UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR
CAMPUS DE QUETZALTENANGO
FACULTAD DE INGENIERIA
MATEMÁTICA I
DOCENTE: ELFEGO OVALLE
1er. CICLO 2022
Proyecto de curso
Estuardo Alejandro Vásquez Alvarado
Carné: 2495420
Sección 1
Quetzaltenango, abril de 2022
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Geometría Básica: Puntos, Rectas, Planos, Ángulos y Figuras, Apuntes de Matemáticas
Los conceptos básicos de geometría, incluyendo puntos, rectas, planos, ángulos agudos y obtusos, segmentos de recta, líneas perpendiculares y paralelas, ángulos adyacentes, opuestos y suplementarios, triángulos y cuadriláteros, circunferencias y círculos, y figuras tridimensionales como prismas y pirámides.
Tipo: Apuntes
2021/2022
1 / 16
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UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR
CAMPUS DE QUETZALTENANGO
FACULTAD DE INGENIERIA
MATEMÁTICA I
DOCENTE: ELFEGO OVALLE
1er. CICLO 2022
Proyecto de curso
Estuardo Alejandro Vásquez Alvarado
Carné: 2495420
Sección 1
Quetzaltenango, abril de 2022
Elementos fundamentales de la geometría
- El punto:
Es una figura que no tiene dimensiones, es decir no tiene volumen, longitud, etc.
por lo tanto, no pertenece al mundo físico. Lo que hace el punto en la geometría
es señalar una posición espacial que se establece a partir de un sistema de
coordenadas.
- Recta:
Es una línea unidimensional que, formada por una cantidad infinita de puntos, se
prolonga en una misma dirección, esta no posee ángulos ni curvas.
- Plano:
Es una superficie que solo posee dos dimensiones y contiene infinitos puntos y
rectas, es un concepto fundamental junto con los dos anteriores.
- Espacio:
Es el conjunto universo de la geometría. En este se encuentran todos los demás
elementos. Dentro de él determinamos cuerpos geométricos como cajas, planetas,
rectas, puntos, esferas, etc.
- Puntos colineales:
Son aquellos puntos que pueden unirse por una misma recta, es decir la recta
pasa por todos esos puntos, el que quede fuera no es colineal al resto.
- Puntos coplanares:
Los puntos coplanarios son aquellos puntos que pertenecen a un mismo plano.
Para una mejor explicación dejo la siguiente ilustración:
En esta imagen podemos observar que los puntos A, C, D, y F son coplanarios
mientras que los puntos B, E y G no forman parte del mismo plano en el espacio.
- Ángulos adyacentes:
Es aquel que comparte con otro ángulo un vértice y un lado en común, es decir se
trata de ángulo consecutivos. A su vez son ángulos suplementarios, es decir,
forman un ángulo de 180°.
En la imagen anterior α y β son ángulos adyacentes, y cada semirrecta parte del
punto B y cada una pasa por el punto A o D.
- Ángulos opuestos por el vértice:
Cuando dos líneas se intersecan la una con la otra, entonces, los ángulos
opuestos formados debido a la intersección son llamados ángulos opuestos por el
vértice. Un par de ángulos opuestos siempre son iguales el uno con el otro.
Además, un ángulo opuesto y su ángulo adyacente son ángulo suplementarios ya
que suman 180 grados.
- Ángulos complementarios:
Es aquel que permite formar un ángulo recto. Es decir, dos ángulos son
complementarios si suman 90°.
- Ángulos suplementarios:
Dos ángulos son suplementarios si la suma de estos es 180°.
- Rectas perpendiculares:
Son aquellas que al cruzarse forman cuatro ángulos iguales, siendo cada uno un
ángulo recto, es decir que mide 90°. De otra manera se puede decir que, cuando
dos rectas perpendiculares se intersecan, un ángulo completo o perigonal queda
dividido en cuatro partes iguales entre sí.
- Rectas paralelas:
Son aquellas rectas que no tienen ningún punto en común y siempre mantienen la
misma distancia entre sí.
- Ángulos correspondientes:
Son ángulo formados cuando una línea transversal cruza a dos líneas rectas.
