guia practica numero 6, Ejercicios de Matemáticas

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GUÍA PRÁCTICA N°

MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL

FORMACIÓN HUMANÍSTICA

EXPERIENCIA CURRICULAR DE PENSAMIENTO LÓGICO

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MATERIAL INFORMATIVO

MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL

1. MAGNITUD Y CANTIDAD

Magnitud: Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser

percibido por algún medio. Además, posee la característica de variar, ya sea

aumentando o disminuyendo, (Asociación Fondo de Investigadores y

Editores, 2006, p. 470).

Cantidad: Es todo estado particular de una magnitud, resulta de medir una

determinada magnitud en ciertas unidades, (Asociación Fondo de

Investigadores y Editores, 2006, p. 470).

Ejemplo:

La siguiente tabla muestra algunas magnitudes y su correspondiente unidad

de medida:

Magnitud Cantidad

Tamaño de un terreno

(área)

120 m

2

Peso de una persona 68 kg

Sueldo de una persona S/ 2 500

Velocidad de un

automóvil

90 km/h

Temperatura 18° C

2. MAGNITUDES PROPORCIONALES

Relaciones entre dos magnitudes

Dos magnitudes son proporcionales, si al variar los valores de una de ellas,

los valores correspondientes de la otra también varían proporcionalmente.

Las magnitudes proporcionales pueden ser directamente proporcionales e

inversamente proporcionales (Asociación Fondo de Investigadores y Editores,

2006, p. 470):

A.Magnitudes directamente proporcionales (DP)

Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar los

valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra, también lo

hacen proporcionalmente. Análogamente si una disminuye, la otra lo hará

proporcionalmente.

Es decir, si al multiplicar el valor de una de ellas por un número, entonces

la otra también queda multiplicada por el mismo número, y si al dividir el

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B.Magnitudes inversamente proporcionales (IP)

Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar los

valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra

disminuyen en la misma proporción. Análogamente si una de ellas

disminuye, la otra aumentará proporcionalmente

Es decir, si al multiplicar el valor de una de ellas por un número, entonces

la otra queda dividida por el mismo número, y si al dividir una de ellas por

un número, la otra queda multiplicada por el mismo número.

Analicemos el siguiente caso: el recorrido que realiza un bus

interprovincial para ir de Lima a Arequipa es de aproximadamente 1000

km. Teniendo en cuenta que el bus viaja a velocidad constante durante

todo su recorrido, obtenemos la siguiente tabla que relaciona la velocidad

y el tiempo de viaje.

Velocidad(km/

h)

Tiempo (h) 20 12,5 10 8

En los valores de la tabla observamos que, si la velocidad del bus se

multiplica por un número, entonces el tiempo quedará multiplicado por el

inverso del mismo número. Teniendo en cuenta cada par de valores

obtenemos:

En general, dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si el

producto de sus valores correspondiente es constante.

A IP B  ( valor de A )( valor de B )  k

(k es constante de proporcionalidad)

Algunas magnitudes inversamente proporcionales son:

MAGNITUD 1 RELACIÓN MAGNITUD 2

Número de

inasistencias al

trabajo

IP Remuneración

Número de

trabajadores

IP

Número de días

para terminar un

trabajo

Velocidad de

desplazamiento

IP Tiempo de viaje

Altura msnm IP

Presión

atmosférica

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Ejemplo 1:

Indique, entre los siguientes pares de magnitudes, los que son

directamente proporcionales y los que son inversamente proporcionales.

El número de obreros empleados y el trabajo realizado. ( )

Los días de trabajo y las horas diarias que se trabajan ( )

La velocidad de un móvil con el tiempo empleado en

recorrer un espacio.

El espacio con el tiempo, si la velocidad no varía. ( )

El peso y el precio de una mercancía, cuando se paga a

razón del peso.

El número de obreros empleados y el tiempo necesario

para hacer una obra.

El número de cosas y el precio, cuando se paga a razón

del número.

El tiempo y las unidades producidas ( )

La longitud con el ancho y la altura y en general

cualquier dimensión de un cuerpo con otra, si la

superficie o el volumen permanecen constantes.

Ejemplo 2:

Carlos trabaja como vendedor en una tienda de electrodomésticos y recibe

una comisión de S/ 150 por cada televisor vendido cuyo valor sea mayor a

S/ 1000. ¿cuántos televisores cuyo valor sea mayor a S/ 1000 tendrá que

vender para recibir S/ 1650 de comisión?

