UNIVERSIDAD AUT ´
ONOMA DE CHIAPAS
Facultad de Ciencias en F´ısica y Matem´aticas
Apuntes del curso de
M´
ETODOS NUM´
ERICOS
realizados por el
Dr. Roberto Arceo Reyes
Agosto - Diciembre 2017
Tuxtla Guti´errez, Chiapas, Mexico
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Apunte sobre métodos Numéricos en ingeniería
Tipo: Apuntes
2019/2020
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UNIVERSIDAD AUT ´ONOMA DE CHIAPAS
Facultad de Ciencias en F´ısica y Matem´aticas
Apuntes del curso de M´ETODOS NUM´ERICOS
realizados por el
Dr. Roberto Arceo Reyes
Agosto - Diciembre 2017
Tuxtla Guti´errez, Chiapas, Mexico
iii
Objetivo El an´alisis num´erico trata de la obtenci´on, descripci´on y an´alisis de algoritmos para el estudio y soluci´on de problemas matem´aticos. El desarrollo continuo de las m´aquinas computadoras y su cada vez m´as f´acil accesibilidad, aumenta a igual velocidad como la importancia de los m´etodos num´ericos en la soluci´on de problemas en las ciencias y la in- genier´ıa. Gran parte de los egresados de una licenciatura en Ciencias F´ısico-Matem´aticas tratan con problemas que requieren del uso de estos m´etodos. El presente curso pretende dar un panorama amplio de la gama de problemas matem´aticos que se pueden resolver usando los m´etodos num´ericos y se obtienen los algoritmos correspondientes. El curso pro- porciona material que debe ser conocido por todo cient´ıfico o ingeniero. El curso requiere de los conocimientos de la l´ınea de c´alculo, el manejo de un lenguaje de programaci´on y el conocimiento de conceptos de ´algebra lineal como espacios vectoria- les, normas y matrices. Al t´ermino del curso el estudiante dominar´a los puntos esenciales del mismo, a saber: estudio y clasificaci´on de errores, soluci´on de ecuaciones no linea- les, aproximaci´on e interpolaci´on, derivaci´on e integraci´on num´erica, soluci´on num´erica de ecuaciones diferenciales ordinarias y soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales y habr´a realizado programas de computadora de los principales m´etodos estudiados.
Prop´osito Conocer´a la importancia del an´alisis num´erico por su aplicaci´on a problemas cl´asicos: soluci´on de ecuaciones, aproximaci´on de funciones, soluci´on num´erica de ecuaciones di- ferenciales ordinarias y soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales; y los conceptos de algoritmo, convergencia y estabilidad de un algoritmo. Calcular los errores absoluto y relativo de una aproximaci´on; · Apreciar la utilidad del valor relativo; · Entender los conceptos de cifras significativas; programaci´on del error en operaciones aritm´eticas; programaci´on del error en la evaluaci´on de funciones y condicionamiento de
TABLA DE CONTENIDOS
LISTA DE TABLAS............................... vii
Lista de Figuras
- INTRODUCCION LISTA DE FIGURAS ix
- 1.1. Problemas cl´asicos del Anal´ısis Num´erico
- 1.2. Descripci´on de un Algoritmo
- Estudio general del error en un proceso num´erico
- 2.0.1. Exactitud y precisi´on
- 2.1. Reglas de redondeo
- Resoluci´on de ecuaciones no lineales
- 3.1. La serie de Taylor
- 3.2. El m´etodo de bisecci´on
- 3.3. El m´etodo de la regla falsa
- 3.4. Iteracci´on de punto fijo
- 3.5. El m´etodo de Newton-Raphson
- 3.6. El m´etodo de la secante
- 3.7. Ra´ıces m´ultiples
- Aproximaci´on e interpolaci´on
- 4.1. M´nimos cuadrados
- 4.2. Interpolaci´on vi
- 4.3. F´ormulas de integraci´on de Newton-Cotes
- 4.4. Regla del trapecio
- 4.5. Regla de Simpson
- valores iniciales 5. Soluci´on num´erica de ecuaciones diferenciales ordinarias: problema a
- 5.1. La serie de Taylor
- 5.2. M´etodo de Euler
- 5.3. M´etodo de Runge-Kutta
- 5.4. Eliminaci´on Gaussiana
- Ejercicios resultos
- Figure 1.1 Representaci´on de la fuerza que actua sobre un
- Figure 1.2 Soluci´on anal´ıtica al problema del paracaidista
- Figure 1.3 Uso de una diferencia finita para aproximar la
- Figure 3.1 Esquema gr´afico del m´etodo de la regla falsa
- Figure 3.2 Esquema gr´afico del m´etodo Newton-Raphson
- Figure 3.3 Esquema gr´afico del m´etodo de la secante
- Figure 4.1 El residuo en la regresi´on lineal representa
- Figure 4.2 Las ´areas sombreadas muestran tri´angulo
- Figure 4.3 Diferencia entre f´ormulas de integraci´on
- Figure 4.4 Esquema gr´afico de la regla trapezoidal
- Figure 5.1 Esquema gr´afico del m´etodo de un paso
- Figure 5.2 M´etodo de Euler (o m´etodo de Euler-Cauchy..............
