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C´alculo Integral Gu´ıa 2
- Use el teorema fundamental del c´alculo para encontrar la derivada de las siguientes funciones:
a) g(x) =
Z (^) x
0
1 + 2tdt
b) f (y) =
Z (^) y
2
t^2 sin(t)dt
c) h(x) =
Z − 3
x
cos
y^2
dy
d ) g(x) =
Z (^) cos(x)
1 − 3 x
cos
t^3
dt
e) h(x) =
Z 69
1 /x
t dt
f ) g(y) =
Z (^) y 2
y
π −
p x^2 − 1
dx
- Calcule las siguientes integrales usando el teorema fundamental del c´alculo:
a)
Z 3
− 1
x^5 dx
b)
Z 4
0
xdx
c)
Z √ 3
1
1 + x^2 dx
d )
Z 3
− 2
x^2 − 1 dx
e)
Z 1
0
1 + x^2 dx
f )
Z (^) e
1
x dx
g)
Z (^) π/ 2
0
cos(x) dx
h)
Z 3
1
x^2 /^3
dx
i)
Z 2
− 2
|x|dx
j )
Z 16
9
2 x dx
- Determine una funci´on continua f : R − { 0 } → R tal que:
Z (^) x
0
tf (t) = x sin(x) + cos(x) + x^3 − 1 ,
para todo x ∈ R − { 0 }.
- Sea F una funci´on definida por
F (x) =
Z (^2) x+
1
(x + 2) cos
πt^2
dt
Calcule F ′(0).
- Explique el error en el siguiente uso del teorema fundamental del c´alculo: Z (^2)
− 2
x^2
dx = −^1 x
2
− 2
= −^1
- Calcule el siguiente l´ımite:
hl´ım→ 01 h
Z (^) 2+h
2
sen(t) t dt
Ayuda: Construya una funci´on de la forma g(x) =
Z (^) x
a
sen(t) t
dt y aplique el primer teorema fundamental del c´alculo considerando la derivada por definici´on.
- Sea F :]0, ∞[→ R, definida por: F (x) =
Z (^) x 3
0
et^2 dt
a) Calcule F ′(x)
b) ¿Es F una funci´on creciente?
- Una funci´on se dice peri´odica con periodo T si y s´olo si
f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ R
Demuestre que si f es continua y peri´odica con periodo T, se cumple que: Z (^) T
0
f (t)dt =
Z (^) a+T
a
f (t)dt, ∀a ∈ R
Ayuda: Considere G(x) =
Z (^) x+T
x
f (t)dt y use el Teorema Fundamental del C´alculo para deducir que G′^ es id´enticamente nula.
- Sea f una funci´on continua en ]0, +∞[. Suponga adem´as que: Z (^) x
0
f (t)dt =^1 3
(1 + 2x)^3 /^2.
Determine f.
- Si f (1) = 12, f ′^ es continua y
Z 4
1
f ′(x)dx = 17 ¿Cu´al es el. valor de f (4)?
Respuestas
- a) g′(x) =
2 x + 1
b) f ′(y) = y^2 sin(y)
c) h′(x) = − cos(x^2 )
d ) g′(x) = cos(cos^3 (x)) · (− sin(x)) − cos((1 − 3 x)^3 ) · (−3)
e) h′(x) = −x ·
x^2
f ) g′(y) =
n π −
p y^4 − 1
o · 2 y −
n π −
p y^2 − 1
o
- a)
b) 16 3 c)
π 2 d ) 28 3 e) π 4
f ) 1
g) 1
h) 3 · 3
(^13) − 3
i) 4
j ) − 64
- f (t) = cos(t) + 3t
- F ′(0) = − 4
- No se satisface la hip´ıtesis de continuidad de la funci´on (de hecho x = 0 no est´a en el dominio de la funci´on 1 /x^2 )
- sin(2) 2
- a) F ′(x) = (3x^2 ) · ex^6
b) Si porque F ′(x) > 0 para todo x ∈]0, +∞[
- Recuerde que si G′^ es id´enticamente nula entonces G es una funci´on constante.
- f (t) =
1 + 2t
- f (4) = 29
- a) g(−3) = g(3) = 0
b) Una aproximaci´on es g(−2) ≈ 2 , g(−1) ≈ 5 y g(0) ≈ 5 (para cada aproximaci´on se us´o la suma superior mediante una partici´on regular de norma 1)
c) g es creciente en ] − 3 , 0[
d ) g tiene un m´aximo en x = 0.
- g es creciente en ]5, +∞[
- a) F ′(0) =^5 3 b) Recuerde que F es creciente en ] − 1 , +∞[ si F ′(x) > 0 para todo x ∈] − 1 , +∞[
- f (t) = t^3 /^2 y a = 9.