Solución:

Se sabe que, si se incrementa el número de televisores vendidos,

entonces la comisión será mayor. Por lo tanto, el número de televisores

vendidos es directamente proporcional a la comisión.

N° de televisores DP Comisión

Por lo tanto se cumple:

Si por cada televisor recibe una comisión de S/ 150; y por x televisores

vendidos se recibe S/ 1650, entonces:

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Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son directamente

proporcionales a los índices.

En general repartir una cantidad N DP a los índices 1 2 3

n

a a a a

Se cumple que las partes obtenidas: 1 2 3 n

P , P , P , .... , P

son DP a los índices.

1 2 3

1 2 3

n

n

P P P P

k

a a a a

, donde 1 2 3

n

N  P  P  P   P

B.Reparto Simple Inverso:

Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son inversamente

proporcionales a los índices.

En general repartir N IP a los índices 1 2 3

n

a a a a

Se cumple que las partes obtenidas: 1 2 3 n

P , P , P , .... , P

son IP a los índices.

1 1 2 2 3 3

n n

P a  P a  P a   P a  k

Además: 1 2 3

n

N  P  P  P   P

Ejemplo 5:

Andrés, Benito y Carlos se asocian para realizar un negocio de venta de

autopartes, para lo cual Andrés aporta S/ 2000, Benito S/1800 y Carlos S/

800. Si se proyecta una utilidad de S/ 23 000. ¿Cuánto le correspondería

a cada uno?

Solución:

El reparto de las utilidades debe de darse de manera directamente

proporcional al aporte de cada uno y esto debe sumar el total.

Sean A , B y C las cantidades que le corresponde de la utilidad a cada uno

respectivamente, tenemos

A  B  C  23 000

Como la utilidad que le correspondería es DP a sus aportes, se determina

la constante de proporcionalidad:

A k

A B C

k B k

C k

Reemplazando las cantidades que le corresponde a cada uno llegamos a la

ecuación:

Por lo tanto, lo que cada uno recibirá, es:

Andrés: A = 2000(5) = 10 000 soles.

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Benito: B = 1800(5) = 9 000 soles.

Carlos: C = 800(5) = 4000 soles.

Ejemplo 6:

El gerente de una empresa de servicios de taxi desea disminuir el índice

de infracciones a las normas de tránsito y decide repartir un bono de S/ 8

460 entre sus trabajadores. El reparto se realizará de manera

inversamente proporcional a las infracciones cometidas según la

información de la tabla:

Trabajador N° de infracciones

Javier 4

Leonardo 5

Carlos 3

Calcular el monto que recibirá cada uno.

Solución:

El reparto del bono debe de darse de manera inversamente proporcional

al número de infracciones, y esto debe dar el total.

Si el reparto es inversamente proporcional a 4, 6 y 3; entonces

determinamos la constante de proporcionalidad.

k

J

k

J x L x C x k L

k

C

Replanteando las cantidades que le corresponde a cada uno llegamos a la

ecuación:

Por lo tanto, cada uno recibe:

Javier:

J   soles

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Además, se sabe que una persona recibió 20 mg de medicamento y otra

persona que pesaba 7 Kg menos recibió 18 mg. Determina la masa de ambos

pacientes.

Datos significativos

Planteamiento y solución

Respuesta:

3. Cuatro estudiantes de la UCV sede Lima: Vanessa, Magaly, Lourdes y Carolina

hicieron un viaje de pasantía a la UCV sede Huaraz. Reunieron el dinero que

cada una tenía S/ 600 de Vanessa, S/ 700 de Magaly, S/ 900 de Lourdes y S/

800 de Carolina. Al regresar les quedó un total de S/ 150 que decidieron

repartirlo de manera proporcional al monto que cada una aporto. Calcule

cuanto le tocó al estudiante que más aportó.

Datos significativos

Planteamiento y solución

Respuesta:

4. En un concurso de matemáticas se entregaron 20 problemas y se premiaron a

los 3 primeros lugares en partes inversamente proporcionales al número de

problemas no resueltos. El primer puesto resolvió 19 problemas, el segundo

puesto resolvió 18 problemas y el tercer puesto resolvió 16 problemas.

¿Cuánto le corresponde a cada uno si el premio es de S/ 700?

Datos significativos

Planteamiento y solución

Respuesta:

5. EL PERÚ EN CIFRAS DEL AÑO 2017

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Fuente: INEI

Densidad de población

Es un indicador que nos permite saber cuánta población habita en una zona

territorial, como un país, una región, una comuna, etc. Así como también

saber cuándo la población está concentrada o dispersa, respecto al territorio

que habitan.

