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1 de diciembre de 2005 GRUPO 6 Justificad las respuestas y detallad los c´alculos Tiempo 1h. 15m. Elegid 4 entre los 5 ejercicios
- (a) Consid´erese la siguiente sentencia:
Para todo n ∈ N, n(n^2 + 5) es un m´ultiplo de 6
Si es verdadera probadla por inducci´on, si es falsa dad un contraejemplo.(1.5p.) (b) Consid´erese la siguiente sentencia: Si x e y son dos n´umeros reales tales que 1 < x y 0 < y < 1. Entonces x + y − xy > 1. Si es verdadera probadla, si es
falsa dad un contraejemplo. (1p.)
- (a) Definid las funciones f(x) = sinh(x) y g(x) = cosh(x) a partir de:
i. Las partes impar y par de una determinada funci´on. (0,5p.) ii. Una determinada hip´erbola equil´atera. (1p.) (b) Expresad la funci´on arg sinh(x) en t´erminos del logaritmo neperiano. Indicando esta expresi´on por f(x), calculad f(sinh(t)). (1p.)
- (a) Dad P T (cos x, 0 , 2 n) y P T (x sin x, 0 , 2 n). (1p.)
(b) ¿Se cumple que, en un entorno del 0, cos x + x sin x = P T (cos x + x sin x, 0 , 2 n) + o(x^2 n+1)? (0,5p.) (c) Calculad lim x→ 0 (cos x + x sin x)^1 /x
2
(1p.)
- Hallad
x→lim+∞
∫ (^) x 0
1+t 1+t^2 dt ln x (2,5p.)
- Obtened (^) ∫ x^2 (1 − x^2 )^3 /^2
dx
(2,5p.)
24 de octubre de 2003 GRUPO 3 Justificad las respuestas y detallad los c´alculos Tiempo 55m.
a) Probad que para todo natural n, o bien
n es natural o bien irracional. (1p.) b) Usando el apartado anterior probar que si m y n son naturales tales que nm no es un cuadrado perfecto, entonces
n +
m es irracional. (1,5p.)
a) Dad la definici´on de l´ımite de una sucesi´on de n´umeros reales (xn). (0,5p.) b) Consid´erense las dos sentencias siguientes: b 1 ) Toda sucesi´on convergente est´a acotada. b 2 ) Toda sucesi´on no acotada no tiene subsucesi´on convergente alguna. Para la o las sentencias que sean verdaderas probadlas. Para la o las sentencias que sean falsas dad un contraejemplo. (2p.)
Sea la funci´on f : R − { 0 } −→ R tal que f(x) = cos(1/x). a) Demostrad que no existe limx→ 0 f(x). (1,5p.) b) Justificad si f′^ est´a o no acotada en su dominio. (1p.)
Sea f : (−∞, 0] −→ [1, +∞) tal que f(x) = cosh(x). a) Obtened f−^1 (x) = arg cosh(x), indicando su dominio y su recorrido. (1.5p.) b) Hallad d(f−^1 (x)) dx (1p.)
5 de diciembre de 2003 GRUPO 3 Justificad las respuestas y detallad los c´alculos Tiempo 1h. 15m.
a) Demostrad para todo k ∈ N
1 k + 1
< ln
( k + 1 k
) <
k
(1p.) b) Sea SN = 1 + 12 + 13 +... + (^) N^1. Probad que para todo natural N ≥ 2,
ln N < SN < 1 + ln N
(1.5p.)
- Consid´erese
x→lim+∞
( (^) sin x x
)x
¿Es un l´ımite indeterminado? Dad, si existe, el valor de dicho l´ımite. (1p.)
- Calculad
xlim→ 0
1 − cosh x
x^2 (2.5p.)
- Hallad (^) ∫ 2 x + 3 x^2 + 2x + 2
dx
(2p.)
5) Hallad la regi´on comprendida entre la recta y = x e y la gr´afica de f(x) = xex.
(2p.)
5 de diciembre de 2003 GRUPO 9 Justificad las respuestas y detallad los c´alculos Tiempo 1h. 15m.
- Demostrad que para todo x ∈ (0, 1) se cumple:
x < arcsin x < √ x 1 − x^2
(2p.)
- Calculad
x−→lim+∞
( cos
(√ 2 /x
))x
(2p.)
Obtened P T (x arctan x, 0 , 8). (2p.)
Sea f tal que f(x) = sin(ln x). Hallad una primitiva de f. (2p.)
Hallad la recta que pasa por el origen tal que la regi´on comprendida entre esta recta y la gr´afica de f(x) = x^3 en el primer cuadrante tenga ´area 1. (2p.)
29 de octubre de 2002 GRUPO 3 Justificad las respuestas y detallad los c´alculos Tiempo 55m.
Demostrad la propiedad arquimediana de los reales usando que N no est´a acotado en R. (2p.)
Calculad
lim
√√ √√ √√ √
√√
√√ n + 1
n
√^2 √n n+1−√n
(3p.)
