Guia de ejercicios Analisis Matematico II, Ejercicios de Matemáticas

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Facultad de Ciencias Exactas, F´ısicas y Naturales

Universidad Nacional de C´ordoba

Gu´ıa de Trabajos Pr´acticos

de An´alisis Matem´atico II

A˜no 2016

Recopilaci´on realizada por Dra Claudia Egea

Ejercicios

1. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R^2 diciendo si son puntos interiores, exteriores, de acumulaci´on, frontera o aislados. a) A = {(x, y) ∈ R^2 : 3 ≤ x ≤ 5 } b) B = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 < 4 } ∪ {(0, 2), (− 1 , 3)} c) C = {(x, y) ∈ R^2 : x + y ≤ 2 } d ) D = {(x, y) ∈ R^2 : 1 < x < 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 2 }
2. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R. a) A = {x ∈ R : |x| < 2 } b) B = {x ∈ R : − 1 < x < 32 } c) C = {x ∈ R : |x − 2 | < 1 } ∪ { 5 }
3. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R^3 a) A = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 < 1 } ∪ {(0, 2 , 0)} b) B = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 = 9}
4. Dado el conjunto A = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + 4y^2 + z

2 9 <^1 }, caracterice los siguientes puntos: a) p 1 = (0, 0 , 2) b) p 2 = (1, 0 , 0) c) p 3 = (0, 0 , 72 )

Sea A ⊂ Rn, se dice que: A es un conjunto Abierto si todo punto de A es un punto interior de A. A es un conjunto Cerrado si todos los puntos frontera de A pertenecen a A.

Ejercicios

1. Decida si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, ambas o ninguna de las dos cosas. a) A = {(x, y) ∈ R^2 : ||(x, y) − (0, 1)|| ≤ 1 } b) B = {(x, y) ∈ R^2 : 4x^2 + 9y^2 = 36} c) C = {(x, y) ∈ R^2 : (x, y) 6 = (2, 1)} d ) D = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 < 2 } e) E = {(x, y) ∈ R^2 : y ≤ 2 x + 1} f ) F = {(x, y, z) ∈ R^3 : z < x + y}

2. Dominio, gr´aficas y curvas de nivel

Ejercicios

1. Determine el dominio de las siguientes funciones:

a) f (x, y) = 2x^3 + y^2 − xy b) f (x, y) = (^23) yx−− 4 yx c) f (x, y) = x^2 ln(y − 2 x) d ) f (x, y) = sen−^1 (x + y)

e) f (x, y) =

4 x^2 + 9y^2 − 36 f ) f (x, y) = 3

xy g) f (x, y) = (^) x 2 xy−y 2

h) f (x, y) =

3 x + 3y + ln(sen y) Resoluci´on: La expresi´on

3 x + 3y + ln(sen y) tiene sentido siempre que la can- tidad debajo de la ra´ız sea no negativa y el argumento de ln sea positivo. Es decir, 3 x + 3y ≥ 0 y sen y > 0 Esto sucede cuando y ≥ −x e y ∈ (2kπ, (2k + 1)π) con k ∈ N. O sea, Df = {(x, y) ∈ R^2 : y ≥ −x ∧ y ∈ (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ N}

2. Esboce la gr´afica de las siguientes funciones:

a) f (x, y) = sen x b) f (x, y) = y^2 c) f (x, y) =

16 − x^2 − 16 y^2 d ) f (x, y) = sen(x^2 + y^2 )

e) f (x, y) = 4 − x^2 − y^2 f ) f (x, y) = y^2 − x^2 g) f (x, y) = (^) x (^2) +^1 y 2 h) f (x, y) = 6 − x − 3 y

Sea f : Rn^ → Rm^ una funci´on, un conjunto de nivel es el conjunto de puntos x ∈ Rn^ tal que su imagen por f es un punto fijo y 0 ∈ Rm, es decir {x ∈ Rn^ : x ∈ Df ∧ f (x) = y 0 }

Ejercicios

1. Esquematice las curvas de nivel de las siguientes funciones:

a) f (x, y) = x − y b) f (x, y) = x^2 + 2y^2 c) f (x, y) = xy

d ) f (x, y) = x^2 − y^2 e) f (x, y) = sen(x^2 + y^2 )

f ) f (x, y) = x 2 y Resoluci´on: Calculemos las curvas de nivel para k = − 2 , 0 , 1 /2. Debemos calcular los conjuntos de puntos (x, y) tales que y 6 = 0 y f (x, y) = k. Es decir, x^2 /y = k, o

