Geometría Analítica: La Hipérbola - Sesión 4, Apuntes de Matemáticas

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Geometría

Sesión 4

Ciclo:Agosto 2021

GEOMETRÍA

- La Hipérbola.

Puente hiperbólico de Manchester

Torre de control del Aeropuerto de Barcelona

La Torre de Koba

ESQUEMA DE LA UNIDAD

GEOMETRÍA

ANALÍTICA EN EL

PLANO

PARÁBOLA

ELIPSE HIPÉRBOLA

RECONOCIMIENTO DE

UNA CÓNICA A

TRAVÉS DE SU

ECUACIÓN

CIRCUNFERENCIA

V’ V

F

B

B´

o

o Distancia

focal=2c

o V ´

o ntro: C

oLados Rectos:

L R y L´R´.

C

oAsíntotas

E L E M E N T O S

D´ D

D´

D

oDirectrices D D y D´D´

L´

R´

L

R

HIPÉRBOLA

Excentricidad

c

2

 a

2

 b

2

Se cumple:

a

e 

c

2 b

2

a

LR 

Eje real (transverso):

VV’=2a

F´

Eje imaginario (conjugado)

BB’=2b

c

V’(−a, 0) F´(−c, 0) V(a, 0)

F(c, 0)

B(0, b)

B´(0, −b)

D´ D

D´

D

Ecuación:

1) CON CENTRO EN EL ORIGEN Y FOCOS EN EL EJE X

ECUACIONES CANÓNICAS DE LA HIPÉRBOLA

Ecuación de la asíntota:

Ecuación de la directriz

e

x  

a

x

2



y

2

a

2

b

2

 1

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA

Eje Focal paralelo al

eje X

Eje Focal paralelo al eje

Y

Ecuación

Centro C(h, k) C(h, k)

𝑏

𝑦 − 𝑘 = ±

𝑎

(x - h)

𝑎

𝑦 − 𝑘 = ±

𝑏

(x - h) Asíntotas:

ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA

Partimos de:

Resolvemos y obtenemos:

x  h

2

a

2

y  k

2

b

2

  1

 y  k 

2

a

2

 x  h 

2

b

2

  1

O

𝑨𝒙

𝟐

• 𝑩𝒚

𝟐

• 𝑪𝒙 + 𝑫𝒚 + 𝑬 = 𝟎

A B y son de diferente mismo signo

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

1. Determine la ecuación de la hipérbola y de las asíntotas a partir

de los datos dados: foco F(4; 0) y vértice V(2; 0).

2. Determine la excentricidad y la longitud del lado recto de la

hipérbola de ecuación 4 𝑥

2

− 9 𝑦

2

= 36

𝟐 𝟐

Ecuación:

𝒙

𝒚

𝟒 𝟏𝟐

Asíntotas: y= ± 𝟑𝒙

e =

𝟏𝟑

𝟑

LR =

𝟖

𝟑

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

3 ) Grafique las asíntotas

y la hipérbola de

ecuación:

9 x

2

• 16 y

2

• 54 x + 64 y =

127 , determine las

coordenadas de sus

focos.

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

4 ) El parque de las aguas va construir una

estructura hiperbólica de base circular, la cual

se muestra en la figura adjunta. La distancia

del centro de la base al centro de la estructura

hiperbólica (semieje imaginario) es de 20 m y

entre los focos

la ecuación de

es de 50 m,

la estructura

la distancia

determine

hiperbólica

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

4 ) El parque de las aguas va construir una

estructura hiperbólica de base circular, la cual

se muestra en la figura adjunta. La distancia

del centro de la base al centro de la estructura

hiperbólica (semieje imaginario) es de 20 m y

entre los focos

la ecuación de

es de 50 m,

la estructura

la distancia

determine

hiperbólica

Ecuación:

𝒙

𝟐

𝟐𝟐𝟓 𝟒𝟎𝟎

𝟐

(𝒚−𝟐𝟎

Represente gráficamente y determine las coordenadas

de los focos, de los vértices y la excentricidad de la

siguiente hipérbola:

2

2

CONCLUSIONES

• La parábola es el conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados

focos es constante e igual a 2a.

elementos: las

• Para determinar la ecuación de toda hipérbola nos basamos en 3 de sus

coordenadas del centro (C), el valor del semieje mayor y el valor del semieje menor.