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SOLUCIONARIO
CASOS DIDÁCTICOS
Lea atentamente cada una de las situaciones y resuelva cada uno de los problemas planteados
sobre aplicaciones de funciones lineales.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 01
El contrato de conexión a internet en la empresa Bantel es de s/ 20 mensuales y s/
0.4 por cada hora de conexión. El contrato de la empresa Bistel S/ 15 soles
mensuales y s/ 0.6 por cada hora de conexión.
A. Identifica las variables relacionadas a los servicios que ofrece las empresas de internet,
asígnale una notación a cada una y cita su respectiva unidad. Asimismo, confirma la relación
de dependencia entre las variables e indica la variable independiente y la variable
dependiente.
CARACTERÍSTICA
VARIABLE
NOTACIÓN UNIDAD TIPO
Precio que se paga C Soles V. dependiente
Tiempo x Hora V.
independiente
B. Encuentra el modelo matemático correspondiente a cada empresa.
DATOS SIGNIFICATIVOS PROCESO
V. Dependiente : C
V. Independiente: x
Empresa Bantel
Costo de contrato mensual: S/ 20
Costo por hora consumida: S/ 0.
Modelo matemático:?
Empresa Bistel
Costo de contrato mensual: S/ 15
Costo por hora consumida: S/ 0.
Modelo matemático:?
Empresa Bantel
C(x) = 20 + 0.4x
Empresa Bistel
C(x) = 15 + 0.6x
Respuesta: El modelo matemático de la empresa Bantel C(x) = 20 + 0.4x y de la
empresa Bistel es: C(x) = 15 + 0.6x
C. ¿Cuánto costara si en un mes se usa 120 horas de conexión?
DATOS SIGNIFICATIVOS PROCESO
Tiempo de conexión: 120 h
Empresa Bantel C(x) = 20 + 0.4x
Empresa Bistel C(x) = 15 + 0.6x
Empresa Bantel
C(120) = 20 +0.4(120)
C(120) = 20 +
Costos mensual:? C(120) = 68
Empresa Bistel
C(120) = 15 +0.6(120)
C(120) = 15 +
C(120) = 87
Respuesta: en la empresa Bantel se paga S/ 68 por 120 horas y la empresa Bistel S/ 87.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 02
Una pequeña empresa, se ha visto en la necesidad de reinventarse en la pandemia, fabricando
mascarillas de tela reutilizables, tiene costos fijos mensuales de S/ 1 400, costo por materia
prima de S/ 1,5, costos de mano de obra de S/ 0,50 y costos de distribución de S/ 0,20 por
mascarilla. Además, se sabe que cada mascarilla se vende a S/ 5.
Determinar:
a) La función costo:
Costo fijo: 1400
Costo materia prima: S/ 1,
Costo mano de obra: s/ 0,
Costo de distribución: S/ 0,
C(x)=1400 + (1,5+0,5+0,2)x
C(x)=1400 + 2,2x
b) La función ingreso:
Ingreso = Precio de venta por
cantidad de unidades
I(x) = 5x
c) La función utilidad
Ganancia = Ingreso – Costos
U(x) = 5x – (1400 + 2,2x)
U(x) = 5x – 1400 - 2,2x
U(x) = 2,8x – 1400
d. ¿Cuántos mascarillas se deben vender para obtener una utilidad mensual de S/ 5600?
U(x)= 5600
Pero G(x) = 2,8x – 1400
5 600 = 2,8x – 1400
5 600 + 1400 = 2,8x
7 000 = 2,8 x
2 500 = x
Se deben vender 2500 mascarillas para obtener una utilidad mensual de S/ 5600
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 04
En la Maternidad de Lima un bebe pesó 3.1 kg al nacer. Sabiendo que el
aumento de peso mínimo habitual de un bebe es 20 g cada día durante las 6
primeras semanas de vida, Determine:
a) Determine el modelo matemático del peso mínimo habitual (en gramos)
obtenido por él bebe en función a su edad (en días) e indique el dominio de la función.