3. Esquematice las curvas de nivel de las siguientes funciones:

a) f (x, y) = x − y^2 b) f (x, y) = y − cos x

c) f (x, y) = xy d ) f (x, y) = x^2 + 9y^2

4. Identifique el conjunto S ∈ R^2 definido a) expl´ıcitamente por f (x) = − 2

1 − 9 x^2 b) param´etricamente por f (x) = (3 cos x, 2 sen x) c) impl´ıcitamente por f (x, y) = x^2 + 4y^2 = 9

4. Ejercicios de Aplicaci´on
5. Una placa delgada de metal, localizada en el plano xy, tiene una temperatura T (x, y) en el punto (x, y). Las curvas de nivel de T se llaman isot´ermicas debido a que en todos los puntos sobre una isot´ermica, la temperatura es la misma. Dibuje algunas isot´ermicas si la funci´on temperatura est´a dada por

T (x, y) =

1 + x^2 + 2y^2

2. Si V (x, y) es el potencial el´ectrico en un punto (x, y) del plano xy, entonces las curvas de nivel de V se llaman curvas equipontenciales, ya que el potencial el´ectrico de todos los puntos sobre dicha curva es el mismo. Dibuje algunas curvas equipotenciales si V (x, y) = c/

r^2 − x^2 − y^2 , donde c es una constante positiva.

5. Autoevaluaci´on
6. Defina punto l´ımite, frontera, aislado e interior.
7. Un punto puede ser l´ımite y frontera al mismo tiempo? o l´ımite y aislado? o frontera y aislado?
8. Defina conjunto abierto y cerrado. D´e un subconjunto de R^2 que no sea ni abierto ni cerrado.
9. C´omo se puede definir un conjunto S expl´ıcitamente? o para m´etricamente? o impl´ıci- tamente?
10. Sea S ⊂ R^3 , determine las dimensiones de n y m tal que la funci´on f : Rn^ → Rm^ defina a S param´etricamente o expl´ıcitamente o impl´ıcitamente.
11. Siempre un conjunto S puede definirse de las tres formas?
12. Sea S una esfera centrada en el origen de radio 1, puede definirse expl´ıcitamente?
13. Defina conjunto de nivel.

Cap´ıtulo 2

L´ımites y Continuidad

1. L´ımites

Sean f : Rn^ → Rm^ una funci´on, x 0 un punto de acumulaci´on del dom(f ) y L un punto de Rm. Diremos que existe l´ım x→x 0 f (x) = L

sii dado un entorno cualquiera B(L, ) con centro en L, existe un entorno reducido B(x 0 , δ) − {x 0 } de centro x 0 tal que si x ∈ (B(x 0 , δ) − {x 0 }) ∩ domf entonces f (x) ∈ B(L, ) Es decir,

l´ım x→x 0 f (x) = L sii ∀ > 0 ∃δ > 0 /x ∈ (B(x 0 , δ) − {x 0 }) ∩ domf =⇒ f (x) ∈ B(L, )

Ejercicios

1. Calcule los siguientes l´ımites. Si no existen, explique por qu´e.

a) l´ım (x,y)→(0,0)

x − y x^2 + y^2

b) l´ım (x,y)→(0,0)

8 x^2 y^2 x^4 + y^4

c) l´ım (x,y)→(0,0)

2 xy x^2 + 2y^2

d ) l´ım (x,y)→(0,0)

(x + y)^2 x^2 + y^2

e) l´ım (x,y)→(− 2 ,1)

x^2 + xy + y^2 x^2 − y^2 f ) l´ım (x,y)→(1,2)

xy + y^2

g) l´ım (x,y)→(0,0)

x^2 + y^2 y

h) l´ım (x,y)→(0,0)

y^3 x^2 + y^2 Resoluci´on: Calculemos primero los l´ımites iterados

l´ım x→ 0

l´ım y→ 0

y^3 x^2 + y^2

= l´ım x→ 0

x^2

Mientras que

l´ım y→ 0 l´ım x→ 0

y^3 x^2 + y^2

= l´ım x→ 0

y^3 y^2

= l´ım x→ 0 y = 0

a) f (x, y) =

2 xy x − y

b) f (x, y) =

x^2 + y^2 + 1 x^2 + y^2 − 1

c) f (x, y) =

x^6 + x^3 y^3 + y^6 x^3 + y^3 d ) f (x, y) = sen−^1 (x^2 + y^2 )

e) f (x, y) =

2 x^3 − y^3 x^2 + 3y^2

si (x, y) 6 = (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

f ) f (x, y) =

y^4 x^2 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

g) f (x, y) =

{ (^) xy x^2 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)

