¡Descarga Gràfics y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Nombres Reals
Esteve Casas
14-agost-
- Trobeu els valors a i b pels quals f (x) = a ln(x) + bx^2 + x t´e extrems en x = 1 i x = 2. De quin tipus s´on? SOLUCI ´O Si volem que els esmentats valors siguin extrems cal que s’anul·li, en x = 1 i x = 2 la derivada primera de la funci´o, la qual ´es f ′(x) = a x
- 2bx + 1. Aix`o d´ona lloc al sistema d’equacions { 0 = f ′(1) = a + 2b + 1 0 = f ′(2) =
a 2
Si resoleu trobareu que a = − 2 /3 i b = − 1 /6 Si ara substituiu les lletres pels valors obtinguts tindrem la funci´o f (x) = − 2 /3 ln(x) − 1 / 6 x^2 + x, la derivada de la qual ´es f ′(x) =
3 x
x + 1. Si ara calculem la derivada segona i substitu¨ım les x primer per 1 i despr´es per 2 tindrem
f ′′(x) = 23x^2 −
; f ′′(1) =
0; f ′′(2) =
Aix´ı doncs el punt x = 1 ´es un m´ınim i el punt x = 2 ´es un m`axim, ja que el primer anul·la la derivada primera i ´es positiu en la segona i el segon anul·la la derivada primera i ´es negatiu en la segona.
- La dist`ancia de separaci´o l entre cotxes viatjant en un t´ınel d’un sol carril
´es relacionada amb la seva velocitat mitjana v per l = 18 + v +
v^2 32
. Quants cotxes passen per un punt donat cada hora? Per a quina velocitat el volum ´es m`axim? SOLUCI ´O
Si posem f (v) =
l v
ens indica el temps que tarda en passar un cotche, 18 v
v 32 , per tant la freq¨u`encia seria
f (v) que ens donaria la funci´o
F (v) =
32 v v^2 + 32v + 18 · 322 El volum sera maxim quan la freq¨uencia sigui maxima o el periode m´ınim; per tant podem buscar m´ınims de f (v) o b´e maxims F (v). Caldra derivar i igualar a cero, per exemple, F ′(v) i obtindfrem la equaci´o − 32 v^2 + 18 · 322 v^2 + 32v + 18 · 322
= 0. Es a dir´ − 32 v^2 + 18 = 0
La ´unica soluci´o positiva ´es 24, que atenent les unitats sera 24km/h. Po- dem veure que ´es un maxim ja sigui
(a) Estudiant la derivada en un entorn de 24 i veient que F ′(20) > 0 i F ′(25) < 0, ´es a dir creixent abans i decreixent despr´es. (b) Estudiant la derivada segona F ′′(V ) i veient que ´es compleix F ′′(24) < 0
- Determineu K ∈ R tal que x − x^2 ≤ Kex, ∀x ∈ R SOLUCI ´O Observant els gr`afics de sota, fent servir com a K els valors, 4, 2, 1, 0.5, 0.25, 0.195, podrem veure el cam´ı a seguir:
x
y
Ara podem veure el com- portament d’aquestes grafiques i ens adonem que variant la K la corba exponencial s’acosta a l’altre quadratica(parabola) i que en el punt de tangencia coincideixent. Per tant ´es aquest valor de K ( aproximadament 0.195 en el dibuix) a partir del qual la grafica exponencial sempre ´es su- perior a l’altre. Aix´ı doncs sera q¨uesti´o de resoldre el sistema format per les equacions de les corbes x − x^2 i de Kex^ i de les seves derivades, la soluci´o del qual indicara que totes les K superiors a ell cumplirant el que el problema ens demana. (^) { Kex^ = x − x^2 Igualtat de les funcions Kex^ = 1 − 2 x Igualtat de les derivades Si resolem( ´es facil fer-ho per igualaci´o i s’obt´e una equaci´o de 2n grau
x − x^2 = 1 − 2 x) veurem que obtenim 2 solucions x 1 =
i l’altre
x 2 =
i ens quedarem amb la segona opci´o, ja que :
(a) La soluci´o ha de pertanyer al rang de les x que fant la parabola positiva, ´es a dir entre 0 i 1 (b) I que no cal considerar Valors de la K negatius ja que en aquest cas els valors entre [0,1] de la nostra parabola sempre superarien la funci´o exponencial.