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la
estrategia
V. Dependiente : ¨Peso: P
V. Independiente: Tiempo: x
Peso del bebe al nacer: 3.1 kg
Aumento de peso habitual por día : 20g
Durante las 6 primeras semanas de vida
P ( x )= 3100 + 20 x ; donde 0 ≤ x ≤ 42
D(p)=[0; 42]
Interpretamos el resultado: El modelo matemático del peso mínimo habitual (en
gramos) obtenido por él bebe en función a su edad (en días) es P ( x )= 3100 + 20 x y el
dominio de la función es D(p)=[0; 42]
b) ¿Cuál será el peso mínimo habitual del bebe pasadas las dos primeras semanas de vida?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
V. Dependiente : ¨Peso: P
V. Independiente: Tiempo: x
Modelo matemático:
P ( x )= 3100 + 20 x
Tiempo: 2semans= 14 días
P ( 14 ) = 3100 + 20 ( 14 )
P ( 14 )= 3380
Interpretamos el resultado: El peso mínimo habitual del bebe pasadas las dos primeras
U(x)
12
0
-
semanas de vida es de 3380 gramos.
c) ¿Cuántos días han pasado después del nacimiento si él bebe tiene un peso mínimo habitual de 3,
kg?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Peso: 3700 gramos
Modelo matemático:
P ( x )= 3100 + 20 x
Tiempo:?
3700 = 3100 + 20 x
3700 − 3100 = 20 x
600 = 20 x
30 = x
Interpretamos el resultado: S i él bebe tiene un peso mínimo habitual de 3,7 kg, han
pasado 30 días después de su nacimiento.
d) Grafique y determine el dominio y rango de la situación planteada.
Gráfico Dominio y rango
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 05
Para medir temperaturas, como alternativa a la escala Celsius, todavía se
usa otra escala llamada Fahrenheit (especialmente en EE. UU.). La tabla de
abajo ilustra la conexión entre las dos escalas.
OBSERVACION: Los incrementos iguales de la temperatura medida en la escala Celsius
obviamente deben corresponder a incrementos iguales del valor en grados Fahrenheit, y esto es
compatible solo con una forma lineal.
a) Exprese la función lineal que permita encontrar los grados Fahrenheit en función de los
grados Celsius.
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Grados Celsius: c
Grados Fahrenheit: F
Pares ordenados:
( 0 ; 32 ) y ( 100 ; 212 )
La función lineal que
Estableciendo las condiciones de pertenencia a los
puntos: ( 0 ; 32 ) y ( 100 ; 212 )
x
1
; y
1
x
2
; y
2
para esta situación determinamos la pendiente (m)
mediante su definición:
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Función Costo: C ( n )
n° de personas: n
Costo para grupos de hasta 10
personas: S/9.
Costo para grupos de más de 10
personas: un sol menos por cada
boleto adicional
El modelo matemático del costo
para un grupo de n personas:?
C ( n )={9.5 n;n ≤ 10 9.5 ( 10 ) +8.5 ( n − 10 ) ;n > 10
C ( n )={9.5 n; n ≤ 10 … … ..( 1 ) 95 +8.5 ( n − 10 ) ; n > 10 … … ..( 2 )
Interpretamos el resultado: El modelo matemático del costo de comprar n boletos es:
C ( n )={9.5 n; n ≤ 10 10 +8.5 n ;n > 10
b) Calcule el costo para un grupo de 9 personas y otro grupo de una docena de personas.
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Función Costo:
C ( n )
n° de personas: 9
n° de personas: 12
El modelo matemático del
costo de comprar n boletos
es:
C ( n )={9.5 n;n ≤ 10 10 +8.5 n ;n > 10
n=9 ….en (1)
C ( 9 )=9.5 ( 9 )
n=12 ….en (2)
C ( 12 )= 10 +8.5 ( 12 )
C ( 12 )= 10 +8.5 ( 12 )= 112
Interpretamos el resultado: El costo por la compra de 9 boletos es de S/85.5 y el costo
de una docena de boletos es de S/112.
c) Si el costo para un grupo de personas fue de S/180 ¿Cuántos boletos se vendieron?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Función Costo: S/ 180
n° de personas: n
El modelo matemático del
costo de comprar n boletos
es:
C ( n )={9.5 n;n ≤ 10 10 +8.5 n ;n > 10
180 = 10 +8.5 n
170 =8.5 n
20 = n
Interpretamos el resultado: Fueron de 20 boletos vendidos para un costo de S/180.
significativos
La empresa de taxis HUBER
Distancia recorrida: 24
Costo: C(x)
La empresa de taxis ZAZA
Distancia recorrida: 24
Costo: C(x)
La empresa de taxis HUBER
C(24)=3(24) + 5
C(24)=
La empresa de taxis ZAZA
C(24)=4(24) + 7
C(24)= 103
Interpretamos el resultado: El costo por recorrer 24km en la empresa Huber es de S/77 y
en la empresa ZAZA es S/
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 02
El costo mensual de conducir un auto alquilado depende del número de
kilómetros recorridos. Jorge encontró que en mayo su costo de conducción fue
de $380 por 480 kilómetros y, en junio, su costo fue de $460 por 800 kilómetros.
