , Q O R y R O S , de tal manera que: m Z P O R = 32° + k y m ZQ O S = 88° - k. Calcular la m Z Q O R , si el ángulo P O S es recto. a) 22° + k b) 30° c) 68° - k d) 40° e) 16° + k /
12. C alcu lar la m Z B O C , si: m Z A O B = 2 m Z C O D y 2 m Z A O B + m Z D O E = 150°

A ) 25° b) 75° c) 60° d) 65° e) 50°

13. Si: L-i // L 2, calcu lar x.

a) 143° b) 127° c) 150° d) 135° e) 165°

14. C alcu lar x, si: L 1 // L2 // L 3 y a - b = 36°

Li

l-

I-

a) 54° b) 72° c) 36° d) 63° e) 52°

15. El doble del complemento de un ángulo au mentado en el triple del suplem ento del doble de dicho ángulo nos da 480°. Hallar, el suple mento dicho ángulo: a) 30° b) 60° c) 120° d) 150° e) 135°
16. La diferencia de las medidas de dos ángulos e s 40° y el triple del suplemento del ángulo doble del primero e s igual al duplo del complemento

del suplemento del ángulo triple del segundo. Calcular la medida de dichos ángulos.

a) 60° y 60° c) 45° y 75° e) 40° y 80°

b) 30° y 90° d) 70° y 50°

S e a n : Z A O B , Z B O C , Z C O D , Z D O E y Z E O F ángulos consecutivos, tales que: m ZA O F = 154° y m ZA O D = m Z B O E = m ZC O F. C alcu lar la m Z B O C , si la medida del ángulo formado por la bisetriz del Z C O D y el rayo O E es igual a 54°. a) 23° d) 36°

b) 28° e) 75°

c) 63°

18. Del gráfico, calcu lar el valor de 9 cuando x toma su mínimo valor entero par. S i: L 1 // L 2. a) 34° ‘ ...^.^ ....^ ' ' < x - 0 ‘ Ll b) 32° (^) X^£> c) 28° d) 29° e) 30° /x » 1* l_

S i: Á B // DO, - y m Z A Q C = m Z D C Q 2 * calcu lar el complemento del Z D C Q.

a) 20° (^) A Z* b) 60° c) 50° d) 70° Q<C e) 80° d - ------

20. S i: L , // L2, calcular x. a) 15° b) 10° c) 12,5° d) 22° e) 22°30'
    1. b 5. a 9. d 13. d 17. a
    2. e 6. e 10. c 14. d 18. d
    3. c 7. c 11. b 15. a 19. c
21. e 8. d 12. e 16. e 20. e

TRIANGULOS

E s la figura geom étrica formada ai unir tres puntos no colineaies mediante segm entos.

Elem ento s: V értices: A, B y C Lad os: A B , B C y A C Notación: Triángulo A B C : A A B C

REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL

TRIÁNGULO

►B /

R eg ió n exterior relativa a A B

R eg ió n interior

R eg ió n exterior relativa a B C

A / R eg ió n exterior relativa a A C

ANGULOS DETERMINADOS RESPECTO AL

TRIÁNGULO

Medida de los ángulos internos: a ; P; 0 Medida de los ángulos externos: x: y; z Perím etro de la región triangular A B C (2pAABC)

2Pm b c — a + b + c

Semiperimetro de la región triangular A B C ( P a a b c )

P a a b c -

a + b + c

TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL TRIANGULO

Teorem a 1. En todo triángulo la sum a de las medi d a s de su s ángulos interiores e s igual a 180°. B

a + p + 9 = 180°

Teorem a 2. En todo triángulo la medida de un án gulo exterior es igual a la sum a de las m edidas de dos ángulos interiores no ad yacentes a él. B

X = a + p

Teorema 3. En todo triángulo la sum a de las m e didas de los ángulos exteriores considerando uno por vértice e s igual a 360°. BA,

x + y + z = 360°

Teorema 4. En todo triángulo al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de m ayor medida y viceversa (propiedad de correspondencia).

Teorema 5. En todo triángulo la longitud de un lado es m ayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la sum a de las m ism as (pro piedad de existencia).

