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Exposici´on
Idalis Yuleidy Camacho Morales
April 2023
1 El grupo fundamental de Sn.
Teorema 59.1. Supongamos que X = U ∪ V , donde U y V son conjuntos abiertos de X. Supongamos que U ∩ V es conexo por trayectorias y que x 0 ∈ U ∩ V. Sean i y j las aplicaciones inclusi´on de U y V , respectivamente, en X. Entonces las im´agenes de homomorfismos inducidos
i∗ : π 1 (U, x 0 ) → π 1 (X, x 0 ) y j∗ : π 1 (V, x 0 ) → π 1 (X, x 0 )
generan π 1 (X, x 0 ).
Corolario 59.2. Supongamos que X = U ∪ V , donde U y V con conjun- tos abiertos de X y que U ∩ V es conexo por trayectorias y no vac´ıo. Si U y V son simplemente conexos entonces X es simplemente conexo.
La idea clave detr´as de la demostraci´on del teorema es que los grupos fun- damentales de U , V , y U ∩ V deben ser trivial (es decir, deben tener un solo elemento) debido a las suposiciones sobre la estructura de los conjuntos U y V y su intersecci´on U ∩ V. Luego, utilizamos esta informaci´on para demostrar que el grupo fundamental de X tambi´en es trivial, lo que implica que X es simplemente conexo. Aqu´ı hay un bosquejo de la demostraci´on:
1.-Primero, notemos que U ∩ V es conexo por trayectorias y no vac´ıo, y que U y V son simplemente conexos. Entonces, por el teorema de Seifert-Van Kam- pen (teorema 59.2 en el libro de Munkres), tenemos que π 1 (U ∩ V, x 0 ), π 1 (U, x 0 ) y π 1 (V, x 0 ) son todos trivial, es decir, tienen un solo elemento. 2.-Ahora, consideremos un lazo α en X que comienza y termina en un punto base x 0 ∈ X. 3.-Podemos expresar α como la concatenaci´on de dos lazos αU y αV , donde αU est´a contenido completamente en U y αV est´a contenido completamente en V. 4.-Como U y V son abiertos en X, podemos deformar continuamente αU y αV hasta que ambos empiecen y terminen en U ∩ V. 5.-Entonces, podemos concatenar los lazos αU y αV para obtener un nuevo lazo α′^ que comienza y termina en U ∩ V.
6.-Ahora, como π 1 (U ∩ V, x 0 ) es trivial, podemos contraer α′^ a un punto x 0 en U ∩ V a trav´es de una homotop´ıa relativa a los extremos. 7.-Por lo tanto, α tambi´en se puede contraer a un punto en X a trav´es de una homotop´ıa relativa a los extremos. 8.-Como α era un lazo arbitrario en X, esto implica que π 1 (X, x 0 ) es trivial, es decir, tiene un solo elemento. 9.-Por lo tanto, X es simplemente conexo.
Teorema 59.3. Si n ≥ 2, la n-esfera Sn^ es simplemente conexa.
La prueba de este teorema es un poco m´as compleja que la del Teorema 59.2, que vimos anteriormente. Pero podemos dar una idea general de la demostraci´on. Primero, se puede demostrar que la n-esfera Sn^ es conexa por trayectorias, utilizando la idea de que cualquier punto en Sn^ puede conectarse con cualquier otro mediante una l´ınea recta contenida en Sn. Luego, para demostrar que Sn^ es simplemente conexa, se utiliza el Teorema 59.2 que acabamos de ver. Se toman dos conjuntos abiertos U y V en Sn, tales que U ∪ V = Sn^ y U ∩ V es conexo por trayectorias y no vac´ıo. En particular, U ∩ V es homeomorfo a una n − 1-esfera Sn−^1. Ahora, como Sn^ es conexa por trayectorias y U y V son conjuntos abiertos que cubren Sn, cualquier lazo en Sn^ puede ser ”partido” en segmentos que est´an completamente contenidos en U o V , o que pasan por U ∩ V. Adem´as, como U y V son simplemente conexos, cualquier lazo en U o V puede ser contra´ıdo a un punto en U o V , respectivamente, sin salir de U o V. De esta forma, se puede reducir cualquier lazo en Sn^ a una concatenaci´on de lazos m´as peque˜nos, cada uno de los cuales est´a contenido en U o V , o que pasa por U ∩ V. Como U ∩ V es homeomorfo a Sn−^1 , cualquier lazo en U ∩ V puede ser contra´ıdo a un punto en U ∩ V , sin salir de U ∩ V. Por lo tanto, cualquier lazo en Sn^ se puede reducir a un lazo en U o en V , que a su vez se puede contraer a un punto en U o en V. As´ı, se demuestra que Sn^ es simplemente conexa.
