Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: algebra lineal, Profesor: , Carrera: Matemàtiques + Enginyeria Informàtica, Universidad: UB
Tipo: Apuntes
1 / 32
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
§ Espacios afines y proyectivos § Coordenadas homog´eneas § Determinaci´on de subespacios por sus ecuaciones § El espacio af´ın dentro del proyectivo § Principio de dualidad § Ejercicios
Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva
de los subespacios afines, las cuales quedan por completo resueltas sin m´as que discutir sistemas lineales de ecuaciones. Recu´erdese que el conjunto de solu- ciones de un sistema de ecuaciones lineales puede construirse a partir de una soluci´on particular a la que se le suman todas las soluciones del homog´eneo asociado. Como se vio en la secci´on anterior, las soluciones de un sistema homog´eneo constituyen un subespacio vectorial. As´ı, los subespacios afines no son sino los conjuntos de soluciones de los sistemas lineales generales. Por ejemplo, en el espacio af´ın R^3 , la recta af´ın
r ≡
{ (^) x − y + z = 1 2 x − y + z = 3
dada como intersecci´on de dos planos afines, es la trasladada de la recta vectorial S =< (0, 1 , 1) > por la traslaci´on τ(2, 1 ,0). En efecto, apl´ıquese el m´etodo de Gauss. Multiplicando la primera ecuaci´on por −2 y sum´andola a la segunda y haciendo z = λ, se obtiene
r = {(2, 1 , 0) + (0, λ, λ) : λ ∈ R}.
Por un lado, S = {(0, λ, λ) : λ ∈ R}, es el conjunto de soluciones del ho- mog´eneo asociado (una recta vectorial), y (2, 1 , 0) una soluci´on particular del no homog´eneo. M´as adelante se ver´a a los espacios afines como parte de los espacios proyectivos, lo que resultar´a de un gran ahorro a la hora de desarrollar la teor´ıa. Por eso, sin m´as dilaci´on, se pasa a introducir el espacio proyectivo. Definici´on I.3.2 Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n+1 sobre K, con n un entero mayor o igual que −1. Al conjunto P(V ) de los subespacios de V de dimensi´on 1 se le denomina espacio proyectivo asociado a V. Se dir´a de P(V ) que tiene dimensi´on n. A los espacios proyectivos de dimensi´on 0 se les denominar´a puntos, a los de dimensi´on 1, rectas y a los de dimensi´on 2, planos. En el caso particular de coincidir V con el K-espacio vectorial Kn+1, se utilizar´a la expresi´on Pn(K) a la hora de aludir al espacio P(V ).
A. Castell´on Antes de proseguir, interesa realizar varias observaciones. En primer lu- gar, n´otese que, con los t´erminos establecidos, un espacio proyectivo consiste en el conjunto de sus puntos. Nada m´as l´ogico. Qu´e rid´ıculo si no hubiese sucedido as´ı. Por otro lado un espacio proyectivo de dimensi´on −1 no posee puntos pues su vectorial asociado se reduce al espacio nulo { 0 } que no con- tiene subespacios unidimensionales. De modo equivalente, dim P(V ) = − 1 si y solo si P(V ) = ∅. Por ´ultimo, si S es un subespacio vectorial de V , entonces el propio S es un espacio vectorial y tiene, por consiguiente un pro- yectivo asociado P(S) que est´a sumergido en P(V ). (Cada subespacio de dimensi´on 1 de P(S) es tambi´en un subespacio unidimensional de P(V ).) A tales subconjuntos de P(V ) se les llamar´a subespacios proyectivos de P(V ). Un subespacio P(H) ser´a un hiperplano de P(V ) si H es un hiperplano de V.