En el A A B C , se a: a > b > c

b - c < a < b + c

x = a + p + 0

G eo m e tr ía | 1 9

Si: a = b = c => A A B C : equilátero a = P = 0 = 60°

LINEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIANGULO

1. Ceviana. E s aquel segm ento que une un vér tice con un punto del lado opuesto o de su prolongación. B

En el A A B C :

• D pertenece a A C => BD : ceviana interior relativa a A C
• E pertenece a la prolongación de A C => B E : ceviana exterior relativa a A C

2. Mediana. E s una ceviana que biseca el lado al cual e s relativa.

M es punto medio de A C => BM: m ediana relativa a A C

3. Medlatriz. E s aquella recta perpendicular a un lado que b iseca a dicho lado, B L

En el A A B C : L 1 A C yA M = MC => L: mediatriz de A C

4. Altura. E s una ceviana perpendicular al lado, al cual es relativa, la posición de una altura res pecto al triángulo depende del tipo de triángulo. B

BH 1 A C

= 5 BH : altura relativa a A C

cYlata: ----------------------- ----------------------- ---------------------------- B

A a

A * (^) i a

En el C\ABC = 3 BH : altura relativa a la hipotenusa A C

A

En el A A B C : obtusángulo (y > 90°) A P : altura relativa a BC C Q : altura relativa a A B BH : altura relativa a A C

5. B isectriz. E s aquella ceviana interior o exte rior que biseca a un ángulo interior o exterior, respectivam ente. Bisectriz interior B

2 0 ¡ C o lec c ió n E l P o s t u l a n t e

En el A A B C : A D : bisectriz interior relativa a B C

B isectriz exterior

En el A A B C : B E : bisectriz exterior relativa a Á C

PROPIEDADES DE ÁNGULOS DETERMINADOS

POR BISECTRICES

En el A A B C : A P : bisectriz del ángulo interior. C P : bisectriz del ángulo exterior.

P

X = 2

Ángulo determ inado por las bisectrices de dos ángulos interiores B En el A A B C : Al y Cl : bisectrices de ios ángulos interiores.

-90° + P

Ángulo determinado por las bisectrices de dos ánguios exteriores

En el A A B C : B E y C E : bisectrices de los ángulos exte-

x = 9 0 ° - |

TRIANGULOS CONGRUENTES

Son dos triángulos cuyos ángulos son, respectiva mente, de igual medida y ad em ás su s lados co rrespondientes de iguai longitud (ángulos y lados homólogos) A A B C s A A 'B 'C ' „ B X vB'x

m Z B A C = m ZB 'A 'C ' =» A B = A ’B ’ m Z A B C = m Z A ’B 'C 1 => B C = B'C' m Z A C B = m ZA 'C 'B' => C A = C'A'

CASOS DE CONGRUENCIA

P a ra poder afirmar que dos triángulos son con gruentes, es necesario que tres elem entos en uno de ellos sean de igual media que los otros elem en tos correspondientes en el otro triángulo, de los cu ales por lo m enos uno, e s un lado.

C a so : Lado - Ángulo - L ad o (LA L). Dos triángu los son congruentes, si tienen un ángulo interior de igual medida y adem ás los lados que determinan a dicho ángulo, respectivam ente, de igual longitud.

C a so : Ángulo - Lado - Ángulo (ALA). Dos trián gulos son congruentes, si tienen un lado de igual longitud y adem ás ios ángulos ad yacentes a di chos lados, respectivam ente, de igual medida.

Ángulo determinado por las bisectrices de un ángulo interior y un ángulo exterior.

=* A A B C s A A 'B 'C '

S i: m Z B A C A B = A'B' A C = A 'C

= m ZB 'A 'C '

2 2 ¡ C o le c ció n E l P o stu la n te

ín notable de 15° y 75°

a(-Í6 -

TRIANGULOS RECTANGULOS NOTABLES APROXI

MADOS

t\ notable de 37° y 53° tx notable de 53 7 2 = 2 6 °30’

notable de 37 7 2 = 18°30'

t\ notable de 16° y 74°

2 4 k

fck notable de 8° y 82°

82^ \5kV 2~

A B C D es un cuadrado: A B = B C = C D = A D = a El A A E D e s equilátero: A E = ED = A D = a m Z E A D = m Z A E D = m Z A D E = 60° El A A B E es isó sceles: 30° + 2 m Z A E B = 180° =» m Z A E B = 75° En el punto E : 75° + 60° + x = 180° x = 45°

En un triángulo A B C , A B = 5; B C = 9, m Z A = 2 m Z C , se traza la bisectriz interior BD. C alcu lar AD.

R eso lu ció n :

Sobre la prolongación de C A c o n s t ru im o s el triángulo isó sce les A E B , con A E = A B = 5 El A E B C e s isó sce les: E B = B C = 9 Analizando ángulos se deduce que el A E B D e s isó sce les: ED = E B 5 + x = 9 x = 4 C alcu lar x.

EJERC IC IO S RESUELTOS

En el interior de un cuadrado A B C D se co ns truye el triángulo equilátero A E D , la prolon gación de B E corta el lado C D en el punto F. Hallar la medida del ángulo D EF,

R es o lu c ió n :

Usando el teorema adicional 1. En el A A B C D : 45 = 3x + 4 + x ... (1)

R eso lu ció n :

B

G eo m e tr ía | 2 3

En el />E B C D : 35 = 24° + 3<|> + x ... (2) De (1) y (2): x = 12°

En un triángulo A B C se traza su m ediana AM, por el punto medio F de AM se traza una recta paralela al lado A C que corta al lado A B en D y al lado B C en E. Hallar F E. si D F = 3.

