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GRAFOS (parte 1)
Grafos
Introducción a la teoría de grafos
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
Introducción
Los grafos sirven
para representar
relaciones
arbitrarias (no
necesariamente
jerárquicas)
entre objetos de
datos
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
Aplicaciones
Circuitos electrónicos
Tarjetas impresas
Circuitos integrados
Redes de transporte
Autopistas
Vuelos
Redes de ordenadores
LANs
Internet
Web
Planeación (rutas críticas)
Planificación de las
tareas que completan
un proyecto
Redes sociales
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
3 Ejemplo de uso de Grafos
En una red de carreteras las poblaciones representan
los vértices del grafo y las carreteras de unión de dos
poblaciones, los arcos, de modo que a cada arco se
asocia información tal como la distancia entre dos
ciudades, el consumo de gasolina por automóvil, etc.
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
Atlixco
Tehuacán
Puebla
Teziutlan
Chignahuapan
Zacatlán
Zacapoaxtla
GRAFOS (parte 1)
Definiciones
Un grafo consiste en un conjunto de vértices o
nodos (V) y un conjunto de arcos o aristas (A).
Un grafo se representa con el par G = (V,A).
El número de elementos de V se llama orden
del grafo
Un grafo nulo es un grafo de orden cero
Un arco o arista está formado por un par de
nodos u y v, y se representa por (u,v)
Un grafo es dirigido (o digrafo) si los pares de
nodos que forman los arcos son ordenados y se
representan u v.
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
Definiciones
Un grafo no dirigido es aquel que los arcos
están formados por pares de nodos no
ordenados, se representa u v.
Si (u,v) es una arista en el conjunto de aristas
del grafo A(G), entonces u y v se dice que
son vértices adyacentes.
Es decir, dos vértices son adyacentes si hay un
arco que los une.
Un arco tiene, a veces, asociado un factor
de peso, en cuyo caso se dice que es un
grafo valorado o ponderado.
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
Fundamentos: grafos dirigidos
Grafo no dirigido
V(G1) = {a,b,c,d}
A(G1) = {(a,b),(a,d),(b,c),(b,d)}
Adyacentes a a: b, d
Adyacentes a b: a, c, d
Grafo dirigido
V(G2) = {1,3,5,7,9}
A(G2) = {(1,3),(3,1),(9,1),
(3,5),(5,7)}
Adyacentes a 1: 3
Adyacentes a 3: 1, 5
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
a
b
d
c
Fundamentos
Grado de un vértice (o nodo)
En un grafo no dirigido
Grado de un nodo u = nº de aristas que contienen a u
En un grafo dirigido
Grado de entrada de u = nº de arcos que llegan a u
Grado de salida de u = nº de arcos que salen de u
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Grado entrada/salida para:
GRAFOS (parte 1)
Fundamentos: ciclos y
bucles
Un ciclo es un camino simple
cerrado con u0=un,
compuesto al menos por tres
nodos
Un ciclo es simple si todos sus
vértices y arcos son distintos
Un arco que va desde un
vértice a sí mismo (u,u) se
denomina bucle o lazo
Ejemplo
C1 es un ciclo simple
C2 es un ciclo no simple
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
C
1
U X
V
W
Z
Y
a
c
b
e
d
f
g
C h
2
Actividad Individual
Obtener todos los
caminos de vértice 1 al 4
y del 4 a cualquier otro
vértice
Determinar cual de ellos
es simple
Hay cliclos? Cual?
¿Se trata de un grafo
conexo?
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
TAD GRAFO
Composición:
:: = {} + {}
::= <> + [<>]
::= <> + <>
:: = {} +
{}
::= <> + [<>]
::= <> +
<> + <>
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
TAD GRAFO: Operaciones
Creación del grafo crearGrafo (grafo)
Inserción de vértices insertarVertice(grafo, vertice)
Eliminación de vértices borrarVertice(grafo,
referenciaVertice)
Inclusión de aristas insertarArista(grafo, vertice1,
vertice2)
Borrar aristas borrarArista(grafo,arista)
Recorrido del grafo recorrer(grafo,tipoRecorrido)
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GRAFOS (parte 1)
TAD GRAFO: Operaciones
asignarInfo(referenciaVertice, valorInformacion)
Modificación de vertices
info(referenciaVertice) Informacion
grado(referenciaVertice) Entero
gradoEntrante(referenciaVertice) Entero
gradoSaliente(referenciaVertice) Entero
adyacentes(referenciaVertice) {referenciaVertice}
incidentes{referenciaVertice) {referenciaVertice}
esAdyacente(refenciaVertice1, referenciaVertice2) Boolean
Acceso a los vertices
asignarEtiqueta(referenciaArista, valorEtiqueta)
Modificación de aristas
vertices(referenciaArista) (refVertice, refVertice)
destino(referenciaArista) refVertice
origen(referenciaArista) refVertice
etiqueta((referenciaArista) etiqueta
Acceso a las aristas
Representación de GRAFOS
Matriz de adyacencias
Sea G = (V,A) un grafo de n nodos, suponemos que
los nodos V = {u1,...,un} están ordenados y podemos
representarlos por sus ordinales {1,2,...,n}.
