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MOVIMIENTO PLANETARIO
I. Teoría geocéntrica
Fue enunciada por Claudio Ptolomeo, quien sostenía que todos los cuerpos celestes giraban alrededor de la Tierra, describiendo órbitas circulares. Es decir, se consideraba a la Tierra como centro del universo.
II. Teoría heliocéntrica
Fue enunciada por Nicolás Copérnico, quien sostenía que eran los planetas que giraban alrededor del sol describiendo órbitas circulares. Años más tarde esta teoría fue apoyada por Galileo Galilei, quien, utilizando su telescopio rudimentario, llegó a la conclusión de que los planetas giraban alrededor del sol.
III.Teoría actual
Johannes Kepler, basándose en las mediciones de su profesor Tycho Brahe, formuló las siguientes leyes:
1. Primera ley: Ley de las Órbitas
Los planetas giraban alrededor del sol describiendo órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra en el sol.
2. Segunda ley: Ley de las Áreas
El área barrida por el radio vector que une el sol con un planeta es la misma para tiempos iguales.
A
B
D
C
A 1 A 2
tAB = tCD ⇒ A 1 = A 2
3. Ley de los Periodos
Cuando un planeta se mueve alrededor del sol, se observa que el cuadrado de su periodo (T) de revolución es directamente proporcional al cubo del radio vector medio (RM ).
Radio vector medio = R (^) M
RM
1
R 1 + r 1
2
RM 2
R 2 + r 2
2
r 1 R^1
= = ....... = cte RM 1
3
T 1
2
RM
2
3
T 2
2
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
El estudio del movimiento de los planetas, trajo como consecuencia que el famoso astrónomo Galileo Galilei (amigo de Kepler) se incline a defender la teoría de Copérnico, gracias a la ayuda del telescopio que él mismo inventara.
Sucede que los estudios realizados por Kepler y Galilei fueron la base para que Newton formulara su ley de la gravitación universal. Newton, quien precisamente había nacido en el mismo año que falleció Galileo, se preguntaba por qué los planetas giraban en torno al sol; llego a la conclusión de que una fuerza centrípeta obligaba a los planetas a realizar este movimiento; así, pues, Newton nota que el sol atraía a los planetas.
F = maC =
F =
F = G
mV 2
mV^2
mV^2
R
R
R^2
G: constante de gravitación universal
m; M: masa (kg)
a c : módulo de la aceleración centrípeta(m/s^2 )
V: rapidez tangencial (m/s)
R: radio de la trayectoria (m)
I. Ley de la gravitación universal
Dos cuerpos cualesquiera en el universo, se atraen con una fuerza que es directamente proporcional a cada una de las masas e inversamente propor- cional al cuadrado de la distancia que separa sus centros.
F =
d 2
Gm 1 m 2
Unidad:newton (N)
d
F F
m 1 m 2
1. Valor de G
G = 6,67 × 10 –
kg^2
N × m^2
2. Algunos valores
● Radio de la Tierra: RT = 6370 km
● Masa de la Tierra: MT = 5,98 × 10^27 g
● Volumen de la Tierra: VT = 1,09 × 10^27 cm^3
● Densidad de la Tierra: DT = 5,5 g/cm^3
II. Variaciones de la aceleración de la
gravedad con la altura
Si colocamos un cuerpo en la superficie terrestre, su peso toma un valor; si se sube al cuerpo con respecto a la Tierra, este valor disminuye. Esto significa que a mayor altura, el peso (mg) dismi- nuye; pero como la masa «m» es constante (a ra- pideces pequeñas en comparación con la rapidez de la luz), el que disminuye es «g» (aceleración de la gravedad). Esto no sucede solo en la Tierra; se repite en cualquier cuerpo celeste.
R
M
h (^) F = mg
F = mg
(R + h)^2
GMm (^) = mg
De donde:
g = (r + h)^2
GM
Unidad: m/s^2
Observa que «g» no depende de la masa del cuerpo, sino la masa y el radio del planeta que atrae; por supuesto que también depende de la altura «h».
9. La fuerza con que se atraen dos cuerpos de masas m 1 y m 2 , separados «d» metros, es de módulo 8000 N. ¿Con qué fuerza (en módulo) se atraerán si «m 1 » se duplica, «m 2 » se triplica y «d» se reduce a la mitad? 10. Un satélite circula alrededor de la Tierra a una altitud de 600 km, haciendo una revolución cada 100 minutos. Encuentra la magnitud de su aceleración centrípeta. (Radio de la Tierra = 6,4 × 10^6 m) UNMSM 2005-II 11. La segunda ley de Kepler del movimiento plane- tario afirma: UNMSM 2004-II a) Los epiciclos de los planetas son proporcionales al cuadrado de las distancias. b) La trayectoria del planeta es una elipse. c) La fuerza gravitacional solar es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. d) El vector distancia entre el sol y un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. e) El sol es el centro del universo. 12. ¿Cuál será el peso de una persona, si se eleva a una altura igual a 3 veces el radio terrestre? Se sabe que su peso a nivel del mar es de 800 N. 13. Si la distancia entre el sol y la Tierra se reduce a la mitad, ¿cómo varía la fuerza de atracción gravitacional? 14. ¿Con qué fuerza (en módulo) una estrella de 1,6 × 10 27 kg atrae a un planeta de 4 × 10 24 kg que se encuentra a 4 × 10^10 m?
UNI
15. Un satélite gira alrededor de un planeta de masa M a una altura que es el triple de su radio. ¿Cuál es su periodo de revolución?
Resolución:
4R
m
M
Fc = m ω^2 • R
⇒ G (4R)^2
mM = m T
2 π
2
T = 16 πR R
GM
16. Un satélite gira alrededor de un planeta de masa M a una altura que es la cuarta parte de su radio. ¿Cuál es su periodo de revolución? 17. Si el radio vector del planeta mostrado, barre de O a P, 1/5 del área total en 30 días, ¿cuánto tiempo (en días) tardará el planeta en moverse de P a Q?
O
P
Q
18. Un cometa describe una trayectoria elíptica alrededor del sol, de modo que el radio vector que une el sol con el cometa genera en 4 meses un área de 1/20 del área total de la elipse. ¿Cuál es el periodo de revolución del planeta?