- Figure 5.3 Soluci´on del m´etodo de Euler
Bibliograf´ıa
[1] Atkinson, K. (1989). An Introduction to Numerical Analysis. Wiley, 2nd edition.
[2] Hamming, R.W. (1987). Numerical Methods for Scientists and Engineers. Dover Pu- blications, 2nd edition.
[3] Burden, R.L., Faires, J. D. (2002). Anlisis Numrico. Mxico: International Thomson Editores, S.A. De C.V.
[4] Henrici, P. (1980). Elementos de Anlisis Numrico. Mxico: Editorial Trillas.
[5] Carnahan, B., Luther, H. A., Wilkes, J.O. (1969). Applied Numerical Methods. Wiley, 1st edition.
[6] Kincaid, D.R., Cheney, E.W. (2001). Numerical Analysis: Mathematics of Scientific Computing. Brooks Cole, 3rd edition.
[7] Gibbs, W.R. (2001). Computation in Modern Physics. USA: World Scientific Publis- hing Company, 2nd editition.
xi
- Conduce a resultados predecibles, y en consecuencia puede emplearse para prop´ositos de predicci´on. La aceleraci´on de la ecuaci´on (1.1) puede despejarse,
a = F/m (1.2)
esta ecuaci´on puede usarse para calcular la velocidad final de un cuerpo en ca´ıda libre cerca de la superficie terrestre. El cuerpo en descenso ser´a un paracaidista.
Figura 1.1: Representaci´on de las fuerzas que act´uan sobre un paraca´ıdista en descenso. FD es la fuerza hacia abajo debido a la atracci´on de la gravedad. FU es la fuerza hacia arriba debido a la resistencia del aire.
Podemos crear un modelo matem´atico al expresar la aceleraci´on como la raz´on de cambio de la velocidad con respecto al tiempo ( dvdt ) y sustituir en la ecuaci´on (1.1) para dar
m · dvdt = F (1.3)
donde v es la velocidad.
Para un cuerpo que cae dentro del per´ımetro de la Tierra, la fuerza total est´a compuesta por dos fuerzas contrarias. La atracci´on hacia abajo debida a la gravedad FD y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire FU.
F = FD + FU (1.4)
Si a la fuerza hacia abajo se les asiga un signo positivo, se puede usar la segunda ley para formular la fuerza debida a la gravedad como
FD = mg (1.5)
donde g es la constante de gravitac´on, o la aceleraci´on debida a la gravedad, con un valor de 9.8 m/s 2 (mks) o 980 cm/s 2 (cgs).
La resistencia del aire puede formularse de varias maneras, una es suponer que es linealmente proporcional a la velocidad,
FU = −cv (1.6)
donde c es una constante llamada el coeficiente de arrastre (en gramos por segundo o kg/s).