La representación de los arcos se hace con una
matriz A de nxn elementos aij definida:
1 si hay arco (ui,uj)
aij
0 si no hay arco (ui,uj)
En resumen, la matriz de adyacencia a es un arreglo
de dos dimensiones que representa las conexiones
entre pares de vértices.
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Representación: matriz de
adyacencia
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
1
2
6
2
1
Actividad Individual
Obtén la matriz de adyacencia para el siguiente
grafo.
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
e
b
a
c d
f
GRAFOS (parte 1)
Representación: listas de
adyacencia
Ejemplo
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
2
5
7
2
3
1
Actividad Individual
Obtener la lista de adyacencia para el
siguiente grafo.
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
g
b
a
c
d
i
e
f
j
h
Actividad individual
Obtener la lista de adyacencia para el siguiente
grafo con aristas ponderadas.
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
¿Que hemos aprendido?
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
GRAFOS (parte 1)
Algoritmos de
búsqueda o
recorridos en grafos
Profundidad y anchura
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
Recorridos en Grafos
Muchas de las aplicaciones computacionales
naturalmente incluyen no solo un conjunto de
elementos sino un conjunto de conexiones
entre pares de esos elementos
Las relaciones implicadas por esas conexiones
guían inmediatamente a un conjunto de
preguntas:
¿Hay alguna manera de ir de un elemento a otro
siguiendo las conexiones?
¿Cuántos otros elementos pueden ser alcanzados
desde un elemento dado?
¿Cual es la mejor manera de ir desde un
elemento a otro?
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
Algoritmos de búsqueda o
recorridos en grafos
Recorrer un grafo consiste en pasar
exactamente una vez por cada uno de los
vértices del grafo en busca de algún vértice
en particular.
Existen varias formas de realizar este proceso
dependiendo del objetivo particular:
Recorrido o búsqueda primero en profundidad
Recorrido o búsqueda primero en achura – BFS
(Breadth-First Search)
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
(^31) Recorridos: operaciones
auxiliares
Marcar vértice como visitado
Si los vértices están identificados por algún tipo
ordinal, emplear un conjunto que contenga los
identificadores de los vértices visitados
Encontrar los vértices adyacentes
Con matrices de adyacencia: recorrer la fila
correspondiente al vértice, buscando columnas igual
a 1
Con listas de adyacencia: recorrer la lista
Estructuras auxiliares
TDA Pila en Profundidad
TDA Cola en Anchura
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GRAFOS (parte 1)
Recorrido primero en
profundidad
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a b c e d f g h i j
a b c d e f g h i j
a b c d e f g h i j
Solución
Actividad colaborativa
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
En binas escribir el algoritmo Primero en
profundidad (DFS: Depth First Search)
Tip: Pensar recursivamente
Recorridos
Primero en anchura (BFS: Breadth First
Search)
Visitar vértice inicial vi
Visitar todos los vértices adyacentes a vi
Al terminar, comenzar a visitar los adyacentes a
los adyacentes a vi
... proceder así hasta que no queden vértices por
visitar
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(^39) Recorridos: Anchura
Inicio
marcar vi como visitado
meter vi en cola Q
mientras cola Q no vacía hacer
sacar v de cola Q
para cada vk adyacente a v hacer
si vk no visitado entonces
marcar vk visitado
meter vk en cola Q
fin_si
fin_para
fin_mientras
Fin
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GRAFOS (parte 1)
Recorrido primero en
anchura
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Recorrido primero en
anchura
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
Actividad colaborativa
En binas obtener la matriz de adyacencia y el
recorrido del grafo en anchura
g
b
a
c
d
i
e
f
j
h
Actividad colaborativa
En equipos de 4, suponiendo que se cuenta con la
clase Grafo como se muestra.
Implementar los recorridos en profundidad y
anchura
M.C. Yalú Galicia Hdez. (FCC/BUAP)
Grafo
+Grafo()
+Grafo(n: int)
+agregarVertice(v: String)
+agregarArista(vo: String, vd:
String)
+verMatriz()
+BFS(vi: String) //anchura
+DFS(vi: String) //profundidad
Vertice
- nombre: String
- index: int
- visitado: boolean
+Vertice(nombre: string)
+Vertice(nombre: string,
index)
+getIndex(nombre: string): int
+setVisitado(s: boolean)
+isVisitado(): boolean
