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apuntes de Geometria (RECTA Y PLANOS)
Tipo: Apuntes
1 / 35
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ll^
ét i
l^
j^
t^
d
Se llama
ugar Geométrico
al conjunto de
puntos del plano o del espacio que cumplen
una determinada propiedaduna determinada propiedad.
Lugar geométrico en el plano o en el
espacioespacio
ét i
l^
i
Lugar geométrico en el espacio
La Recta es un lugar geométrico, por ello, responde auna ecuaciónuna ecuación.Para poder expresarla serán necesarios:Para poder expresarla serán necesarios:1)
Un punto perteneciente a la recta y una dirección
Un punto perteneciente a la recta y una dirección(vector Director), o
Dos puntos pertenecientes a ella, o )^
p^
p^
Un punto perteneciente a la recta y su pendiente
Ecuación Paramétrica de la Recta en el
l plano
Para deducirla se partirá de la expresión vectorial:Para deducirla se partirá de la expresión vectorial:
u
OP
OX
2 1
2 1
u u
p p
y x^
Por igualdad de vectores debe verificarse:
2 1
2 1
p p
y
2
2 1
1
u
p u
p
y x^
g
1
1
Ecuación Paramétrica de la Recta
2
2
Ecuación Simétrica de la Recta en el
l plano
Partiendo de la ecuación paramétrica, despejamos
Partiendo de la ecuación paramétrica, despejamos
2
1
u
p y
u
p x^
2
1
u
u
0
0
2
1
^
u
u
Igualando lo anterior:
2
1
p y
p x^
2
2
1
1
u
u^
Ecuación Simétrica de la Recta
Ecuación a partir de un punto y la
di
t^
d
R
t
pendiente de una Recta
Se deberá partir de la forma simétrica:
)
(
)
(^
1
2 1
2
2
2
1
1
p x u u
p y
u
p y
u
p x^
Si llamamos:
recta
punto
p p P y
pendiente u u m^
^
) ; (^
2 1
2
Quedará:
u^1
)
(
Ecuación de la Recta dados un punto y su pendiente
)
(^
1
2
p
x
m
p
y^
Partiremos de la ecuación implícita, consideramosvariable independiente e
como variable dependiente:
) ( x
) (
variable
independiente e
como variable dependiente: ) (^ y
C B x A B
y
C Ax
By
C By Ax
^
0
Si llamamos
se obtiene:
B
B
C
b
A
Si
llamamos,
se obtiene: B
b
B
m
Ecuación Explícita de la Recta
AS
PS
i^
d
AS AR
PS BR
siendo
1
2
1 2
Reemplazando en (1) queda:
x x
y y
1
2
1
1
2
1
x
x
x x
y
y
y y
^
con
1
2
x
x^
^
1
2
y
y^
;
Ecuación de la recta dada por dos puntosEcuación
de la recta dada por dos puntos
Llamando
al ángulo que forma la recta con el
i j
iti
d^
l
semieje positivo de las x:
y
y
t^
^
1
2
m
x
x
y
y
tg
1
2
1
2
Se llama
Pendiente
Si
ahora
en
la
ecuación
)^ hacemos
Si
ahora
en
la
ecuación
)^ hacemos
^
1 2
y
y^
^
^
y
y^
^
1
1 2
1 2
1
x x
x x
y
y
y y^
^
siendo
m
x
x
y
y^
^
1
2
1
2
bti
Se obtiene:
)
(^
1
1
x
x
m
y
y^
Ecuación de la recta dado un punto y su pendiente
Ejemplos:
2
4
2 3
4 3
0 2 3 4
^
x
y
y x
2
2 3
2 3
0 2 3
^
y
y
y
1 2 4 0 2 4
2 2 4 0 2 4
^
x
x
x
Ecuación Segmentaria de la RectaEcuación
Segmentaria de la Recta
Cuando
la recta corta a los dos ejes,
una forma de encontrar los puntos de corte es:
una
forma de encontrar los puntos de corte es:
1
0
^
y B C x A C
C
By Ax
C By Ax
(^1)
y^ C
x C
C
C
con
B
A^
si ahora llamamos:
tenemos: C
by C
a^
si
ahora llamamos:
tenemos: B by A a^
1
y b
x
b
a
Ecuación Segmentaria de la recta
Desde el punto de vista cartesiano, el problema seresolvería así sean:resolvería así, sean:
2 2 2 1 1 1
:
:^
b x m y r b x m y
r^
Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a lasuma
de
los
ángulos
interiores
no
adyacentes,
según esta propiedad:
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ^
Aplicando la fórmula de la tg de la diferencia de 2 ángulos:
1
2
)
(
) (^
m
m
tg
tg
t
t^
Aplicando
la fórmula de la tg de la diferencia de 2 ángulos:
1 2
1 2 1 1 ) ( )
(^
m m
tg
tg
g
g
tg
tg
.
Según el orden en que se consideren las rectas se obtendrá:
o el suplementario
^
^
o el suplementario
En forma cartesiana el problema se resuelve de lai
i^
t
siguiente manera: I) Dos rectas son
paralelas
si forman un ángulo de 0º
Dos rectas son
paralelas
si forman un ángulo de 0
1
2
1
2
2
m
m
1
2
1 2
2
m
m
1
2
Recíprocamente si
Es condición necesaria y suficiente para que dos
y^
p^
q
rectas
sean
paralelas
que sus
pendientes sean
iguales
19
II) Dos rectas son
perpendiculares
si forman un ángulo de
1 2
1
2 1 2
º 90
m m
m
m
tg
tg
La tangente de 90º no está definida, por lo tanto debe sercero el denominador:
1 2
1
2
(^1) m
m
^
0
1
1 2
m m
2 ˆ
Recíprocamente si
Es condición necesaria y suficiente para que dos rectas
sean
p
erpendiculare
s^
que sus
p^
p^
q
pendientes
sean
recíprocas
y
opuestas