Suponiendo que hay una relación lineal entre el costo mensual C de conducir un
auto y la distancia recorrida d.
Resultados de búsqueda | Rentalcars.com
a) Encuentre la función lineal que relaciones C y d.
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Mes
Distanci
a (km)
Costo
Mayo 480 380
Junio 800 460
Calculando la pendiente (m) correspondiente se tiene:
m =
Entonces por punto (480; 380) y pendiente m
se tiene:
y − 380 =
( x − 480 ) 🡺 C( d )=
d
Interpretamos el resultado: El modelo lineal resulta: C
( d )=
d
b) Si Jorge quiere hacer un viaje en julio de ida y vuelta a Chiclayo distante a 750 km de Lima.
¿Cuál es el costo mensual que tendría que pagar?
DATOS SIGNIFICATIVOS PROCESO
Costo:?
Modelo matemático:
C
( d )=
d
Distancia total de Lima a
Chiclayo: 1500 km
La función es: C
( d )=
d
Como d=1500, entonces:
C
( d )=
🡺 C(1500) = $
Interpretamos el resultado: El costo mensual resulta $
c) ¿Cuál es la distancia recorrida si el costo fue de 397.5 dólares?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Costo: $397.
Modelo matemático:
C
( d )=
d
Distancia recorrida:?
C
( d )=
d
d
d
d = 550
Interpretamos el resultado: Si el costo fue de 397.5 dólares, la distancia recorrida fue
de 550km
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 03
La compañía BH ELECTRICAD dedicada a la fabricación de estabilizadores tiene costos fijos de
$ 6 000 mensuales y un costo de producción de $ 12 , costo de mano de obra $ 2 , costo de
distribución de $ 1 por estabilizador. Si el precio de venta unitario es de $ 27 y se produce y vende
“ x ” estabilizadores.
Determinar:
a) La función costo
C ( x )= 6000 + 15 x
b) La función ingreso
I = 27 x
c) La función utilidad
U ( x )= 12 x − 6000
d) Calcule la cantidad de estabilizadores que se debe producir y vender para obtener
utilidades mensuales de $12 000
U ( x )= 12 000
12 x − 6 000 = 12 000
12 x = 18 000
x = 1500
Respuesta se necesita 1500 estabilizadores para obtener una utilidad de $12 000
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 04
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 05
La empresa E ∧ M fabrica y vende polos con diseños de la selección peruana. Los mencionados
polos tienen un precio unitario de venta de S/. 18 y un costo unitario de S/. 12. Si los costos fijos
ascienden a S/. 3 000.
Determinar:
a) La función costo
C ( x )= 3000 + 12 x
b) La función ingreso
I = 18 x
c) La función utilidad
U ( x )= 6 x − 3000
d) El punto de equilibrio: U(x)=
6 x − 3000 = 0
6 x − 3000 = 0
6 x = 3000
x = 500
Cuando se fabrican o se venden 500 polos
e) Graficar la función:
C(x)=
3000 + 12 x
X C(x)
I(x)= 18x
x I(x)
G(x)=6x - 3000
x G(x)
c) ¿Cuántos años deben trascurrir, para que el automóvil tenga un precio de $ 8000?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Precio auto = p = $ 8000
¿Tiempo trascurrido=t=?
p = f(t) = -1200t + 20000
Reemplazando (p = $ 8000)
8000 = -1200(t) + 20000
1200t = 20000 – 8000
1200t = 12000 t= 10 años
Interpretamos el resultado: Cuando el automóvil tiene un precio de $ 8000, ha de haber
trascurrido 10 años.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 07
Una enfermera del hospital Arzobispo Loayza, observa que, en la
cartilla de control de vacunación, a los 2 años el niño pesaba 12 Kg
y 2 años después pesaba 16 Kg. Sabiendo que el peso p (Kg) en la
infancia se relaciona linealmente con la edad t (en años).
a) Exprese la función lineal que permita encontrar el peso del niño en relación al tiempo.