R eso lu c ió n :

B

Trazam o s M N / / A C / / D E

En el AA N M , D F e s su base media:

D F = 3 = — => NM = 6 2

En el A A B C , MN e s su base media:

NM = 6 = ~ ^ A C = 12

En el A A M C , F E es su base media:

F E = ^ x = — x = 6

Los lados de un triángulo A B C miden A B = 10, B C = 14, A C = 16, se trazan BQ y B P per pendiculares a las bisectrices interiores de los ángulos A y C. Encontrar PQ

R eso lu c ió n :

B

• 1 6 1

Prolongam os B P y BQ El A A B E es isósceles: A B = A E = 10; BQ = Q E El A D B C e s isósceles: B C = CD = 14: B P = PD

En el A D B E , PQ es su base media:

PQ = 5 £ P Q = 4

El A A B D e s isó sce les: m / A = m ZA B D = a El A B E C e s isó sce les: m Z C = m Z C B E = <|> En el vértice B: 3x + a + = 180° ... (1) En el A A B C : 2x = a + c|> ... (2) De (1) y (2): x = 36°

7. En un triángulo A B C , las bisectrices interiores de los ángulos A y C se cortan en el punto F. E n contrar la medida del ángulo B, sabiendo que: m Z A F C + m Z A B C = 165°.

U sam os la propiedad de bisectriz interior m Z A F C = 90° + ^ 2 Del dato: m Z A F C + m Z A B C = 165° 90° + — + x = 165° x = 50° 2

8. En un triángulo A B C , la mediana BD y la ceviana interior A E se cortan en F. E n c o n tra r F E , si A F = 12, E C = 2 B E

R eso lu ció n :

B

C alcu lar x, si: AD = B D , B E = E C

R e so lu c ió n :

R eso lu ció n :

G e o m e t r ía | 2 5

1. b OIO (^) 9. c 13. b 17.^ c
2. c (^) 6. e 10. e 14. d 18. d
3. e 7. b 11. e 15. e 19. e
4. a 8. d 12.^ a^ 16.^ a^ 20.^ d
5. En la figura, calcu lar x.
6. En la figura, calcu lar x.
7. En la figura, calcu lar el máximo valor entero que puede tomar x.
8. En la figura, calcular: x + y
9. En la figura, calcu lar x, si: A C = BD B
10. En la figura, calcu lar x, si H e s ortocentro del triángulo A B C.
11. En la figura, calcu lar x, si H e s ortocentro del triángulo A B C.

a) 70 b) 80° c) 75° d) 90° e) 120°

a ) 120° b) 180° c) 60° d) 90° e) 45°

18. En la figura,
19. En la figura, A A B C.

2 0. En la figura, calcu lar x, si: I es incentro de! triángulo A B C.

[ " e j e r c i c i o s PROPUESTOS 2~

En la figura, calcular el valor de x.

E n un triángulo A B C se_traza la cevlana BD que biseca a la m ediana A E en el punto P, cal cular PD , si BD = 8.

calcular x.

D

calcu lar x, si: G e s baricentro del

2 6 | C o lec c ió n E l P o s t u la n t e

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

En la figura, calcu lar el valor de x. a ) 7 b) 6 c) 4 d) 5 e) 3

calcu lar el valor de «. / / i

calcu lar el valor de x.

4. En la figura,

a) 17° b) 15° c) 21° d) 13° , e) 12°

5. En la figura,

a) 12° b) 15° c) 20° d) 18° e) 10°

6. En la figura,

a) 50° b) 30° c) 20° d) 40° e) 70°

7. En la figura, calcu lar el valor de x.

a) 21° b) 32° c) 42° d) 36° e) 40°

calcu lar el valor de x. A* \ D

En la figura, a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

En la figura, a) 37° b) 53° c) 30° d) 60° e) 45°

calcu lar el valor de x.

calcu lar el valor de x.

a +b

10. En figura, calcular el valor de x. a) 40° b) 30° c) 50° d) 10° , e) 20°
11. En la figura, calcu lar Q C , si NP = 6. B

a) 6 d) 7 e) 5

c) 9

12. En la figura, calcu lar el valor de x. a) 15° b) 30° c) 18° d ) 1 0 ° z x / i- i e) 12°
13. En la figura, calcular ei valor de x. a) 30° / 0 \ 3 b) 45° c) 37° d) 60° e) 53°
14. En la figura, calcu lar el valor de x.

a) 60° d) 37°

b) 15° e) 47°

c) 45°

15. En la figura, calcular el valor de x.

a) 15° d) 16°

b) 25° e) 30°

c ) 2 0 °