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Tema 5. C´onicas.
Introducci´on.
Ejemplos.- El cono C = {(x, y, z) ∈ R^3 /x^2 + y^2 = z^2 }
est´a formado por las rectas vectoriales
0 ∨ (x 1 , x 2 , 1) ≡ [x 1 , x 2 , 1] ∈ RP 2
con (x 1 , x 2 , 1) ∈ C ∩ Π 1 = C 1 ,
circunferencia unidad en el plano Π 1 ≡ z = 1, ya que ∀(x, y, z) ∈ C − { 0 }, se tiene
(x, y, z) = z(x 1 , x 2 , 1) con x^21 + x^22 =
x^2 + y^2 z^2
Asi, para las identificaciones habituales, (punto proyectivo ≡ recta vectorial ≡ punto de un plano af´ın ampliado),
RP 2 ≡
R^3 − { 0 }
≡ Π 1 ∪ [Π 0 ]
con Π 0 ≡ z = 0, se deduce que
[C] ≡ C 1 = {(x, y, 1) ∈ R^3 /x^2 + y^2 = 1}.
Cortando el cono con otros planos afines se obtienen otras secciones c´onicas:
- Para Π′ 0 ≡ z = cy, c ∈ R, se tiene Π′ 0 ∩ C ≡ x^2 + y^2 = c^2 y^2 , esto es,
(a) dos rectas r± ≡ x = ±
c^2 − 1 y, si c^2 > 1 , (b) una recta r 0 ≡ x = 0, si c^2 = 1, o bien (c) el origen si c^2 < 1,
que son secciones degeneradas, (obtenidas con planos vectoriales).
- Para Π′^ ≡ z = cy + 1 paralelo a Π′ 0 , se tiene que Π′^ ∩ C es
(a) una hip´erbola, si c^2 > 1 , (b) una par´abola, si c^2 = 1, o bien (c) una elipse, si c^2 < 1,
son c´onicas no degeneradas, que se identifican con el cociente del cono, a˜nadiendo los puntos de la recta del infinito, r′∞ = [Π′ 0 ], esto es, [C] ≡ H ∪ [r+, r−] ≡ P ∪ [r 0 ] ≡ E ≡ C 1.
Ejercicio.- Estudiar las c´onicas {(x, y) ∈ R^2 /x^2 + y^2 = (cy + 1)^2 }, para algunos valores de c ∈ R.
- Hip´erbola con c =
x^2 + y^2 = (
2 y + 1)^2 = 2y^2 + 2
2 y + 1 da x^2 = y^2 + 2
2 y + 1 = (y +
2)^2 − 1
sii y = ±
x^2 − 1 −
2 , ∀x ∈ R. Salvo la traslaci´on queda
Teorema.- Toda c´onica CA ⊂ RP 2 es proyectivamente equivalente a CD con
D =
λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3
, (valores propios de A).
Demostraci´on.- Las matrices sim´etricas siempre son diagonalizables, mediante una matriz ortogonal P, esto es, Pt^ = P−^1 y PtAP = D.
Entonces [Y ] ∈ CD ⇐⇒ 0 = Y tDY = Y tPtAPY ⇐⇒ [PY ] ∈ CA.
Por tanto, f(CD ) = CA, para la proyectividad f([Y ]) = [PY ].
Consecuencia.- CA ∼ CD ∼ CD′
cambiando los valores propios por λ′ i ∈ {+1, − 1 , 0 }, con el mismo signo que λi, i = 1, 2 , 3.
(Se usa que QtD′Q = D, para Q matriz diagonal con
√ |λi| en lugar de λi 6 = 0 y 1 si λi = 0)
Con estos resultados se obtiene la siguiente
Clasificaci´on proyectiva.
- C´onicas propias, (rango(A) = 3).
Si det(A) 6 = 0, entonces los signos de los valores propios de A son ±(+, +, +) ´o ±(+, +, −), salvo el orden, y CA es proyectivamente equivalente a
(a) una c´onica propia imaginaria ≡ x^2 + y^2 + z^2 = 0, ´o (b) una c´onica propia real ≡ x^2 + y^2 − z^2 = 0.
En R^3 se ve el origen o un cono.
- C´onicas impropias, (rango(A) < 3).
Para det(A) = 0 se tiene ±(+, +, 0), ±(+, −, 0) ´o ±(+, 0 , 0), y CA es
(a) un par de rectas proyectivas imaginarias ≡ x^2 + y^2 = 0,
(b) un par de rectas proyectivas reales ≡ x^2 − y^2 = 0, ´o (c) una recta proyectiva real ≡ x^2 = 0.
En R^3 se ve la recta {(0, 0 , z)/z ∈ R}, los planos {(x, ±x, z)/x, z ∈ R} ´o el plano {(0, y, z)/y, z ∈ R}.
Consecuencia.- Una recta proyectiva y una c´onica propia real son disjuntas, tangentes en un punto o secantes en dos puntos.