De lo anterior se deduce que mucho de lo dicho para subespacios vecto- riales funciona igual para subespacios proyectivos. En particular, los subespa- cios de un espacio proyectivo constituyen un ret´ıculo en el que P(S) ∩ P(T ) = P(S ∩ T ) y P(S) + P(T ) = P(S + T ). Y tambi´en se trasladan las ecuacio- nes que los caracterizan, aunque, como se ver´a m´as abajo, hay que andarse con cuidado con el n´umero de ecuaciones y par´ametros. Por ejemplo, un subespacio k-dimensional P(S) de un espacio proyectivo P(V ) de dimensi´on n, proviene de un subespacio (k + 1)-dimensional del espacio vectorial V de dimensi´on n + 1. Entonces aparecer´an k + 1 par´ametros en las ecuaciones param´etricas. Sin embargo, seguir´a descrito por n − k = (n + 1) − (k + 1) ecuaciones cartesianas independientes.
La definici´on de espacio proyectivo parece un tanto antojadiza. ¿Por qu´e no quedarse con los espacios vectoriales o afines? ¿Y a cuento de qu´e eso de restarle 1 a la dimensi´on de un vectorial para indicar la del proyectivo asociado? Todo esto proviene del origen de la geometr´ıa proyectiva. El ma- tem´atico marsell´es Desargues quiso dar un fundamento s´olido a los desvar´ıos matem´aticos con el que comenzaron a tratar la perspectiva los pintores del
A. Castell´on
Todo esto ser´a fundamentado m´as adelante con m´as rigor. Por ahora, baste con conocer que la intenci´on de Desarges pasaba porque dos rectas distintas del plano se cortasen en un punto, y dos planos distintos del espacio, en una recta. Se analizar´a ahora si este capricho, que cada par de rectas distintas de un plano proyectivo se corten en un punto o, con mayor generalidad, que cada par de hiperplanos de un espacio proyectivo se intersequen seg´un uno de sus hiperplanos, se ha visto cumplido. Para ello, p´artase de dos subespacios P(S) y P(T ) de un espacio proyectivo P(V ) finito-dimensional. Se tiene
dim(P(S) + P(T )) = dim P(S + T ) = dim(S + T ) − 1 = dim S + dim T − dim(S ∩ T ) − 1 = (dim S − 1) + (dim T − 1) − (dim(S ∩ T ) − 1) = dim P(S) + dim P(T ) − dim(P(S) ∩ P(T ))
y se consigue la validez de la f´ormula de Grassmann en espacios proyectivos. Una aplicaci´on directa de dicha expresi´on probar´a que se han alcanzado los objetivos previstos: cada par de rectas distintas de un plano proyectivo se cortan en un punto y cada pareja de hiperplanos de un espacio proyectivo se intersecan seg´un uno de sus hiperplanos. En efecto. Si P(S) y P(T ) son hiperplanos distintos del espacio proyectivo P(V ) de dimensi´on n sobre K, hay entonces alg´un vector v en S que no est´a en T. De aqu´ı que S + T se agrande hasta ocupar todo V sin m´as que completar {v} a una base del total por medio de a˜nadirle una base de T. As´ı, la expresi´on
dim P(V ) = dim P(S + T ) = dim(P(S) + P(T )) = dim P(S) + dim P(T ) − dim(P(S) ∩ P(T )),
queda sustituida por
n = (n − 1) + (n − 1) − dim(P(S) ∩ P(T )),
o, equivalentemente,
dim(P(S) ∩ P(T )) = n − 2 ,
Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva
y P(S) ∩ P(T ) es hiperplano tanto de P(S) como de P(T ). Antes de proseguir, ha de observarse que, aunque los puntos de un plano proyectivo P(V ) puedan sumarse, no se admite a esta suma como una ope- raci´on en P(V ). Sean A =< a > y B =< b > dos puntos. Seg´un las definiciones establecidas, A + B coincide con el subespacio < a, b > de V en- gendrado por a y b. Este subespacio ser´ıa una recta, que se denotar´a por AB, si se diera la independencia lineal de a y b, pero, de lo contrario, se reducir´ıa a un punto. As´ı, la suma de puntos no siempre da como resultado un punto. Donde funciona esta adici´on como ley de composici´on interna es en el ret´ıculo de subespacios de P(V ) y no en el propio P(V ). Se advierte que en alguna literatura esto