Ejemplo: Un área geográfica tiene una población de 9.800 habitantes y tiene

una superficie de

15 km

2

, por tanto, la densidad de población es de 653 hab/km

2

.

En base a la información presentada responde:

A. Comenta sobre lo que nos brinda la información.

B. ¿Qué magnitudes y unidades intervienen en la densidad poblacional de

nuestro país?

C. Teniendo en cuenta los datos anteriores calcular la densidad poblacional

del Perú en el 2017. Interpretar la misma.

D. Si el número de habitantes en nuestro país aumenta, ¿Cuál sería el

comportamiento de nuestra densidad poblacional? Justifica tu respuesta.

E. Asumiendo que las cifras reportadas por el INEI se relacionan

proporcionalmente en el citado año, estimar:

• La cantidad de personas que tendrían cobertura de salud, de una

población total de 100,000 peruanos.

• La población económicamente activa por cada 100 peruanos.

PENSAMIENTO EN ACCIÓN

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F. Analizando el porcentaje de crecimiento de las viviendas en edificio en los

últimos años, ¿cuál es tu apreciación crítica al respecto?

SITUACIÓN CONTEXTUAL N° 02

MINSA: CASOS CONFIRMADOS POR CORONAVIRUS COVID-

ASCIENDEN A 1 338 297 EN EL PERÚ (COMUNICADO N°440)

Fuente: MINSA

2 de marzo de 2021 - 9:20 p. m.

Con relación al procesamiento de las

muestras (moleculares, antigénicas y

serológicas o rápidas) por coronavirus

COVID-19, el Ministerio de Salud

(Minsa) informa a la población lo

siguiente:

1. Hasta las 22:00 horas del día 1 de marzo de 2021 se han procesado

muestras para 7 648 496 personas por la COVID-19, obteniéndose, 1 338

297 casos confirmados y 6 310 199 negativos.

a. Personas muestreadas 7 648 496

b. Resultados negativos 6 310 199

c. Casos confirmados 1 338 297

2. Durante el 1 de marzo se registraron los resultados de 43 982 personas

muestreadas, de los cuales 3 135 fueron casos sintomáticos confirmados

de ese día.

3. Se registraron parcialmente, además, los resultados de 5 358 casos

confirmados por COVID-19 de los siete días anteriores.

4. A la fecha, se tienen 15 221 pacientes hospitalizados por la COVID-19, de

los cuales, 2 140 se encuentran en UCI con ventilación mecánica.

5. Del total de casos confirmados, a la fecha, 1 244 029 personas cumplieron

su período de aislamiento domiciliario o fueron dados de alta de un

establecimiento de salud.

6. El Ministerio de Salud está analizando los sistemas de registro con el fin de

actualizar la información.

7. A fin de evitar la propagación de la COVID-19, el Gobierno recomienda

distanciamiento físico de al menos un metro de distancia de otra persona,

usar mascarilla, lavarse las manos de manera frecuente y usar escudos

faciales en el transporte público.

8. El Ministerio de Salud lamenta informar que la COVID-19 ha producido el

fallecimiento de 46 894 ciudadanos en el país. Expresamos nuestras

sentidas condolencias a los familiares en este momento de dolor.

En base a la información presentada responde:

A. Expresa tu opinión sobre las cifras que brinda este comunicado.

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Las cifras fueron variando según el tiempo en que los contagios de la

propagación de la Covid-19 fueron aumentando.

B. Identifica y escribe las magnitudes con sus respectivas unidades que

encuentres en esta fuente.

Personas muestreadas 7 648 496

Resultados negativos 6 310 199

Casos confirmados 1 338 297

C. Teniendo en cuenta los datos del primer numeral estimar:

• La razón entre la cantidad de personas muestreadas y el número de casos

negativos. Interpreta la misma.

• La razón entre la cantidad de personas muestreadas y los casos

confirmados. Interpreta tu respuesta.

D. Asumiendo que las cifras reportadas por el MINSA hasta las 22:00 horas

del día 1 de marzo de 2021 se relacionan proporcionalmente, estimar la

cantidad de resultados negativos, de un total de 10 000 000 personas

muestreadas.

Resultados negativos 6 310 199

E. Asumiendo que la cantidad de pacientes hospitalizados por la COVID-19 se

relaciona proporcionalmente a la cantidad de pacientes que se encuentran

en UCI con ventilación mecánica, estimar la cantidad de camas UCI que se

necesitaron para 5200 hospitalizados.