2 Los grupos fundamentales de algunas superfi-
cies.
Teorema 60.1. π 1 (X × Y, x 0 × y 0 ) es isomorfo a π 1 (X, x 0 ) × π 1 (Y, y 0 ).
El teorema 60.1 establece que si tienes dos espacios topol´ogicos X e Y y tomas su producto cartesiano X × Y , entonces el grupo fundamental del producto cartesiano es el producto directo de los grupos fundamentales de X e Y. Es decir, si eliges un punto base (x 0 , y 0 ) en el producto cartesiano X × Y , entonces cualquier lazo en X × Y que comienza y termina en (x 0 , y 0 ) puede ser ”descompuesto” en un lazo en X que comienza y termina en x 0 y un lazo en Y que comienza y termina en y 0.
primera. Entonces, si eliges un punto en cada una de las circunferencias, puedes formar una especie de ”cuadricula” en el toro. Imagina que te mueves alrededor del toro siguiendo esta cuadr´ıcula y vas registrando tu camino. El camino que sigues en la direcci´on de la circunfer- encia exterior es representado por un n´umero entero (digamos m) y el camino que sigues en la direcci´on de la circunferencia interior es representado por otro n´umero entero (digamos n). Entonces, cada par (m, n) representa un lazo en el toro, y el conjunto de todos estos lazos forman el grupo fundamental π 1 (T ). Ahora puedes ver que cualquier lazo en el toro puede ser ”descompuesto” en dos caminos, uno sigu- iendo la circunferencia exterior y otro siguiendo la circunferencia interior. En- tonces, el grupo fundamental del toro es isomorfo al grupo de pares ordenados (m, n) de n´umeros enteros, que es Z × Z.
Definici´on. El plano proyectivo P 2 es el espacio cociente obtenido de S^2 identificando cada punto x de S^2 con su ant´ıpoda −x.
Teorema 60.3. El plano proyectivo P 2 es una superficie compacta y la apli- caci´on cociente p : S^2 → P 2 es una aplicaci´on recubridora.
Este teorema establece dos cosas importantes sobre el plano proyectivo P 2 : 1.-El plano proyectivo P 2 es una superficie compacta: Esto significa que el plano proyectivo es un espacio topol´ogico que se puede representar localmente como un trozo de un plano Euclidiano. Adem´as, el plano proyectivo es un espacio cerrado y limitado, es decir, es un espacio compacto. 2.-La aplicaci´on cociente p : S^2 → P 2 es una aplicaci´on recubridora: Esto significa que la aplicaci´on p es una proyecci´on de la esfera S^2 sobre el plano proyectivo P 2 que mantiene la topolog´ıa. Adem´as, esta aplicaci´on cumple con la propiedad de ser localmente trivial, es decir, que en cada punto del plano proyectivo existe un entorno que se mapea homeom´orficamente sobre un entorno de la esfera S^2. Podemos visualizar el plano proyectivo como una esfera S^2 en la que iden- tificamos los puntos opuestos, como se muestra en la siguiente imagen: En la imagen, los puntos que est´an en el mismo di´ametro de la esfera se identifican en el plano proyectivo. Podemos notar que la aplicaci´on p es una proyecci´on de la esfera S^2 sobre el plano proyectivo que identifica los puntos opuestos. Adem´as, se puede ver que el plano proyectivo es una superficie compacta que se puede representar localmente como un trozo de un plano Euclidiano.