produce confusi´on. Se acabar´a la secci´on dando unos cuantos de ejemplos de espacios pro- yectivos asociados a espacios vectoriales y algunas interpretaciones gr´aficas de los mismos. Los espacios proyectivos de dimensiones muy bajas se describen con enorme facilidad. En dimensi´on −1 no hay m´as espacio proyectivo que el vac´ıo, el asociado al espacio vectorial nulo. Los de dimensi´on cero se reducen a puntos. Aunque parezcan una ridiculez de espacios, merece la pena conside- rarlos como tales por uniformidad en el trato a los subespacios de dimensiones m´as altas. Los espacios proyectivos comienzan a adquirir entidad a partir de la dimensi´on 1, esto es, las rectas proyectivas. Continuando por la recta proyectiva real P 1 (R), se dar´a de ella un mo- delo gr´afico. Hablando con rigor, la recta proyectiva se compone de rectas vectoriales del plano R^2 , o sea, el haz de rectas que atraviesan el origen de coordenadas. Puesto que resulta un tanto chocante visualizar una recta (proyectiva) como una gavilla de rectas (vectoriales), se idear´a un procedimiento para elegir de cada una de las rectas del haz un puntito que sirva de representante y facilite la concepci´on de una imagen mental. A tal fin, consid´erese la recta r de ecuaci´on x = 1 y esc´ojase de cada recta s del plano vectorial el punto
Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva
¿Queda ahora claro d´onde acomodar, aunque sea en el universo virtual de las ideas, al dichoso punto P∞? Por supuesto: al final de ambas puntas de la recta r y “cerr´andola”. Este “cierre” debe entenderse con el siguiente s´ımil cinem´atico. Sit´uese el lector en el lugar (1, 0), y clave en tal emplazamiento una baliza se˜nalizadora. Imag´ınese ahora que camina en direcci´on hacia arriba y siguiendo a r como ruta. Un od´ometro de infinitos d´ıgitos le mostrar´a su posici´on, en realidad, basta con la ordenada. Despu´es de un viaje fatigoso de infinitos kil´ometros, una singladura, por otro lado, que la matem´atica-ficci´on hace posible, llegar´a al punto P∞. En el instante en que lo supere, leer´a en el contador el mensaje ??? de error de las pantallitas de cristal l´ıquido de las calculadores cuando se les propone una operaci´on imposible. Justo al adelantar a P∞, el od´ometro exhibe de inmediato una cantidad compuesta por much´ısimas cifras, pero negativa. Conforme prosigua el itinerario, este n´umero crecer´a hasta 0, momento en el cual deber´ıa reconocer la baliza que dej´o al partir. Se ha regresado al inicio de la singladura tras recorrer todo un mundo uni-dimensional.
Este modelo, a pesar de lo intuitivo de su concepci´on, cuenta con el in- conveniente de obliga al ge´ometra a tragar con un punto que, en apariencia, se sale de lo com´un: el od´ometro se volvi´o loco al pasar por encima de P∞. M´as adelante se aclarar´a c´omo se subsana el fastidio del punto P∞ con la
A. Castell´on
introducci´on de las coordenadas homog´eneas. Sin embargo, se est´a en con- diciones de plasmar otra estampa de la recta proyectiva real en la que no existen discriminaciones entre sus puntos. Para ello, consid´erese la circunfe- rencia unidad S^1 del plano real, que no es m´as que el conjunto de los puntos (x, y) de R^2 que satisfacen la ecuaci´on x^2 +y^2 = 1. Ahora cada recta vectorial del plano R^2 (punto de la recta proyectiva real) interseca a S^1 en una pareja de puntos sim´etricos respecto al centro. Muy bien, pi´ensese entonces en la recta proyectiva real como una circunferencia en la cual sus puntos consisten en una pareja de puntos ant´ıpodas. En concreto, se ha conseguido una bi- yecci´on entre P 1 (R) y el conjunto cociente S^1 / ∼=, donde ∼= es la relaci´on de equivalencia dada por (a, b) ∼= (a′, b′) si y solo si a = −a′^ y b = −b′.
