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Grado en Ingeniería Biomédica Fundamentos Físicos de la Ingeniería I
PRÁCTICAS DE LABORATORIO
LEY DE TORRICELLI
1. OBJETIVO
El objetivo de esta práctica es utilizar el teorema de Bernoulli aplicándolo a un caso práctico de vaciado de un depósito. Se deducirá la ley de Torricelli y se estudiará la relación entre el tiempo transcurrido y la altura de líquido en el vaciado de un depósito.
2. MATERIAL Depósito. Dos jarras/depósitos. Cronómetro. 3. FUNDAMENTO TEÓRICO El teorema de Bernoulli es una forma de expresar que en un fluido ideal (cuya viscosidad y rozamiento son despreciables) se conserva la energía. En el caso de un líquido ideal contenido en un depósito, se cumple: P gh 21 v^2 cte siendo P la presión del líquido, la densidad, h la altura del líquido respecto a un punto de referencia. Aplicando esta ecuación entre dos puntos del líquido contenido en el depósito, por ejemplo entre un punto de la superficie del líquido (punto 1) y un punto situado en el chorro a la salida del orificio inferior (punto 2), se cumple: 1 1 12 2 2 22 2
P gh^1 v P gh v la presión del líquido en el punto 1 y en el punto 2 es igual a la presión atmosférica, por tanto se cancelan y la ecuación se simplifica:
1 12 2 22 2
gh^1 v gh v Si situamos la referencia de altura en el punto 2 tenemos que h 2 =0. La ecuación queda:
1 12 22 2
gh^1 v v recuerda que con esta referencia la altura del líquido debes medirla desde el punto 2.
Si el depósito es lo suficientemente grande, es decir, si la sección donde está el punto 1 es mucho mayor que la sección del orificio de salida (punto 2) la velocidad con la que disminuye el nivel de líquido será muy pequeña y podemos aproximar v 1 = 0. La ecuación queda:
1 22 2 gh^1 v
despejando v 2 tenemos la ley de Torricelli:
v 2 2 gh 1
La ley de Torricelli nos dice que la velocidad de salida de un líquido por el orificio de un depósito es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido en el depósito según la expresión general:
v 2 gh
Esta ley es válida siempre que la sección del depósito sea mucho mayor que la sección del orificio de salida.
Tiempo de vaciado de un depósito A partir de la ley de Torricelli es posible determinar el tiempo de vaciado de un depósito entre dos alturas h 1 y h 2 medidas respecto a la altura del orificio de salida. En la deducción de la ley de Torricelli hemos supuesto que la velocidad del fluido en la sección mayor S 1 es despreciable v 1 =0 comparada con la velocidad del fluido v 2 en la sección menor S 2. Para algunos depósitos v 1 no es despreciable frente a v 2. Por tanto debemos utilizar la ecuación de continuidad: S 1 v 1 S 2 v 2 y la ecuación de Bernoulli sin simplificar:
1 12 22 2
gh^1 v v
Combinando las dos ecuaciones tenemos:
21 (^2112122)
S S
v S gh
Si S 1 >> S 2 obtenemos la ley de Torricelli. El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo (el caudal) es S 2 v 2 , y en el tiempo dt será S 2 v 2 dt. Como consecuencia disminuirá la altura de agua del depósito dh :
Se va a estudiar la evolución temporal de la descarga del depósito. Para ello se realizarán pares de medidas longitud/tiempo, donde la longitud estará relacionada con la altura del agua en el depósito. Sobre una peana (recipiente blanco de plástico) se encuentra el depósito, que dispone de un pequeño tubo de desagüe en su parte inferior. Una regla pegada nos sirve para establecer referencias en la altura del agua. Hay que señalar que la escala es ascendente y el origen está en la salida del desagüe. La altura efectiva del agua vendrá dada por:
h 1 Eh 1 = h 1 ± 1 mm
Junto al desagüe del tubo se encuentra una de las jarras/depósito (inicialmente es la que está llena de agua). Una segunda jarra/depósito y el cronómetro son el resto de los elementos importantes. La palangana/base y los paños son elementos de seguridad ante posibles derrames accidentales de líquido.
5. DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Se resume a continuación el proceso experimental a realizar, y posteriormente se comentarán todos los aspectos pormenorizados de su realización. El alumno no empezará a experimentar nada hasta haber leído completamente todas las instrucciones.