Resoluci´on: Como la funci´on

xy x^2 + y^2

es cociente de polinomios, es continua para todo (x, y) que NO anule el denominador, es decir (x, y) 6 = (0, 0) Para estudiar la continuidad de la funci´on en (0, 0) debemos calcular el

l´ım (x,y)→(0,0)

xy x^2 + y^2 En este caso, si estudiamos los l´ımites radiales tomando y = mx, tenemos que

l´ım x→ 0

xmx x^2 + (mx)^2

= l´ım x→ 0

mx^2 x^2 (1 + m^2 )

m 1 + m^2

Como ´este valor depende de la pendiente m, podemos concluir que el l´ımite doble NO existe y por lo tanto la funci´on NO es continua en (0, 0).

Luego f es continua en R^2 − {(0, 0)}.

h) f (x, y) =

2 x^2 − y^2 2 x^2 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)

i) f (x, y) =

xy √ x^2 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

j ) f (x, y) =

x^2 y x^2 + y^2

3 x^2 y x^2 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0)

(0, 0) si (x, y) = (0, 0)

k ) f (x, y, z) = ln

x + y x + z

Resoluci´on: Recordemos que la funci´on logaritmo es continua en su dominio, es decir en aquellos puntos (x, y, z) tales que

x + y x + z

1. Esto sucede si x + y y x + z tienen igual signo. O sea si x > −y y x > −z ´o si x < −y y x < −z.

2. Dada la funci´on f (x, y) =

x^2 + y^2 − x^3 y^3 x^2 + y^2

, con (x, y) 6 = (0, 0). Defina f (0, 0) de manera que f sea continua en todo punto de R^2.

3. Estudie la continuidad de las siguientes funciones:

a) f (x, y) = tan(xy)

b) f (x, y, z) =

x^2 + y^2 + z^2 c) f (x, y) = exy^ sen(x + y) d ) f (x, y) = 3x^2 + 2y − sen(xy)

e) f (x, y) =

xy^2 x^2 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0) ∧ (x, y) 6 = (1, 1) 1 si (x, y) = (0, 0)

1 / 4 si (x, y) = (1, 1)

f ) f (x, y) =

xy x^2 + y^2

si |x| ≥ 1

2 / 5 si (x, y) = (^12 , 0)

3. Ejercicios Adicionales
4. Calcule los siguientes l´ımites.

a) l´ım (x,y)→(1,2)

2 x^2 − xy 4 x^2 − y^2

b) l´ım (x,y)→(0,0)

x^2 y^2 x^2 + y^4

c) l´ım (x,y,z)→(0, 0 ,0)

xyz^2 x^2 + y^2 + z^2

d ) l´ım (x,y)→(0,1)

x(y − 1)^2 √ x^2 + (y − 1)^2

e) l´ım (x,y)→(0,0)

sen

xy^2 √ x^2 + y^2

Cap´ıtulo 3

Derivadas parciales y la diferencial

1. Derivadas Parciales Sean f : R^2 → R una funci´on y (a, b) un punto interior del dom(f ), Diremos que f tiene derivada parcial con respecto a x en (a, b) si existe el siguiente l´ımite ∂f ∂x

(a, b) = l´ım h→ 0

f (a + h, b) − f (a, b) h Similarmente, diremos que f tiene derivada parcial con respecto a y en (a, b) si existe el siguiente l´ımite ∂f ∂y

(a, b) = l´ım h→ 0

f (a, b + h) − f (a, b) h

Si z = f (x, y), otras notaciones para las derivadas parciales son ∂f ∂x

= fx = f 1 =

∂z ∂x ∂f ∂y

= fy = f 2 =

∂z ∂y Llamaremos Gradiente de f al siguiente vector ∇f (x 0 ) = (fx(x 0 ), fy(x 0 ))

Ejercicios

1. Calcule las derivadas parciales de f , g y k en el punto (0, 0) usando la definici´on.

f (x, y) =

2 x^3 − y^3 x^2 + 3y^2

si (x, y) 6 = (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

g(x, y) =

y^4 x^2 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

k(x, y) =

{ (^) xy x^2 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)

Resoluci´on: Debemos calcular el siguiente l´ımite

∂k ∂x

(0, 0) = l´ım h→ 0

k(0 + h, 0) − k(0, 0) h

Reemplazando con los valores de la funci´on, tenemos que

∂k ∂x

(0, 0) = l´ım h→ 0

(0+h) h^2 +0^2 −^0 h

= l´ım h→ 0

h

= l´ım h→ 0

De una manera similar se calcula la derivada respecto de y.

2. Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones y eval´uelas en el punto indi- cado. a) f (x, y) = 2x − 3 y en (3, 2) b) f (x, y) = sen(x − y) en (3, 3) c) f (x, y, z) =

x^2 + y^2 + z^2 en (0, 1 , 2)

d ) f (x, y) =

x − y x + y

en (1, 2)

3. Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones.

a) f (x, y) = xy ln(x + y)

b) f (s, t) =

s √ s^2 + t^2 c) z = arctan(y/x) d ) f (x, y) = xy

4. Muestre que las siguientes funciones satisfacen la ecuaci´on diferencial dada.

a) z = xey, x

∂z ∂x

∂z ∂y

b) z =

x + y x − y

, x

∂z ∂x

• y

∂z ∂y

c) z =

x^2 + y^2 , x

∂z ∂x

• y

∂z ∂y

= z

d ) u = e−a (^2) k (^2) t sen kx, ut = a^2 uxx.

e) u = 1/

x^2 + y^2 + z^2 , uxx + uyy + uzz

2. Funciones Diferenciables Sean f : R^2 → R una funci´on y (a, b) un punto interior de dom(f ). Una ecuaci´on del plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto P = (a, b, c = f (a, b)) es

z − c = fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

Mientras que un vector normal al plano es N = (fx(a, b), fy(a, b), −1). Luego la ecuaci´on vectorial de la recta normal a la superficie en el punto P es

(x, y, z) = (a, b, c) + t(fx(a, b), fy(a, b), −1)

Ejercicios

1. Encuentre las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal al gr´afico de las si- guientes funciones en el punto dado. a) f (x, y) = x^2 + y^2 en (− 2 , 1) b) f (x, y) = cos(x/y) en (π, 3) c) f (x, y) = x^2 en (2, 1) d ) z = ln(2x + y) en (− 1 , 3)
2. Encuentre las coordenadas de todos los puntos de la superficie z = x^4 − 4 xy^3 − 24 y^2 − 2 en los cuales el plano tangente a la superficie es horizontal.

Sean f : D ⊂ R^2 → R una funci´on y (x 0 , y 0 ) un punto interior de D. La funci´on f se dice diferenciable si existe el siguiente l´ımite y es igual a cero

l´ım (h,k)→(0,0)

f (x 0 + h, y 0 + k) − f (x 0 , y 0 ) − fx(x 0 , y 0 )h − fy(x 0 , y 0 )k √ h^2 + k^2

Ejercicios

Determine si las siguientes funciones son diferenciables en (x 0 , y 0 ) = (0, 0)

1. f (x, y) =

2 x^3 − y^3 x^2 + 3y^2

si (x, y) 6 = (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

2. f (x, y) =

y^4 x^2 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

3. f (x, y) =

{ (^) xy x^2 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)

4. f (x, y) =

x^2 y^2 x^2 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)

Resoluci´on: Analicemos si ´esta ´ultima funci´on es diferenciable. Debemos calcular el si- guiente l´ımite

l´ım (h,k)→(x 0 ,y 0 )

f (x 0 + h, y 0 + k) − f (x 0 , y 0 ) − fx(x 0 , y 0 )h − fy(x 0 , y 0 )k √ h^2 + k^2 Para ello necesitamos primero calcular las derivadas parciales

fx(0, 0) = l´ım h→ 0

f (0 + h, 0) − f (0, 0) h Reemplazando con los valores de la funci´on, tenemos que

fx(0, 0) = l´ım h→ 0

(0+h)^202 h^2 +0^2 −^0 h

= l´ım h→ 0

h

= l´ım h→ 0

De manera similar, podemos calcular que ∂f∂y (0, 0) = 0. Luego, el l´ımite que nos interesa calcular es

l´ım (h,k)→(0,0)

f (0 + h, 0 + k) − f (0, 0) − fx(0, 0)h − fy(0, 0)k √ h^2 + k^2

= l´ım (h,k)→(0,0)

h^2 k^2 h^2 +k^2 − √^0 −^0 .h^ −^0 .k h^2 + k^2

= l´ım (h,k)→(0,0)

h^2 k^2 √ (h^2 + k^2 )^3

Para calcular ´este ´ultimo l´ımite, debemos acotar la funci´on por dos funciones con l´ımite conocido, recordemos para ello que h^2 ≤ h^2 + k^2 , y que k^2 ≤ h^2 + k^2 , luego

0 ≤ l´ım (h,k)→(0,0)

h^2 k^2 √ (h^2 + k^2 )^3

≤ l´ım (h,k)→(0,0)

(h^2 + k^2 )(h^2 + k^2 ) √ (h^2 + k^2 )^3

≤ l´ım (h,k)→(0,0)

(h^2 + k^2 )

Como l´ım (h,k)→(0,0)

0 = l´ım (h,k)→(0,0)

(h^2 + k^2 ) = 0, podemos concluir que

l´ım (h,k)→(0,0)

h^2 k^2 √ (h^2 + k^2 )^3

y as´ı f es diferenciable en (0, 0).