Insistiendo en una simplificaci´on: ¿para qu´e usar la circunferencia com- pleta y operar con puntos “repetidos” que proliferan por duplicado? Para eso, mejor quedarse con el conjunto M = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 = 1, x ≥ 0 }, que representa a la semicircunferencia derecha. En M basta con identificar a (0, 1) con (0, −1), la ´unica pareja de puntos ant´ıpodas que ha sobrevivido a la reducci´on, para obtener un prototipo de la recta proyectiva real. Obs´ervese que la aplicaci´on (x, y) 7 → (1, tan( yx )), si x 6 = 0, y lleva la clase de (0, 1) al punto P∞ transforma este esquema de P 1 (R) en el anterior. S´olo se ha cam-
A. Castell´on
tivo real. Como antes, los puntos de P 2 (R) quedan descritos por las rectas vectoriales de R^3 , mientras que las rectas de P 2 (R) est´an formadas por los planos vectoriales. Obrando por analog´ıa con la dimensi´on 1, esc´ojase un plano af´ın de R^3 que no pase por el origen. Sea ´este el plano π de ecuaci´on x = 1 (figura I.3.4). Cada recta vectorial de R^3 , corta a π en exactamente un punto. ¿Todas? ¡No! Un plano poblado por irreductibles rectas se resiste a cortar a π y sin necesidad de poci´on m´agica alguna, el plano de ecuaci´on x = 0 que se denotar´a por π∞. Adem´as, cualquier plano vectorial distinto de π∞ tiene una recta af´ın en com´un con π.
Nada m´as natural que tomar un punto de π como representante de cada recta vectorial y a˜nadir a π un punto por cada recta contenida en π∞. Estos puntos se agregan a las rectas que resulten del corte con π de aquellos planos que contengan a r. Dicho en otros t´erminos, si r ⊂ π∞ y π′^ es un plano vectorial que contiene a r, entonces se adiciona a π un punto que se denotar´a, por ejemplo, por Pr , y a la recta af´ın π ∩ π′^ se le adhiere el punto Pr en un proceso similar al descrito para la construcci´on de la recta proyectiva real. Estos puntos con los que se va ampliando π y sus rectas afines conviene imagin´arselos en los extremos de esas rectas y cerr´andolas. Por otro lado, si r 1 y r 2 son rectas afines paralelas contenidas en el plano π, cada una de ellas resulta de la intersecci´on con π de sendos planos vectoriales π 1 y π 2. La recta 2 = π 1 ∩ π 2 est´a contenida en π∞. As´ı, al engrosar r 1 y r 2 con Ps, acaban cort´andose.
Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva
Por ´ultimo, consid´erese a todos los puntos con que se ha ensanchado a π como pertenecientes a una misma recta, a la que se denotar´a por r∞, la cual, posee exactamente un punto en com´un con todas las anteriores. En definitiva, es posible forjarse la imagen del plano proyectivo real a partir de la del plano af´ın ordinario, salvo que, mentalmente, hay que concebir un punto en el infinito por cada direcci´on, y una recta que pasa por todos esos puntos y “rodea” al plano. Este plano es cerrado en el sentido de que viajando en una direcci´on fija se llegar´a al punto del infinito de esa direcci´on, se le sobrepasar´a, y se volver´a al punto de llegada en la direcci´on opuesta a la de partida. En este prototipo de plano proyectivo real sucede como en algunos juegos de ordenador en los que una nave se pasea por el espacio bidimensional de la pantalla, ya sea matando marcianos o destruyendo meteoritos, pero, al llegar al borde del monitor, reaparece por el punto opuesto con la misma direcci´on y sentido.
Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva
o sea, un esquema del cociente de la circunferencia unidad S^1 bajo la relaci´on de equivalencia P ∼= −P. Los top´ologos prefieren dibujarlo en la forma
para manejar a P 2 (R) como cociente de un producto cartesiano de in- tervalos cerrados. Este canon responde con mayor fidelidad al s´ımil sobre videojuegos de m´as arriba. En conclusi´on: el plano proyectivo real consti- tuye, por las mismas razones que la recta, un espacio topol´ogico compacto y conexo.