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Tenemos:
(x1; y1) = (2; 12)
(x2; y2) = (4; 16)
Determinando la pendiente(m):
m =
y 1 − y 2
x 1 − x 2
Determinando la función lineal:
y − y 1 = m ( x − x 1 )
p − 12 = 2 ( t − 2 )
p − 12 = 2 t − 4
p = 2 t − 4 + 12
p = 2 t + 8
Interpretamos el resultado: p = f ( t )= 2 t + 8
b) ¿Cuánto pesará el niño al cumplir los 8 años?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Tiempo : 8 años
Peso del niño:?
Modelo matemático:
Reemplazando (t = 8 años)
p = 2t + 8
p = 2(8) + 8
p = f ( t )= 2 t + 8 p = 16 + 8 = 24 p = 24 Kg
Interpretamos el resultado: A los 8 años de edad, el niño debe pesar 24 Kg.
c) ¿A qué edad pesará 32 kg?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Peso del niño :32Kg
Tiempo: t
Modelo matemático:
p = f(t) = 2t + 8
Reemplazando (p = 32Kg)
p = 2t + 8
32 = 2t + 8
2t = 32 - 8 2t = 24 t = 12 años
Interpretamos el resultado: Si el niño pesa 32Kg tiene 12 años de edad.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 8
La empresa Confelav cobra S/ 6 por la confección de una mascarilla si, el pedido
es hasta una docena; mientras que para pedidos superiores a una docena, cobra
por cada mascarilla adicional S/ 5 Determine:
a) El modelo matemático del costo de confección en función al número de mascarillas.
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Precio de pedidos hasta una
docena (Costo = S/ 6)
Pedidos adicionales superiores a
una docena (Costo S/ 5)
N° de mascarillas : x
Costo: C(x)
Costo ={ 6 x , x ≤ 12 6.12+5. ( x − 12 ) , x > 12
Donde: x>12: 6.12 +5. (x-12) =72 + 5x – 60 = 5x + 12
Costo ={ 6 x , x ≤ 125 x + 12 , x > 12
Interpretamos el resultado:
Costo ={ 6 x , x ≤ 125 x + 12 , x > 12
b) Calcule el costo por el pedido de 25 mascarillas
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Cantidad de mascarillas
pedidas: 25
Costo:?
Modelo matemático:
Costo ={ 6 x , x ≤ 125 x + 12 , x > 12
C(x) = 5x + 12
C(25) = 5(25) + 12
C(25)= 125 + 12
C(25) = 137
Interpretamos el resultado: Por el pedido de 25 mascarillas, se pagó S/ 137
Interpretamos el resultado:
c) Si la asociación cobra S/ 1700 por la participación de una delegación de más de 5 personas, a
¿cuántas personas inscribió la empresa?
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 10
La industria de bebidas “Kola Perú” dedicada a la fabricación de refrescos, tiene costos fijos
mensuales de S/ 2 400, costo unitario de producción de S/ 3 por litro. Además, se sabe que el litro
de refresco se vende a S/ 3,50.
Determinar:
a) La función costo
C(x)=2400+3x
b) La función ingreso
I(x)=3.50x
c) La función utilidad
U(x)= 0.50x-
d) ¿Cuántos litros de refresco se deben vender para obtener una utilidad mensual de S/ 25
U(x)= 25 600
0.50x-2400=25 600
0.50x= 28 000
x =56 000
Se deben vender 56 000 litros de refresco, para obtener una utilidad mensual de S/ 25 600
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 11
La empresa de confecciones “J&H” cobra S/ 35 por la confección de cada
camisa si el pedido es hasta una docena; mientras que para pedidos mayores a
una docena, cobra por cada camisa adicional S/ 30. Determine:
a) El modelo matemático del costo en función al número de camisas.
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Número de camisas: x
Costo: C(x)
C ( x )={ 35 x , x ≤ 1235 ( 12 )+ 30 ( x − 12 ) , x > 12
Interpretamos el resultado:
C ( x )={ 35 x , x ≤ 1235 ( 12 )+ 30 ( x − 12 ) , x > 12
b) Calcule el costo para producir 9 camisas.