Corolario 60.4. π 1 (P 2 , y) es un grupo de orden 2.
El corolario 60.4 se sigue directamente del teorema 60.3 y del hecho de que la aplicaci´on cociente p : S^2 → P 2 es una aplicaci´on recubridora. Como men- cionamos anteriormente, esta aplicaci´on proyecta todos los puntos de la esfera que son ant´ıpodas en un solo punto en el plano proyectivo. Por lo tanto, si tomamos cualquier punto y ∈ P 2 , podemos encontrar dos
puntos antipodales x 1 , x 2 ∈ S^2 que se proyectan en y. Esto significa que cualquier lazo en P 2 basado en y se levanta a dos caminos en S^2 que comienzan y terminan en x 1 y x 2 , respectivamente. Sin embargo, estos dos caminos tienen la misma imagen bajo la aplicaci´on cociente, por lo que se corresponden con el mismo elemento en π 1 (P 2 , y). Por lo tanto, π 1 (P 2 , y) tiene solo dos elementos, lo que significa que es un grupo de orden 2. En resumen, podemos entender este resultado mediante la idea de que, de- bido a la identificaci´on de puntos antipodales, cualquier lazo en el plano proyec- tivo es equivalente a su inverso, lo que significa que el grupo fundamental tiene solo dos elementos.
Puedes imaginar el plano proyectivo como un disco de goma en el que los bor- des han sido pegados, pero en lugar de pegar los bordes planos del disco, los pegamos despu´es de haber girado uno de ellos 180◦. En otras palabras, si te imaginas una l´ınea que va del centro del disco a un punto en el borde, esa l´ınea se doblar´a sobre s´ı misma antes de alcanzar el punto de pegado. Si tratas de dibujar el disco de goma en un plano, no puedes hacerlo sin cruzar el borde o cortarlo en alg´un punto. Por lo tanto, es necesario verlo en un espacio tridimensional. Ahora, si eliges un punto y en el borde del disco de goma y trazas un camino alrededor del borde que regresa al punto inicial, este camino no se puede recorrer sin cruzar el borde o sin cortar el disco de goma. Por lo tanto, cualquier lazo en el borde del disco de goma no se puede ”levantar” a una curva sin intersecciones en el disco de goma. Entonces, el grupo fundamental π 1 (P 2 , y) es un grupo de orden 2, porque hay un ´unico lazo no trivial en el borde que no se puede levantar a una curva sin intersecciones en el disco.
Lema 60.5. El grupo fundamental de la figura ocho es no abeliano.
La figura ocho se puede ver como dos c´ırculos unidos por un punto com´un. Escogemos un punto base x 0 en el punto com´un. Si consideramos un lazo α que recorre uno de los c´ırculos en sentido horario y regresa a x 0 , y otro lazo β que recorre el otro c´ırculo en sentido antihorario y regresa a x 0 , entonces podemos ver que π 1 (X, x 0 ) tiene dos generadores [α] y [β]. Podemos ver que [α][β][α]−^1 [β]−^1 no es el elemento identidad en π 1 (X, x 0 ), lo cual implica que π 1 (X, x 0 ) no es abeliano. Esto se puede ver f´acilmente en el dibujo de la figura ocho. Al recorrer α y luego β, se obtiene una trayectoria diferente a la obtenida al recorrer β y luego α. Es decir, el orden en que se concatenan los lazos es importante. En resumen, el Lema 60.5 nos dice que el grupo fundamental de la figura ocho es no abeliano debido a que el orden en que se concatenan los lazos im- porta. Esto se puede ver f´acilmente en un dibujo de la figura ocho.
Para entender el Lema 60.5, podemos dibujar la figura ocho como la uni´on