, per tant b = − 1 /4. L’asimptota ser`a doncs y=x-1/
(b) aquest cas ´es m´es senzill i tindrem a = lim x→∞
x^2 ((1 + x)^2
= 1 i b =
lim x→∞
x^3 ((1 + x)^2 − x = lim x→∞
− 2 x^2 − x x^2 + 2x + 1
Per tant l’as´ımptota ser`a y=x-
(c) a = lim x→∞
x +
x^2 − 1 x = lim x→∞
1 − 1 /x^2 = 2 i la b = lim x→∞
x^2 − 1 −
x = lim x→∞
x^2 − 1 + x
= 0, per tant b = 0. L’as´ımptota ser`a y=2x
(d) a = lim x→∞
x(x + 4) x
= 1 i la b = lim x→∞
x(x + 4)−x = lim x→∞
4 x √ x(x + 4) + x
4 /2 = 2, per tant l’as´ımptota ser`a: y=x+
NOTA: En les simplificacions d’aquest exercici s’ha aplicat la t`ecnica del conjugat, usant la f´ormula m´es general:
an^ − bn^ = (a − b)
an−^1 + an−^2 b +... + abn−^2 + bn−^1
- Feu el gr`afic de la funci´o i estudieu-la f (x) = e^1 /x
x(x + 2) SOLUCI ´O Suposarem que l’arrel quadrada ´es sempre postiva. En primer lloc determinem quin ´es el seu domini. Aquesta funci´o pot fallar per dos motius; un d’ells ´es que x=0, ja que aleshores nopodem calcular el factor de l’exponencial 1/x i l’altre ´es que el terme dins de l’arrel sigui negatiu La segona alternativa obliga a qu´e x(x + 2) ≥ 0, ´es a dir que el signe dels dos factors sigui el mateix i aixo nom´es o podem assolir si x ≥ 0 o b´e x ≤ −2. En definitiva el domini sera {x ∈ R|x ≤ −2 i x > 0 } Pel que fa als punts d’intersecci´o amb l’eix de les x, nom´es tenim x = − 2 al igualar a 0 la f´ormula x(x+2)=0, per`o no x = 0 que no pertany al domini. Si analitzem les as´ımptotes en trobarem de verticals x = 0 (degut al factor 1/x de l’exponencial) i d’obliq¨ues y = ax + b que passem a calcular.
a = lim x→∞
e^1 /x
x(x + 2) x
= lim x→∞
x(x + 2) x
= 1 i pel que fa a la b tenim b = lim x→∞ e^1 /x
x(x + 2) − x i ara fem el canvi de variable y = 1/x, per facilitar els calculs, el l´ımit tendira a 0 i tindrem b = lim y→ 0 ey^
1 /y^2 + 2/y −
1 /y = lim y→ 0
ey^
1 + 2y − 1 y
= lim y→ 0 ey^
1 + 2y +
ey ey^
1 + 2y
= 2. Per tant l’as´ımptota ´es y = x + 2
Calculem ara la seva derivada i obtindrem f ′(x) =
x^2
e^1 /x
x(x + 2) + e^1 /x(x + 1) x
x(x + 2)
e^1 /x x
x(x + 2)
(x^2 − 2), despr´es de simplificar una mica.
S’anul.la en el punt x =
2, l’altre opci´o −
2 no cau dins del domini. Si calculem un valor de la derivada abans de x = −2 obtenim f ′(x) < 0 ja que tots els termes de l’expressi´o seran positius llevat del terme x Si calculem la derivada entre 0 i
2 ens donar`a u valor negatiu indicant que la nostra funci´o ´es decreixent en aquest interval. Si calculem la derivada per valors superiors a
2 obtindrem valors positius, per tant la funci´o ser`a creixent. Aix´ı tenim en x =
2 un m´ınim Ajuntant totes le consideracions obtindrem el gr`afic de sota
x
y
m´ınim
y = e^1 /x
x(x + 2 )
- Feu el gr`afic de la funci´o i estudieu-la f (x) = 3
2 x^2 − x^3 SOLUCI ´O El domini ´es R Els punts de tall amb l’eix de les x que s’obtenen de fer f (x) = 0 s´on les solucions de 2x^2 − x^3 = 0; obtindrem (0,0) i (2,0) Tenim una as´ımptota obliqua Y = −x + 2 que es calcula fent
(a) a = lim x→∞
√ (^32) x (^2) − x 3
x
= −1, nom´es cal dividir numerador i denomi- nador per x^3
- Feu el gr`afic de la funci´o i estudieu-la f (x) = arcsin
1 − x^2 1 + x^2 SOLUCI ´O
Si feu lim x→∞
1 − x^2 1 + x^2 = −1 i per tant lim x→∞ arcsin
1 − x^2 1 + x^2 = arcsin(−1) = −π/2 per tant tenim una as´ımptota horitzontal y = −π/2. f (x) = 0 sempre que 1 − x^2 = 0 aleshores x = ± 1 Tenim un maxim a (0, π/2), ja que si x = 0 l’argument dins de la funci´o arcsinus val 1 que ´es el maxim de la funci´o sinus i la seva inversa t´e per tant com a m`axim arcsin(1). Si canviem la x per −x a la f´ormula aquesta no varia. Es doncs una funci´´ o parella o de manera equivalent t´e simetria axial( si dobleguem per l’eix de les y els dos dibuixos coincideixen).