(f(CA ∩ r) est´a dada por x^2 + y^2 = z^2 , ax + by + cz = 0)
Ejercicio.- Clasificar proyectivamente las c´onicas
ax^2 + 2xy − 2 xz + 4yz = 0, a ∈ R.
Esto es, CA con
A =
a 1 − 1 1 0 2 − 1 2 0
.
Comprobar que la recta rX = {[Y ] ∈ RP 2 /XtAY = 0}
es tangente a CA en [X] = [0, 0 , 1], si a 6 = −1.
Definici´on.- Un punto [X] ∈ RP 2 es regular para una c´onica proyectiva CA si
XtA ∈ R^3 − { 0 }.
En tal caso, la recta polar de X respecto de CA es
rX = {[Y ] ∈ RP 2 /XtAY = 0}
y se dice que X es el polo de rX respecto de CA. (Escribimos X en lugar de [X]).
*) Por definici´on, rX = [Π 0 ], con Π 0 plano vectorial de R^3 ortogonal a XtA.
*) Como A es sim´etrica, se tiene que
Y ∈ rX ⇐⇒ X ∈ rY.
Pero X ∈ rX ⇐⇒ X ∈ CA.
- Si X∞ ∈/ r∞, entonces X∞ = [a, b, 1] y salvo la traslaci´on
1 0 −a 0 1 −b 0 0 1
a b 1
=
,
se puede considerar X∞ = [0, 0 , 1] y rX∞ = r∞ = [Π 0 ] = [z = 0]; que est´a dada por
0 = (0, 0 , 1)AX = a 13 x + a 23 y + a 33 z ⇐⇒ a 13 = 0 = a 23 y a 33 6 = 0.
Como CA = CλA, ∀λ ∈ R − { 0 }, podemos tomar a 33 = −1. Asi, el corte de CA con Π 1 ≡ RP 2 − r∞ verifica
(x, y, 1)
a 11 a 12 0 a 12 a 22 0 0 0 − 1
x y 1
= 0 ⇐⇒ (x, y)
( a 11 a 12 a 12 a 22
) ( x y
) = 1,
con det(A) = a 12 a 12 − a 11 a 22 6 = 0. Diagonalizando, existe P ∈ O(2, R) tal que
Pt
( a 11 a 12 a 12 a 22
) P =
( λ 1 0 0 λ 2
)
y el isomorfismo f : R^2 −→ R^2 dado por
f
( x 1 x 2
) = P
( x 1 x 2
)
( x y
)
aplica CD = {(x 1 , x 2 ) ∈ R^2 /λ 1 x^21 + λ 2 x^22 = 1} en [CA] ≡ CA ∩ Π 1 , considerando R^2 ≡ Π 1. Por tanto, f−^1 ([CA]) es
(a) una elipse si λ 1 , λ 2 > 0, ´o (b) una hip´erbola si λ 1 > 0 y λ 2 < 0.
Se ve que X∞ ≡ (0, 0) es el centro de estas c´onicas.
- Si X∞ ∈ r∞, entonces, (salvo un giro de eje z), X∞ = [0, 1 , 0] y r∞ = [Π 0 ] = [z = 0], est´a dada por
0 = (0, 1 , 0)AX = a 12 x + a 22 y + a 23 z ⇐⇒ a 12 = 0 = a 22 y a 23 6 = 0.
En este caso nos queda
(x, y, 1)
a 11 0 a 13 0 0 1 a 13 1 a 33
x y 1
= 0 ⇐⇒ a 11 x^2 + 2a 13 x^ + 2y^ +^ a 33 = 0,
con det(A) = −a 11 6 = 0. Esto es, la par´abola − 2 y = a 11
( x +
a 13 a 11
) 2
a^213 a 11
Ahora, X∞ ≡ (0, 1) es la direcci´on del eje de simetr´ıa.
Asi, hemos demostrado el siguiente
Teorema de clasificaci´on.- Salvo un movimiento r´ıgido, las c´onicas propias reales dan
- una elipse, x
2 a^2 +^
y^2 b^2 = 1,
- una hip´erbola, x a^22 − y
2 b^2 = 1, o
- una par´abola, y = cx^2 , con a, b, c ∈ R − { 0 }.
*) Cualquier propiedad m´etrica que tengan estos modelos, como la existencia de focos y rectas directrices, se verifica para todas las c´onicas que representan.
Corolario.- Toda c´onica propia real CA es afinmente equivalente a
- x^2 + y^2 = 1, si r∞ es disjunta a CA,
- x^2 − y^2 = 1, si r∞ es secante a CA, o
- y = x^2 , si r∞ es tangente a CA.
(Para ver r∞ ∩ CA, se cambia (x, y) por
( (^) x 1 x 3 ,^
x 2 x 3
) y se corta con x 3 = 0).
Problemas.- Para a ∈ R, estudiar la c´onica
ax^2 + y^2 + 2xy + 2x − 2 y + 1 = 0.
