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ANÁLISIS NUMÉRICO
Ruffini y Abel demostraron que, en general, no se puede resolver las ecuaciones
algebraicas de orden n, Pero esta imposibilidad no ocasiona mayores inconvenientes,
pues se dispone de diversos métodos que permiten calcular (según veremos a lo largo
de este tema) los valores numéricos de las raíces con tanta aproximación como se
desee. El proceso a seguir para determinar las raíces reales de una ecuación dada f(x)
= 0 (algebraica o no) suele ser el siguiente:
Se comienza determinando un intervalo donde estén todas, es lo que se llama
acotación de las raíces.
Seguidamente, se subdivide este intervalo en otros tales que cada uno contenga
solamente una raíz, es lo que se denomina separación de raíces.
Finalmente, se reduce la amplitud de dichos intervalos hasta que sus extremos
constituyan valores aproximados aceptables, por exceso o defecto, de la raíz
contenida en su interior, en esto consiste la aproximación de raíces.
Ecuaciones No Lineales con una Variable
El Método de Bisección
Es quizás el método más sencillo de aproximación de las raíces de una ecuación
f(x) = 0, pero en general, bastante lento; aunque puede utilizarse como punto de
partida para otro tipo de métodos.
Pasemos a exponerlo brevemente, en primer lugar sea una ecuación f(x) =0, con
f continua en [a; b] y tal que f(a) y f(b) sean < 0, es decir f posee una raíz en [a; b],
que en lo sucesivo supondremos única. Para buscar dicha raíz, dividimos el intervalo
[a; b] en dos partes iguales por su punto medio
a + b
; Si, f (
a + b
)= 0; entonces r =
a + b
es la raíz buscada
Teorema del Punto Fijo: Método Iterativo General
Dada una ecuación f
( x )
= 0 con f continua y una única raíz r en el intervalo
cerrado [a; b], se quiere aproximar dicha raíz, para lo cual se pasa de alguna manera a
una ecuación equivalente de la forma x =
g
x
(es decir con las mismas raíces, en este
caso con la misma única raíz r en dicho intervalo); entonces f
( x )
= 0 si y solo si r =
g
( r )
o sea r es raíz de f si y sólo si r es un punto fijo de la aplicación g. Para
aproximar esta raíz se parte de algún punto x
o
€ [a; b] se genera la sucesión { x
n
} en
la forma
Xn + 1
= g ( x
n
), el problema que se plantea es saber elegir un método, es
decir una función g de modo que la sucesión {
x
n
} converja a la raíz buscada r.
Métodos Iterativos Particulares de Aproximación de Soluciones
En cada uno de los métodos que se exponen a continuación, se parte de una
ecuación f
( x )
= 0, con f real continua en [a; b] y tal que f
( a )
=, f
( b )
= < 0, es decir f
posee una raíz r en [a; b], que supondremos única.
Método de Aproximaciones Sucesivas
Se suele conocer como tal al método que consiste en pasar de la ecuación f
x
= 0 a la
ecuación equivalente x = x - f
x
= g
x
. Ahora bien si f y f
o
son continuas también lo
serán g y
g
o
, y para tener convergencia, al menos, local del método iterativo
x
o
dado
Si f ( x )= 0 posee una raíz en el punto
r
del intervalo [
a ; b
], la idea de este
método consiste en reemplazar la curva f ( x ) por la recta tangente a la misma en
uno de sus puntos extremos. Suponer, de momento, que se toma la tangente en el
punto b, cuya ecuación es
y − f ( b )
f ’ ( b )( x − b )
y su intersección con el eje
OX está dada por el punto de abscisa
x
1
= b −
f ( b )
f ’ ( b )
Que representa un valor aproximado de
r
. Si ahora volvemos a trazar la
tangente por el punto de abscisa x
1
y cortamos con el eje OX se obtiene la segunda
aproximación de la raíz en la forma
x
2
= x
1
f ( x
1
f ’ ( x
1
Método de la Secante
El método de Newton es, en general, de convergencia cuadrática, obteniendo
buenas aproximaciones en pocas iteraciones, pero tienen el inconveniente de hacer
intervenir la derivada
f ’ ( x )
de la función f ( x )
, y puede suceder que dicha
derivada sea difícil de calcular, cabe entonces la posibilidad de aproximar
f ’ ( xn )
en el método de Newton por un cociente en diferencias de la forma.
f ’ ( x
n
f
(
x
n
)
− f
(
x
n
− 1 )
x
n
− x
n − 1
Dando lugar al método de la secante, cuyo algoritmo adopta la forma:
x
n + 1
= x
n
− f
(
x
n
)
x
n
− x
n − 1
f
(
x
n
)
− f
(
x
n − 1
)
Ahora bien en esta próxima sección se les mostrará una forma más
determinada mediante ejemplos para la verificación práctica de los teoremas antes
mencionados. Luego se les pedirá resolver 2 planteamientos prácticos similares a
los expuestos a continuación además de una parte teórica que los ayudara a
reforzar dichos temas en relación a la aplicación de los métodos numéricos
PROBLEMA 1. Hallar la raíz cuadrada de 10 usando tres iteraciones mediante
el método de Newton y comenzando con el valor inicial x
o
=¿ 3, justificando que
puede utilizarse dicho método. Utilícense dos decimales redondeados en los
cálculos.
Inicialmente se procede a encontrar una expresión matemática que nos ayude
a encontrar la raíz cuadrada de 10, esta sería:
x
2
Luego se determinan las derivadas de dicha expresión:
f ( x )= x
2
f ’ ( x )= 2 x
Sustituimos en la ecuación del método de Newton
x
n + 1
= x
n
f ( x
n
f ’ ( x
n
= x
n
x
2
2 x
Comenzando por el punto x
0
= 3 , trabajando con dos decimales redondeados,
obtenemos las aproximaciones:
x
1
2
x
2
2
x
2
= x
1
− f
(
x
1
)
x
0
− x
1
f
( x 0
)
− f
( x 1
)
Sustituimos el valor obtenido en la ecuación para verificar que la iteración sea menor
que 0.005. Entonces:
f ( 0,736)=cos 0,736−0,736=0.
Calculamos otra iteración hasta lograr que sea menor
x
3
= x
2
− f
(
x
2
)
x
1
− x
2
f
(
x
1
)
− f
(
x
2
)
Sea entones:
[
x
3
− x
2
]
=[ 0.739−0.736]=0.003<0.0 05
La aproximación de la raíz esta en el intervalo x
3