Si feu la derivada obtindreu f ′(x) =
− 4 x (1 + x^2 )
4 x^2
que ´es negativa per valors negatius de x i positiva per valors positius de x. Fixeu-vos que no simplifico l’arrel, perque considero que aquesta ´es sempre postiva i al simplificar aixo canviaria. Per tant la funci´o ´es creixent per les x negatives i decreixent per les positives
x
y
- Feu el gr
afic de f (x) = (x^2 )x^ per x 6 = 0 i f (0) = 1 i estudieu la funci´o SOLUCI ´O En primer lloc es veu facilment que lim x→+∞ (x^2 )x^ = +∞ i que lim x→−∞ (x^2 )x^ = 0 Tenim per tant una as´ımptota horitzontal y = 0 per l’esquerra D’altre banda si fem lim x→ 0 (x^2 )x^ = 1; nom´es cal aplicar logaritmes a la f´ormula de la nostra funci´o, calcular el l´ımit usant la regla de l’hˆopital i veure que d´ona 0, finalment el resultat ser`a e^0 = 1. ´es a dir la nostra funci´o ´es cont´ınua a x = 0 Si ara calculem la primera derivada i simplifiquem una mica ( haurem de fer derivades logar´ıtmiques) obtindrem f ′(x) = f ′(x) = (x^2 )x^
ln(x^2 ) + 2
Igualant a cero la derivada, ´es a dir fent ln(x^2 + 2) = 0 ob tenim com a solucions − 1 /e i 1/e on e = 2, 718281828.. ..
Si ara analitzem els signes de la derivada, podem veure que ´es positiva a l’esquerra de − 1 /e, per exemple calculeu ln((−1)^2 ) + 2 = 2 > 0 i negativa a la dreta, per exemple ln((− 1 /e^2 )^2 ) + 2 = −4 + 2 = − 2 < 0 per tant − 1 /e.
Repetint els passos per 1/e veurem que va al rev´es, en un entorn seu, la derivada ´es negativa a l’esquerra i positiva a la dreta i per tant ell representa l’abscissa d’un m´ınim.
La funci´o ´es creixent fins arribar al maxim, decreixent entre el maxim i el m´ınim i creixent despr´es.
Si calculem la derivada segona obtindrem l’expressi´o
f ′′(x) = (x^2 )x
[
ln x^2 + 2
x
]
. Aquesta expressi´o s’anul.la si (ln x^2 + 2)^2 +
x
= 0, per tant la x ha de
ser negativa. Intentem situar aquest punt
Analitzem per separat f 1 (x) =
x
i f 2 (x) = (ln x^2 + 2)^2 + 2, per valors
negatius de la x.
f 1 (x) ´es sempre decreixent i va de 0, en el punt −∞ a −∞ en el punt
x = 0, per`o f 2 (x) t´e per derivada f 2 ′(x) =
x
(ln x^2 + 2), aquesta expressi´o
s’anula en − 1 /e a on hi t´e un m´ınim que val 0, essent decreixent a la seva esquerra i creixent a la seva dreta.
En x = − 1 /e f 1 (x) = −e i f 2 (x) = 0 i al ser el punt d’inflexi´o de la nostra f (x) aquell en el qual f 1 (x) = f 2 (x), s’ha de trobar a l’esquerra de de − 1 /e, si calculem f 2 (−e) = 16, pero f 1 (−e) = − 2 /e ´es a dir f ′′(e) > 0 i f ′′(− 1 /e) < 0 ja que f 2 (− 1 /e) = 0 i f 1 (− 1 /e) = −e. Entre mig hi haura el punt en que s’anul.li: el punt d’inflexi´o.
En definitiva el punt d’inflexi´o es troba en l’interval −e < pi < − 1 /e.
Seguint amb els raonaments anteriors, la derivada segona entre el nostre punt d’inflexi´o i 0 ´es negativa ( recordem els creixements de les funcions f 1 (x) i f 2 (x) en aquest interval); d’latre banda a la dreta de 0 i en punts suficientment propers com 1/e^2 tenim f ′′(x) ´es clarament positiva. Les curvatures a l’entorn de 0 s´on diferents.
Que passa en el 0?: D’una banda la derivada primera val ∞, la qual cosa ens diu que el pendent ´es vertical, aixo juntament amb les diferents curvatures en el seu entorn, ens indica que tenim un punt d’inflexi´o de pendent vertical.