Estos ángulos son formados en esquinas equivalentes o en esquinas
correspondientes con la transversal cuando dos líneas son intersecadas por una
tercera línea. Por ejemplo, en la siguiente imagen, los ángulo a y p son
correspondientes:
- Ángulos alternos internos:
Para explicar, de mejor manera, estos ángulos de mejor manera utilizaré algunas
imágenes.
Si una recta transversal OP corta a dos rectas paralelas AB y CD, los ángulos
alternos internos son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a
distinto lado de la transversal.
Es aquel cuyos tres lados miden la misma longitud. Así sus tres ángulos internos
también son iguales y miden 60°.
- Triángulo isósceles:
Es aquel que tiene dos lados con la misma longitud. Y sus dos ángulos que están
frente a los dos lados iguales también miden los mismo.
- Triángulo escaleno:
Es aquella figura geométrica de tres lados, cada uno de los cuales mide una
longitud distinta.
- Triángulo acutángulo:
Es aquel cuyos tres ángulos interiores son agudos, es decir miden menos de 90°.
- Triángulo rectángulo:
Es aquel que tiene un ángulo interior que es recto, mide 90°.
- Triángulo obtusángulo:
Es aquel donde uno de sus ángulos interiores es obtuso, es decir, que mide más
de 90°. Y los otros dos ángulos son agudos, lo que significa que miden menos de
- Altura de un triángulo
Es aquel segmento que une un vértice del triángulo con su lado opuesto o su
prolongación, siendo perpendicular a este, es decir, en la intersección se forma un
ángulo recto. Cada triangulo tiene entonces tres alturas, cada una respecto a cada
uno de sus lados.
- Triángulos semejantes:
Dos triángulos son semejantes si tienen ángulos homólogos iguales y sus lados
homólogos proporcionales. La razón de la proporción entre los lados de los
triángulos se llama razón de semejanza.
- Teorema de Pitágoras:
Es una norma que se cumple en el caso de un triángulo rectángulo, siendo la
suma de cada uno de los catetos elevados al cuadrado igual a la hipotenusa
elevado al cuadrado.
- Área y perímetro de un triángulo:
El perímetro del triángulo es la suma de las longitudes de sus lados. Y el área de
un triángulo es la base por la altura partido dos.
- Definición de cuadrilátero:
Es una figura geométrica, específicamente un polígono, conformada por cuatro
lados, cuatro ángulos y cuatro vértices.
- Cuadrado:
Es una figura geométrica caracterizada por ser un tipo de paralelogramo con
cuatro lados de igual longitud y paralelos entre sí.
- El rectángulo:
Es un cuadrilátero, específicamente un paralelogramo, que tiene dos pares de
lados de igual longitud. A su vez todos los ángulos interiores son rectos.
- Paralelogramo:
Es un polígono, el cuál está conformado por cuatro lados y que se caracteriza
porque sus lados opuestos son paralelos unos con otros, lo que quiere decir que
dichos lados se encuentran a distancias iguales. Este cuadrilátero es atravesado
por un par de diagonales, que coinciden en un mismo punto, siendo este el punto
medio de dichas diagonales. Una peculiaridad es el hecho de que todos sus
ángulos consecutivos dan un total de 180 grados.
- Rombo:
Es un cuadrilátero, específicamente un paralelogramo, que tiene dos ángulos
idénticos agudos (menores a 90°) y otro par de ángulo, también iguales que son
obtusos (mayores que 90°). Y todos los lados de la figura son de la misma
longitud.
- Trapecio
Es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos, es decir, que no se cruzan,
aunque sean prolongados. Estos son llamados bases del trapecio. En tanto, sus
otros dos lados no son paralelos.
Un arco de una circunferencia es cualquier curva continua que une dos puntos.
Puede decirse que es una porción de circunferencia, que queda definido a partir
de dos puntos sobre dicha circunferencia.
- Longitud de arco:
Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o
dimensión lineal.
- Sector circular:
Es la porción de un círculo delimitada por dos radios y un arco de circunferencia.
- Segmento circular:
Es la porción de un círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.