- Clasificaci´on de su c´onica proyectiva asociada.
- Clasificaci´on af´ın, (posici´on relativa de CA y r∞).
- As´ıntotas de la hip´erbola con a = 0, (tangentes en los puntos del infinito).
- Calcular el polo de la recta del infinito para la elipse con a = 2, (da su centro).
*) Las c´onicas XtAiX = 0, i = 1, 2, son las rectas proyectivas que unen los puntos. Se comprueba que
CA 1 = [e 2 ] ∨ [e 3 ] ∪ [e 1 ] ∨ U y CA 2 = [e 1 ] ∨ [e 3 ] ∪ [e 2 ] ∨ U.
Ejercicio.- Encontrar la c´onica que pasa por [1, 0 , 0], [0, 1 , 0], [1, 1 , 1], [1, − 1 , 2] y [1, 2 , 3]. (Bus- car un haz con los cuatro primeros e imponer que pase por el quinto).
Ejercicio. (Otros haces de c´onicas).
- Sean P 1 , P 2 , P 3 , P 4 puntos de RP 2 no alineados 3 a 3. Probar que las c´onicas que pasan por P 1 , P 2 , con tangentes r 1 = P 1 ∨ P 3 y r 2 = P 2 ∨ P 4 respectivamente, forman el haz generado por el par de rectas r 1 ∪ r 2 y la recta doble P 1 ∨ P 2.
- Probar que las c´onicas que pasan por P 1 , P 2 , P 3 , con tangente r = P 1 ∨ P 4 , forman el haz generado por el par de rectas P 1 ∨ P 2 ∪ P 1 ∨ P 3 y el par de rectas P 2 ∨ P 3 ∪ r.
Ejercicio.
- Calcular la ecuaci´on de la hip´erbola de as´ıntotas x + y = 1, y = 2, que pasa por el punto (0, 0).
- Calcular la ecuaci´on de la par´abola que pasa por los puntos (1, 0), (0, 0), (5, 3) y cuyo eje es paralelo a la recta x + y = 1.
(Pasar de R^2 ≡ Π 1 a RP 2 ≡ Π 1 ∪ [Π 0 ] y usar los haces anteriores, considerando que las as´ıntotas son tangentes en puntos de [Π 0 ]) y que X∞ es la direcci´on del eje).
Teoremas cl´asicos.
Teorema de Pascal.- Si un hex´agono est´a inscrito en una c´onica propia, entonces los lados opuestos se cortan en tres puntos alineados.
Demostraci´on.- Salvo una proyectividad, se tiene
Xi = [1, 0 , 0], [0, 1 , 0], [0, 0 , 1], [1, 1 , 1], [a, b, 1], [c, d, 1], i = 1, ..., 6 ,
con (a − b)cd + (b − ab)c + (ab − a)d = 0 ⇐⇒ X 6 ∈ CA
c´onica determinada por X 1 , ..., X 5. Entonces, los puntos de intersecci´on de los lados opuestos est´an dados por
(λ, μ, 0) = α(1, 1 , 1) + β(a, b, 1) ⇒ [λ, μ, 0] = [a − 1 , b − 1 , 0],
(0, λ, μ) = α(a, b, 1) + β(c, d, 1) ⇒ [0, λ, μ] = [0, ad − cb, a − c], (μ, μ, μ + λ) = α(c, d, 1) + β(1, 0 , 0) ⇒ [μ, μ, μ + λ] = [d, d, 1]
y se comprueba que est´an alineados, (el determinante es cero si y solo si el hex´agono est´a inscrito en CA).
*)Se deduce que el rec´ıproco es cierto.
*)Para obtener una versi´on dual se usa la biyecci´on
ψ : RP 2 −→ RP 2 ∗, ψ(X) = rX ,
recta polar respecto de CA. Asi, un hex´agono X 1 , ..., X 6 inscrito en CA se convierte en un hex´agono rX 1 , ..., rX 6 circunscrito a CA, con v´ertices
Y 1 = rX 1 ∩ rX 2 , ..., Y 6 = rX 6 ∩ rX 1 ⇐⇒ X 1 ∨ X 2 = rY 1 , ..., X 6 ∨ X 1 = rY 6
Ahora, los lados del tri´angulo son
re 1 ≡ y + z = 0, re 2 ≡ x + z = 0, re 3 ≡ x + y = 0,
y los v´ertices A 12 = [− 1 , − 1 , 1], A 13 = [− 1 , 1 , −1], A 23 = [1, − 1 , −1].
Entonces A 12 ∨ [e 3 ] ≡ x = y, A 13 ∨ [e 2 ] ≡ x = z, A 23 ∨ [e 1 ] ≡ y = z,
se cortan en [1, 1 , 1].
*) La versi´on af´ın se prob´o con el Teorema de Ceva.
Ejercicio.- Obtener la versi´on dual.