- Calculad, en caso de existir,
lim x→ 0 x cos
x^2 (1,5p.)
- Sea f : A −→ R tal que
f(x) = ln
√ 1 − x 1 + x a) Hallad el dominio m´aximo de f. (1,5p.) b) Calculad su derivada (en dicho dominio) y simplificad esta expresi´on. (2p.)
3 de diciembre de 2002 GRUPO 1 Justificad las respuestas y detallad los c´alculos Tiempo 55m.
Obtened argtgh x. (2p.)
Sea f(x) = (1 + x) ln(1 + x) − x
a) Calculad P T (f, 0 , 4) (1,5p.) b) Hallad
xlim→ 0
f(x) − x
2 2 +^
x^3 6 x^4 (1p.)
- Sea
In =
∫ (^) dx
(x^2 + 1)n
Obtened una f´ormula de recurrencia de la forma:
In = f(n)
x (x^2 + 1)n−^1
2 n − 3 2 n − 2
In− 1 n ≥ 2
(3p.)
- Calculad una primitiva de: a) sen^3 x (1,5p.) b) (^) x (^24) − 4 (1p.)
Grupo 1 28 de octubre de 1999 Tiempo: 1h.15m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
- Demostrad que
2 es irracional.
- Calculad
lim
n (n + 1)
n − n
n − 1
- Sea la funci´on f tal que f(x) = arg tanh x
a) Demostrad que f(x) = ln
√1+x 1 −x b) Dad el dominio de f y calculad su derivada.
Grupo 5 28 de octubre de 1999 Tiempo: 1h.15m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
a) Definid l´ımite de una sucesi´on. b) Demostrad que toda sucesi´on convergente esta acotada.
- Calculad lim
( ln(cosh^2 n) − 2 n
)
a) Sea f : R −→ R tal que f(x) = x
4 4 +^
x^2 2 + 1. Encontrad los valores de^ x^ tales que |f′(x)| > | 5 x| b) Encontrad la derivada n-´esima de la funci´on f tal que f(x) = x+1 x
Grupo 3 29 de octubre de 1999 Tiempo: 1h.15m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
a) Demostrad que n(n^2 + 5) = ˙6, para n ≥ 1. b) Obtened la derivada de la funci´on f tal que f(x) = ln(x +
x^2 + 1) y simplificadla.
a) Definid punto de acumulaci´on de un subconjunto de R. b) Dad un ejemplo de un subconjunto de R que tenga exactamente dos puntos de acumulaci´on.
- Calculad
lim
√ 1 + 3n 5 + 3n
2 nn+1^2
Grupo 5 2 de diciembre de 1999 Tiempo: 1h. 15m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
1.Calculad lim x→ 0
( x tgx
) (^) x^12
- Obtened el mayor natural n tal que
P T (
1 − x^3
, 0 , n) = P T
( 1 + x^3 − x^9 − x^12 1 − x^6
, 0 , n
)
- Sea In =
∫ (^) dx (1 + x^2 )n^
, n ≥ 2
a) Obtened una f´ormula del tipo
In = C 1 (n)
P (x) Q(x)
Donde P (x) y Q(x) son polinomios. b) Calculad I 2.
Grupo 6 2 de diciembre de 1999 Tiempo: 1h. 15m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
- Sea una funci´on f tal que
f(x) = (1 − x^4 ) sen^2 (x^2 )
a) Obtened P T (f, 0 , 4 n) b) Comprobad si se cumple, en un entorno de 0, que
f(x) = P T (f, 0 , 4 n) + o(x^4 n+3)
a) Sean f, F : [a, b] −→ R tales que f es continua y F (x) =
∫ (^) x a f(x)dx^ y sea^ c^ ∈^ (a, b). Demostrad, usando el teorema del valor medio integral, que F ′(c) = f(c) b) Calculad (^) ∫ cos^4 (x)dx
- Sean las curvas y 1 = √^12 1+^1 x 2 e y 2 = (^) (1+x^12 ) 3 / 2 a) Calculad el ´area, A(t), encerrada entre y 1 e y 2 en el intervalo del eje de abcisas [-t,t], con t > 1. b) Calculad t→lim+∞ A(t)
Grupo 3 3 de diciembre de 1999 Tiempo: 1h. 15m. Justificad las respuestas y detallad los c´alculos
a) Pru´ebese que entre cualquier par de ra´ıces reales de la ecuaci´on ex^ sin x = 1 existe al menos una ra´ız real de la ecuaci´on ex^ cos x = −1. Sugerencia: aplicad el teorema de Rolle a la funci´on f tal que f(x) = e−x^ − sin x. b) H´allese el P T ((1 + sin x)^1 /^2 , 0 , 3).
a) En caso de existir, calc´ulese la as´ıntota, cuando x tiende a −∞, de la funci´on f tal que f(x) = x arctan(x − 1). b) Calculad lim n^2 −
sin^2 (1/n)
- Calculad una primitiva para cada una de las funciones f y g tales que:
f(x) =
1 + tanh(x)
g(x) = √ x x^2 + 2x + 2