Resoluci´on: Dejaremos como ejercicio mostrar que f es continua en (0, 0).

Comencemos calculando las derivadas parciales

∂f ∂x

(0, 0) = l´ım h→ 0

3 h^3 h^2 +0^2 −^0 h

De la misma manera ∂f ∂y

(0, 0) = l´ım h→ 0

303 02 +h^2 −^0 h

Analicemos ahora si f es diferenciable. Debemos calcular el siguiente l´ımite

l´ım (x,y)→(0,0)

f (x, y) − f (0, 0) − 3 x − 0 y √ x^2 + y^2 Reemplazando los valores de f tenemos que

l´ım (x,y)→(0,0)

3 x^3 x^2 +y^2 √−^0 −^3 x^ −^0 y x^2 + y^2

= l´ım (x,y)→(0,0)

3 x^3 − 3 x(x^2 + y^2 ) (

x^2 + y^2 )^3

= l´ım (x,y)→(0,0)

− 3 xy^2 (

x^2 + y^2 )^3

Finalmente este ´ultimo l´ımite no existe ya que si me aproximo al (0, 0) por diferentes rectas y = mx obtengo diferentes valores para ese l´ımite.

4. Muestre que en (0, 0) la funci´on

f (x, y) =

(x^2 + y^2 ) sen

x^2 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0) es diferenciable pero sus derivadas parciales NO son continuas.

5. Muestre que en (0, 0) la funci´on f (x, y) =

x^2 + y^2 es continua pero NO es diferenciable.

Sean f : Rn^ → R una funci´on y x 0 ∈ Rn^ un punto interior de dom(f ). Sea v ∈ Rn^ un

vector de norma 1, o sea ||v|| = 1. Se define la derivada de f en x 0 en la direcci´on de v como ∂f ∂v

(x 0 ) = l´ım t→ 0

f (x 0 + tv) − f (x 0 ) t

Si f es diferenciable en x 0 entonces ∂f ∂v

(x 0 ) = ∇f (x 0 ).v

Ejercicios

a) Para cada una de las siguientes funciones calcule el vector gradiente en el punto dado y la derivada direccional en la direcci´on del vector v.

1. f (x, y) =

x − y en (5, 1), v = (12, 5)

2. f (x, y) = xexy^ en (− 3 , 0), v = 2i + 3j

3. f (x, y, z) = x tan−^1 (yz ) en (1, 2 , −2), v = i + j − k

b) Obtenga una ecuaci´on de la recta tangente a la curva de nivel de f (x, y) = x^2 − y^2 que pasa por el punto (2, −1).

c) Encuentre la ecuaci´on del plano tangente a la superficie de nivel de la funci´on f (x, y, z) = cos(x + 2y + 3z) en el punto (π/ 2 , π, π).

d ) Determine en que direcci´on se produce la m´axima raz´on de cambio de f en el punto dado

1. f (x, y) = ln(x^2 + y^2 ), en (1, 2)

2. f (x, y) = cos(3x + 2y), en (π/ 6 , −π/8)

3. f (x, y, z) = x + y/z, en (4, 3 , −1)

e) Mostrar que la funci´on f definida por

f (x, y) =

|x|y √ x^2 + y^2

si (x, y) 6 = (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

tiene derivada direccional en todas direcciones en el punto (0, 0) pero no es diferen- ciable en ese punto.

3. Funci´on Compuesta - Regla de la Cadena

Sean f : Rn^ → Rm^ y g : Rm^ → Rr^ dos funciones. Se define la funci´on compuesta

g ◦ f : Rn^ → Rp^ a la funci´on definida por g ◦ f (x) = g(f (x))

Ejercicios

a) Calcule la funci´on compuesta en los siguientes ejemplos, en el orden adecuado.

1. f (x, y) =

x x + y

, x, xy^2

y g(a, b, c) = (ln(a + b), b + c, c^2 )