Unas aprox. 1 244 029 personas cumplieron su período de aislamiento

domiciliario o fueron dados de alta de un establecimiento de salud.

F. Si la cantidad de resultados negativos aumenta, ¿Cuál sería el

comportamiento de los casos confirmados? Justifica tu respuesta.

Si los casos negativos llegan aumentar llegaría alcanzar a sobrepasar los

casos conformados llegando a colapsar.

SITUACIÓN CONTEXTUAL N° 03

PERÚ CONTINÚA ATRACTIVO PARA INVERSORES TRAS EMITIR BONOS POR

US$ 4,000 MILLONES

Demanda ascendió a 10,

millones de dólares por parte de

inversores de EE.UU, Europa y

Asia

Fuente: ANDINA

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De otro lado, Contreras puntualizó “Este año prevemos un ratio de deuda

alrededor de 37% sobre PBI, Perú se mantendría como uno de los países con

la deuda más bajas, no solo al nivel de la región, sino a nivel de economías

emergentes”.

En base a la información presentada responde:

A. Expresa tu opinión sobre este artículo periodístico.

B. Identifica y escribe todas las magnitudes con sus respectivas unidades que

encuentres en esta fuente.

C. Considerando que la deuda se pagará en una sola armada según las fechas

de vencimiento referidas, estimar la razón entre la cantidad de años (fecha

de vencimiento) y la tasa de interés para cada uno de los escenarios.

Interpreta cada respuesta.

D. Asumiendo el primer escenario (a 10 años) y que la cantidad de años se

relaciona proporcionalmente a la tasa de interés, estimar la tasa de interés

para el 2041.

E. Asumiendo el segundo escenario (a 20 años) y que la cantidad de años se

relaciona proporcionalmente a la tasa de interés, estimar la tasa de interés

para el 2061.

F. Investiga que son los bonos soberanos de un país y explica su concepto.

G. Explica la razón del por qué la tasa de interés aumenta con los años

cuando se hablan de bonos soberanos.

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SITUACIÓN CONTEXTUAL N° 04

CARACTERÍSTICAS DE LOS

NIVELES

SOCIOECONÓMICOS EN EL

PERÚ

13 de febrero 2020

34% de peruanos pertenecen al

NSE E, su ingreso promedio es

1300 soles al mes. Conoce más

datos en esta infografía.

El informe “Perfiles

Socioeconómicos Perú 2019”

tiene como objetivo principal

describir las principales

características de los niveles

socio económicos (NSE),

presentar la distribución de los

NSE por departamentos,

conglomerados urbanos y las

principales catorce ciudades del

país. Toda esta información se

ha construido con proyecciones

hechas por Ipsos tomando

como fuente el Censo Nacional

2017: XII de Población, VII de

Vivienda y III de Comunidades

Indígenas y la Encuesta

Nacional de Hogares 2018

(ENAHO).

En base a la información

presentada responde:

A. Expresa tu opinión sobre

la información brindada

en esta infografía.

B. Identifica y escribe todas

las magnitudes con sus

respectivas unidades que

encuentres en esta

infografía.

C. Teniendo en cuenta la distribución socioeconómica en el Perú, estimar la

razón entre el ingreso promedio y el gasto mensual de cada uno de los

NSE. Interpreta cada resultado.

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Recuperado de:

https://www.who.int/gpsc/5may/tools/

ES_PSP_GPSC1_GuiaParaLaElaboracionLocalWEB-2012.pdf?ua=

Con referencia a la información presentada responde:

A. Identifica y escribe todas las magnitudes con sus respectivas unidades que

encuentres en esta lectura.

B. ¿Qué tipo de relaciones proporcionales podrías identificar entre estas

magnitudes? Justifica.

C. Asumiendo que la etapa 4 de la preparación dijera:

“Llene la botella o depósito hasta la marca de 10 litros, con agua destilada,

agua hervida fría y agua purificada, en una relación de 3, 4 y 6 respectivamente

de manera inversamente proporcional”

Calcula la cantidad de litros de cada tipo de agua que deben agregarse a la

preparación para elaborar 72 litros de alcohol en gel.

D. En un laboratorio provisional se ha fabricado cierta cantidad de alcohol en

gel para llenarlo en 50 frascos de medio litro ¿Cuántos frascos de 125ml

podrán llenarse con el mismo contenido?

E. ¿Consideras una buena medida el uso del alcohol en gel para evitar

contagiarnos del COVID-19? Justifica tu respuesta.