- Ángulo inscrito en una circunferencia:
Son los ángulos cuyo vértice está en la circunferencia. En una circunferencia se
cumple que, la medida del ángulo central que subtiende el mismo arco que
cualquier ángulo inscrito, es el doble de la medida de cualquier ángulo inscrito que
subtienda el mismo arco.
- Angulo formado por una secante y una tangente:
También llamado ángulo semiinscrito, es aquel ángulo que tiene su vértice sobre
la circunferencia, un lado tangente y el otro secante. Su medida es la mitad del
arco que abarca.
- Ángulo formado por dos secantes que se intersecan en el interior de la
circunferencia:
La medida de un ángulo formado por dos secantes que se intersecan en el interior
de una circunferencia es igual a la mitad de la suma de las medidas de los arcos
interceptados.
- Ángulo formado por dos secantes que se intersecan fuera de la
circunferencia:
Es una figura plana formada por n segmentos que se intersecan dos a dos
formando una figura con n vértices, n ángulos iguales y n lados iguales..
- Lado de un polígono regular:
Es el segmento que tiene como puntos extremos dos vértices del polígono y se
representa con la letra l.
- Centro de un polígono regular:
Se le llama centro de un polígono regular al centro común de sus circunferencias
inscrita y circunscrita.
- Radio de un polígono regular
El radio de un polígono regular es el radio de su circunferencia circunscrita.
- Apotema de un polígono regular
La apotema es el radio de su circunferencia inscrita y se representa con la letra a.
También se puede decir que es la recta que une el centro con el centro de uno de
sus lados.
- Ángulo central de un polígono regular:
Es el ángulo que tiene como vértice el centro del polígono y sus lados son los
segmentos que contienen a dos vértices consecutivos. La medida del ángulo
central es
θ =
n
- Área y perímetro de un polígono:
Para calcular el área de un polígono, se puede suponer que este está formado por
n triángulo iguales. La base de cada triángulo es el lado l del polígono y la altura
es la apotema a, entonces el área de cada triángulo es:
A n =
( l )( a )
. Como el
polígono tiene n triángulo se tiene que las expresiones para calcular el área del
perímetro son:
A =
nla y P = nl.
Prismas y paralelepípedos. Y cilindros, conos, esferas y
pirámides.
- Definición de prisma:
Es un sólido, a diferencia de las anteriores estas no son planas, tienen al menos
dos de sus caras iguales y contenidas en planos paralelos, estas caras son
llamadas bases. Las otras caras de un prisma son llamadas caras laterales y
tienen la forma de un paralelogramo. Las caras de un prisma se intersecan unas
con otras en segmentos llamados aristas. Las aristas que unen dos caras laterales
se llaman aristas laterales.
- Altura de un prisma:
La altura h de un prisma es el segmento que va de una base a otra y es
perpendicular a ellas.
- Área y volumen de un prisma:
El área lateral, A.L. es la suma de las áreas de las caras laterales y estas son
paralelogramos de base l y altura h.
A. L. = P h
En donde P es el perímetro de la base.
El área total, A.T. de un prisma es la suma de área lateral más las áreas de las
dos bases, B.
A. T. = P h + 2 B
- La esfera:
Una esfera es un sólido que está formado por todos los puntos en el espacio que
están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro de la esfera.
- Pirámides:
Es un sólido que tiene como base un polífono y un punto fuera del plano que
contiene a la base llamado vértice, de tal manera que cada vértice del polígono
está unido al vértice de la pirámide por un segmento llamado arista. Dos aristas
consecutivas junto con un lado de la base forman un triángulo llamado cara lateral.
- Área y volumen de una pirámide:
El área lateral de una pirámide es igual a la suma de las áreas de sus caras
laterales. El área total es igual a la suma del área lateral más el área de la base.
Para calcular el área lateral y el área total de una pirámide regular únicamente se
necesita calcular el área de una de las caras laterales y multiplicarla por el número
de lados.
A. L. =
nal
El volumen de una pirámide regular se obtiene multiplicando el área de la base B
por la altura y dividiendo entre tres.
V =
Bh