La jarra con agua se deja aparte y se pone en su lugar la jarra vacía, para que sirva de depósito de descarga. Con un dedo se tapa la salida del tubo de desagüe. Se echa el agua de la jarra llena en el depósito (que no se vaciará por impedirlo el dedo) y se observa entonces la altura inicial del agua. Se decide en qué posición de la descarga se comenzará a medir el tiempo. Cuando se esté preparado para el control temporal, se quitará el dedo. El agua empezará a salir y su altura dentro del depósito a bajar. Cuando se alcance la altura inicial decidida, se pondrá en marcha el cronómetro (START). Cuando el nivel de agua llegue a la altura final elegida pararemos el cronómetro (STOP). Hay que repetir la medida del tiempo 3 veces para cada altura de agua y sacar la media de los valores de tiempo.
A continuación se describe cada punto anterior con toda su problemática experimental.
1) La jarra con agua se deja aparte y se pone en su lugar la jarra vacía, para que sirva de depósito de descarga. La jarra con agua suele estar como depósito de salida. La jarra con agua pesa y puede derramarse, por lo que siempre debe manejarse con atención. Como queremos emplear la jarra con agua para llenar el tubo, la dejaremos aparte y pondremos la jarra vacía a la salida del tubo de desagüe del depósito. El pico de la jarra debe quedar lo más cerca posible del tubo de desagüe.
2) Con un dedo se tapa la salida del tubo de desagüe. Se pretende no dejar salir el agua, pero deberá evitarse hundir el tubo de desagüe, por lo que no se debe ejercer demasiada presión.
3) Se echa el agua de la jarra llena en el depósito (que no se vaciará por impedirlo el dedo). Siempre que se maneje la jarra con agua debe tenerse especial cuidado. También hay que tener en cuenta no presionar el tubo de desagüe con demasiada fuerza puesto que puede hundirse en el tapón soporte.
El cronómetro a disposición del experimentador es muy cómodo, puesto que emite un pitido de confirmación cada vez que se pulsa un botón. Practicar la secuencia de botones para que en el proceso experimental se pueda estar atento sólo al nivel del agua, y los marcajes del cronómetro se puedan hacer a ciegas con seguridad.
5) Forzaremos la descarga del depósito. Cuando se detiene la salida de agua, forzaremos el vaciado de la parte final del depósito. Inclinándolo hacia el depósito de salida., para evitar se derrame parte de esta agua cuando cambiamos las jarras.
6) Pasaremos a construir la tabla de resultados con los datos de nuestras elecciones iniciales y del cronómetro. Nuestra tabla de medidas vendrá dada por (teniendo en cuenta una altura final de 4 cm):
t Et (s) t Et (s) h 1 Eh 1 (cm) h 1 Eh 1 (m) t 11 (primera medida para x 1 ) t 12 (segunda medida para x 1 ) t 13 (tercera medida para x 1 )
t 1 E 1 (valor medio de 3 medidas con su error) t 21 (primera medida para x 2 ) t 22 (segunda medida para x 2 ) t 23 (tercera medida para x 2 )
t 2 E 2 (valor medio de 3 medidas con su error)
…… …… …… …… t 61 (primera medida para x 6 ) t 62 (segunda medida para x 6 ) t 63 (tercera medida para x 6 )
t 6 E 6 (valor medio de 3 medidas con su error)
6. HOJA DE RESULTADOS
Realiza una tabla indicando las magnitudes medidas con sus respectivos errores.
Representa en papel milimetrado la gráfica ( h 1 )1/2^ frente a t.
Ajusta los puntos experimentales de la gráfica anterior por el método de mínimos cuadrados y obtén la ecuación de la recta. Calcula el valor de K a partir de la pendiente de la recta y el valor de h 2 a partir de la ordenada en el origen, según lo explicado en la parte teórica. Compara el valor de K obtenido de la recta de ajuste con el calculado con la ecuación teórica: 21 (^21222)
S S
K S g
- Revisa la introducción teórica. Si para este depósito se cumpliera que S 1 >> S 2 obtenemos la ley de Torricelli al calcular v 2. Integra de nuevo la ecuación S 1 dh S 2 v 2 dt con el nuevo valor de v 2. Ahora la constante K de la recta de mínimos cuadrados tendrá un significado físico diferente (no se calculará igual que en la cuestión 3). Compara el valor de K que has obtenido del ajuste con el que obtengas mediante la ecuación teórica correspondiente. De la comparación realizada podrás concluir si se puede utilizar la ley de Torricelli con este depósito. Incluye las conclusiones al respecto en el informe.
Datos de la geometría del depósito: Diámetro interior del depósito = 74,00 ± 0,02 mm Diámetro interior del orificio de salida = 4,3 ± 0,2 mm
Elabora un informe de la práctica incluyendo las respuestas a las cuestiones planteadas.