§2 Coordenadas homog´eneas En los espacios proyectivos conviene estudiar las posiciones relativas de sus subespacios m´as que la estructura que pudiera obtenerse de la definici´on
A. Castell´on
de operaciones internas entre sus elementos. Recu´erdese que un espacio pro- yectivo est´a constituido por puntos y que, aunque se permite sumarlos con- sider´andolos como subespacios, el resultado no siempre es un punto ya que puede dar una recta. As´ı, esta suma de puntos no representa una operaci´on interna al estilo que lo hac´ıan la suma de vectores de un espacio vectorial. Sin embargo, conceptos como la dependencia y la generaci´on son susceptibles de trasladarse de un espacio vectorial a su proyectivo asociado. Sean P 1 =< v 1 >, P 2 =< v 2 >,... , Pn =< vn > puntos de un espacio proyectivo P(V ) sobre un cuerpo K. Diremos que estos puntos son inde- pendientes si los vectores v 1 , v 2 ,... , vn son linealmente independientes. Cabe preguntarse por la bondad de esta definici´on ya que a cada Pi lo mismo lo engendra el vector vi, que un m´ultiplo escalar no nulo de ´el. Se comprobar´a pues que la independencia lineal de v 1 , v 2 ,... , vn implica la de cualquier con- junto λ 1 v 1 , λ 2 v 2 ,... , λnvn con los λi escalares no nulos. Si se escribe una expresi´on del tipo
μ 1 (λ 1 v 1 ) + μ 2 (λ 2 v 2 ) +... + μn(λnvn) = 0,
se obtendr´a (μ 1 λ 1 )v 1 + (μ 2 λ 2 )v 2 +... + (μnλn)vn = 0,
lo que obliga, dada la independencia de los vi, a que cada producto μiλi sea nulo. Como λi 6 = 0, no queda m´as remedio que μi = 0 para cada i y la independencia de puntos ha sido correctamente introducida. Sea ahora S un conjunto de puntos de P(V ). Al m´as peque˜no subespacio de P(V ) que contenga a S se le denominar´a el subespacio engendrado por S. Es obvio, por ejemplo, que el subespacio engendrado por {P 1 ,... , Pn} coincide con P 1 +... + Pn, entendida esta ´ultima suma como suma de subespacios del ret´ıculo, y si Pi =< vi >, entonces P 1 +... + Pn = P(< v 1 ,... , vn >). De la definiciones anteriores se derivan algunas consecuencias inmediatas:
A. Castell´on
cualquier λ 6 = 0, en cuyo caso, λv = λ ∑ i λivi = ∑ i λ(λivi) = ∑ i(λλi)vi. Por otro lado, del producto cartesiano Kn+1^ de K por s´ı mismo n + 1 veces elim´ınese la (n + 1)-upla 0 = (0, 0 ,... , 0) que est´a llena de ceros. En el conjunto Kn+1^ − { 0 } se introduce la relaci´on (λ 0 ,... , λn) ∼ (μ 0 ,... , μn) si y solo si existe un λ ∈ K − { 0 } tal que λi = λμi para cada i ∈ { 0 ,... , n}, la cual resulta ser de equivalencia. ¿Por qu´e se ha desde˜nado la (n + 1)-upla 0?, porque 0 = 0v 1 +... + 0vn no engendra ning´un punto del proyectivo. Nada m´as natural entonces que definir las coordenadas homog´eneas de P como la clase de equivalencia de la (n + 1)-upla (λ 0 ,... , λn). A la base B de partida se le suele denominar un sistema de coordenadas homog´eneas. El uso de coordenadas homog´eneas da mucho juego en el estudio de la geometr´ıa de un espacio proyectivo y resulta an´alogo al de las coordenadas or- dinarias de los vectores con respecto a una base prefijada. Esta semejanza se entiende en el sentido de que hay una correspondencia biun´ıvoca entre los pun- tos y sus coordenadas homog´eneas que permite el etiquetado de aqu´ellos de manera inequ´ıvoca por medio de la