Combinando las ecuaciones (1.3) a (1.6),
m dvdt = mg − cv (1.7)
dv dt =^ g^ −^
c m v^ (1.8)
dv (g − (^) mc v) =^ dt,
(1 − (^) mg c v) = e −^ mc^ t
c mg v^ = (1^ −^ e^
( (^) mc )t (^) )
−→ v(t) = mgc 1 − e −^ mc^ t^
Ejemplo: Soluci´on anal´ıtica al problema del paracaidista que cae. Un paracaidista con una masa de 68, 100 gramos salta de un aeroplano. Apl´ıquese la ecuaci´on (1.9) para calcular la velocidad antes de abrir el paracaidas. El coeficiente de arrastre c es aproximadamente igual a 12,500 g/s.
Soluci´on: Al sustituir los valores en la ecuaci´on (1.9) se tiene,
v(t) = (980cm/s^ (^2) )(68, 100 g) 12 , 500 g/s [1^ −^ exp(−^
12500 g/s 68 , 100 g t)]
v(t) = (5339. 04 cm/s)[1 − e −^0.^18355 t/s^ ]
Al dar valores a t se obtiene, t(s) v(cm/s)
Figura 1.2: Soluci´on anal´ıtica al problema del paracaidista.
A la ecuaci´on (1.9) se le llama una soluci´on anal´ıtica exacta. Si no es posible solucionar la ecuaci´on se tiene que usar una soluci´on num´erica que se aproxime a la soluci´on exacta, y emplearemos un m´etodo num´erico. La segunda ley de Newton en la aceleraci´on se puede aproximar,
dv dt ≈^
∆v ∆t =^
v(t (^) i+1 ) − v(t (^) i ) t (^) i+1 − t (^) i^ (1.10)
donde ∆v y ∆t son diferencias en la velocidad y el tiempo calculadas sobre intervalos
Ejemplo 2: Soluci´on num´erica al problema del paracaidista que cae. Al hacer lo mismo pero con un incremento de 2 s. En t 1 = 0 la v(t (^) i )=0 y se puede estimar v(t (^) i+1 ) en t (^) i+1 =2 s.
i = 1 : t 1 = 0 y v(t 1 ) = 0
v(t 2 ) = v(t 1 ) + [980 − 1250068100 v(t 1 )(t 2 − t 1 )
t 2 = 2s
v(t 2 ) = (980)(2 − 0) = 1960 cms
i = 2 :
v(t 3 ) = v(t 2 ) + [980 − 1250065100 v(t 2 )](t 3 − t 2 )
t 3 = 4s
v(4) = 1960 + [980 − 1250068100 (1960)](4 − 2)
v(4) = 3200. 5 cms
i = 3 :
v(t 4 ) = V (t 3 ) + [980 − 1250068100 v(t 3 )](t 4 − t 3 )
t 4 = 6s
v(6) = 3200.5 + [980 − 1250068100 3200 .5](6 − 4)
v(6) = 3985. 6 cms
v(8) = 4482. 5
v(10) = 4796. 9
v(12) = 4995. 9
t(s) v(cm/s)
0 0 2 1960. 4 3200. 6 3985. 8 4482. 10 4796.
1.2.3. FORTRAN
Es la contrucci´on de f´ormula translation (traducci´on de f´ormulas), y se desarroll´o en la dec´ada de 1950. Debido a que fue expresamente dise˜nado para c´alculos, ha sido el lenguaje m´as usado en la ingenier´ıa y la ciencia.
1.2.4. Rastreo y prueba
Despu´es de escribir el c´odigo del programa, se debe probar para buscar los errores, a los que se les llama bugs. Al proceso de localizar y corregir los errores se les conoce como rastreo.
1.2.5. Documentaci´on
Despu´es del rastreo y probado del programa, ´este se debe documentar. La documen- taci´on es la inclusi´on de comentarios que le permiten al usario implementar el programa m´as f´acilmente.
1.2.6. Almacenamiento y mantenimiento
Los pasos finales del programa son el almacenamiento y mantenimiento del mismo. El mantenimiento involucra acondicionar el programa e incluso hacerle cambios que lo hagan accesible a problemas reales. El almacenamiento se refiere a la manera en que los programas se guardan para uso posterior.
Compilaci´on en fortran: gf ortran −o nombre : del : ejecutable codigo : f uente.f or
Tabla 1.1: Cinco pasos necesarios para producir y dar soporte a programas de alta calidad.