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GEOMETRÍA 4PC
01. En una circunferencia cuyo radio mide R, se inscribe un polígono regular de 32 lados. Calcule la longitud del lado de dicho polígono
A) R 2 − 2 − 2 + 2
B) (^) R 2 − 2 + 2 + 2
C) R 2 − 2 + 2 − 2
D) R 2 + 2 + 2 + 2
E) R 2 − 2 − 2 − 2
02. En un triángulo ABC obtuso en el
vértice B, se trazan las alturas AF y CH. Si AC = 12 u, m ∠BAC = 23 y m ∠ACB = 22 , entonces la longitud (en u) de HF es A) 3 2 B) 4 2 C) 5 2 D) 4 3 E) 6 2
03. En una circunferencia de longitud de radio R, se inscribe el triángulo equilátero ABC y el cuadrado BDEF tal que EF interseca a AC en el punto P. Calcule la longitud de BP.
A)
R
B)
R
C)
R
D)
R
E)
3R
04. En un triángulo ABC obtuso en B,
AB = 2 u, AC = (^5 + 1 u) y
m ∠ACB = 18. Entonces, m ∠BAC es
A) 9 B) 12 C) 15 D) 22,5 E) 30
05. En una circunferencia de diámetro AD se ubican los puntos B y C tal que B ∈ AC y C ∈ BD. Si m AC^ = 120 , m AB = 90 y el radio de la circunferencia mide R, entonces la longitud de BC es
A) (^ )
R
B) (^ )
R
C) (^ )
R
D) (^ )
R
E) (^ )
R
06. En un triángulo isósceles ABC, la longitud de la base AC es 2 2 − 2 cm. Si m ∠ABC = 45 , entonces la longitud (en cm) de la altura AH es A) 2 − 1 B) 2 − 2 C) 4 − 2 D) 2 E) 2 2 07. Hallar la longitud del lado de un polígono regular de 24 lados en función del radio R de la circunferencia circunscrita a dicho polígono
A) R 2 − 2 + 3
B) R 2 + 2 + 3
C) R 2 − 2 − 3
D) R 2 + 2 − 3
E) R 2 2 − 3
08. En un triángulo ABC los ángulos BAC y ACB miden 45 y 30 respectivamente. Si el circunradio del triángulo mide R, entonces la longitud de AC es
A) (^ )
R
+ B) R (^6 + 2 )
C) (^ )
R
+ D) (^ )
R
E) (^ )
R
09. En el interior de un triángulo ABC recto en B, se ubica el punto P tal que (^) m ∠PBC = 28 , (^) m ∠PCB = 15 y m ∠BAC = 43. Si AC = 8 u, entonces la longitud (en u) de PB es A) 4 2 − 2 B) 4 2 − 3
C) 2 (^5 − 1 ) D) 2 2 − 2
E) 4 (^5 − 1 )
10. En un pentágono regular ABCDE cuyo lado mide , las diagonales AC y BD se interceptan en el punto Q. Calcule la longitud de QE.
A) (^5 1 )
B)
C) 6
D) (^5 1 )
E) 10 2 5
11. En el triángulo ABC recto en B se
trazan la bisectriz interior CE y las perpendiculares BM y BN a CE y AC (M ∈ CE y N ∈ AC). Si
m ∠BAC = 54 y BC = (^5 + 1 cm) ,
entonces la longitud (en cm) de MN es A) 1 B) 2 C) (^5) D) 4 E) 2 5
12. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si dos figuras son simétricas respecto a un punto entonces dichas figuras son disjuntas. II. El simétrico de una figura respecto a un punto o una recta pueden coincidir. III. Un polígono no convexo no tiene eje de simetría. A) FVF B) VVV C) FFF D) FFV E) VVF 13. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Todo polígono regular tiene centro de simetría. II. Todo polígono regular tiene ejes de simetría. III. Un polígono no convexo no tiene centro de simetría. A) VVF B) FVV C) FVF D) VVV E) FFF 14. En un cuadrado ABCD de centro O, M es punto medio de AD. Si AB = 4 u, entonces la longitud (en u) de la circunferencia circunscrita al triángulo MOC es A) 2 π 13 B) 2 π 10 C) 2 π 7 D) 2 π 6 E) (^) π 5 15. En la figura mostrada O es punto medio de AB , AO = R. Calcule el valor del perímetro del triángulo ADE.
A B
E C
D
O
E) 2 + 3
23. ABCDEF es un hexágono regular de
lado 6 cm,
L es^ una^ recta
perpendicular a AD , (^ D ∈ )
L. El simétrico de este respecto a L es A 'B ' C 'DE 'F ' , entonces FC ' (en cm) es A) 63 B) (^65) C) 2 63 D) 2 65 E) 2 67
24. En la figura mostrada, los puntos A, B y C son centros de las circunferencias C 1 , C 2 y C 3. Estas circunferencias son tangentes a la recta L , y la circunferencia C 3 es tangente a (^) C 1 y a (^) C 2. Si las longitudes de los radios de C 1 , C 2 y C 3 son 9 u , 9 u y 4 u , respectivamente, calcule el área (en u^2 ) de la región triangular ABC.
A) 36 B) 72 C) 48
D) 80 E) 60
25. En la figura mostrada, BDEF es un cuadrado. Si AB = 12 u y BC = 24 u, entonces el área (en u^2 ) de la región cuadrangular BDEF es
A) 36 B) 40 C) 48
D) 64 E) 72
26. En un triángulo ABC, se ubican los puntos M y N en los lados (^) AB y BC , respectivamente, tal que MN es paralela a AC. Si el área de la región triangular MBN es equivalente al área de la región cuadrangular AMNC y AC = 4 u, calcule la longitud (en u) de MN. A) 2 B) 2 3 C) 3 D) 5 E) 2 2 27. El producto de las tres alturas de un triángulo es k. Si el circunradio del triángulo es R, entonces el área de la región limitada por el triángulo es
A) (^2 )
2Rk R + k
B) 2Rk
C) 2
Rk R + k
D) Rk
E)
Rk 2
28. En un triángulo ABC recto en B, I es el incentro. Si las áreas de las regiones triangulares AIB y BIC son 5u 2 y 12u^2 respectivamente. Calcule (en u 2 ) el área de la región triangular AIC. A) 13 B) 14 C) 15 D) 18 E) 20 29. En el lado BC de un cuadrado ABCD se ubica el punto F tal que AF
es tangente a la semicircunferencia de diámetro CD en el punto T. Si AB = , entonces el área de la región triangular ABT es
A) 2
B) 2
C) 2
D) 2
E) 2