clase de equivalencia de alguna (n+1)-upla no nula de escalares. Solo hay que tener en cuenta que difiere el lugar donde se toman las coordenadas. Si los espacios vectoriales (n + 1)-dimensionales lo hacen en Kn+1, los espacios proyectivos de dimensi´on n se sirven del conjunto cociente (Kn+1^ − { 0 })/ ∼ para la elecci´on de las coordenadas homog´eneas de sus puntos. Como aplicaci´on se resolver´a el siguiente problema: ¿cuantos puntos habr´a en un espacio proyectivo P(V ) de dimensi´on n sobre un cuerpo K de q elementos? Primero cu´entese el n´umero de coordenadas posibles. Si K tiene q elementos, entonces son qn+1^ las (n + 1)-uplas de Kn+1. Al quitarle la (n + 1)-upla 0, quedan qn+1^ − 1. Por ´ultimo, habr´a que dividir por el cardinal de cada clase de equivalencia para saber cu´antas clases distintas hay. Pues bien, como, dada una (n + 1)-upla, los elementos de su clase de equivalencia se obtienen multiplicando la primera por escalares distintos de 0 y de ´estos
Apuntes de geometr´ıa af´ın y proyectiva
hay q − 1, al final habr´a q − 1 elementos en cada clase. El n´umero de puntos del espacio proyectivo es, por consiguiente, qn q+1− 1 − 1. ¿Y si este cociente, por alguna casualidad, diese un n´umero fraccionario? Vaya gracia si, al aplicar la f´ormula, va por ah´ı un matem´atico afirmando que este espacio posee veinti- siete puntos y medio. Imposible. El teorema de Ruffini, s´ı, ´ese teorema con que se tortura a los bachilleres cuando estudian polinomios, permite asegurar que el cociente qn q+1− 1 − 1 es un n´umero entero positivo. Otra curiosidad aparece cuando la expresi´on qn q+1−− 1 1 sigue funcionando para n = −1, o sea, para el espacio vac´ıo de dimensi´on −1 cuya cantidad de puntos asciende a la cifra 0. Regresando al discurso principal, recu´erdese que “sistema de coordena- das homog´eneas” y “base” pueden considerarse t´erminos sin´onimos. Para no complicar la notaci´on, cuando se trate de coordenadas homog´eneas se deno- tar´a del mismo modo a una (n + 1)-upla que a su clase de equivalencia. As´ı, una igualdad como (1, − 1 , 5) = (2, − 2 , 10) no da˜nar´a la vista si se refiere a coordenadas homog´eneas de puntos de un espacio proyectivo. Existe un procedimiento bastante c´omodo y muy frecuente de ofrecer un sistema de coordenadas homog´eneas distinto a este de exhibir una base del vectorial asociado. En concreto, sea P(V ) un espacio proyectivo n- dimensional sobre el cuerpo K. En ´el, esc´ojanse n + 1 puntos independientes P 0 ,... , Pn engendrados por los respectivos vectores v 0 ,... , vn. Ahora t´omese un punto adicional U =< u > con la propiedad de no pertenecer a ninguno de los hiperplanos determinados por n de entre los n + 1 primeros puntos. Esta condici´on obliga a que, si se expresa u como combinaci´on lineal de la base {v 0 ,... , vn} en la forma u = λ 0 v 0 +... + λnvn, a ninguno de los λi le es permitido anularse. Por ejemplo, si λ 0 = 0, entonces U caer´ıa en el hiper- plano P 1 + P 2 +... + Pn. Bajo las circunstancias anteriores, el sistema de coordenadas homog´eneas determinado por los n + 2 puntos anteriores (los Pi m´as el U ), ser´a la base {λ 0 v 0 ,... , λnvn}, es decir, aqu´ella en la cual el vector u posea como coordenadas homog´eneas la (n + 1)-upla (1, 1 ,... , 1) llena de
