¡Descarga Herramientas matemáticas y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Herramientas matemáticas
Prof. Antonio I. Rivera Islas
IICBA - UAEM — 22 de enero de 2019
Este es un pequeño texto de herramientas matemáticas que serán útiles para el curso. El documento no intenta ser formal ni mucho menos detallado, esto con la finalidad de que quien las utilice lo haga rápidamente sin sumergirse en textos especializados o páginas web. Cualquier duda, no olvides consultarla con el profesor o en la literatura correspondiente.
Álgebra superior y aritmética
Orden de operaciones elementales
Las operaciones elementales son seis: la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Al combi- narse con la agrupación con paréntesis (corchetes y llaves cuando sea necesario), se debe determinar un orden en el que se realizan estas operaciones sin ambigüedad. Este orden se le conoce en inglés como PEMDAS, palabra que en realidad son siglas (Parentheses, Exponentiation, Multiplication, Division, Addition y Subtraction) y está dado de la siguiente manera:
- Paréntesis
- Potenciación y radicación (Son operaciones equivalentes por leyes de los exponentes y radicales)
- Multiplicación y división (Son operaciones equivalentes por el inverso multiplicativo)
- Suma y resta (Son operaciones equivalentes por las leyes de los signos, cuidado con esto)
Ejemplo
[9 ∗ (1 + 3) − 3]+
[
9) ∗ (3 + 2^2 )
]
= [9 ∗ 4 − 3]+4 [(7 − 3) ∗ (3 + 4)] = [36 − 3]+4 [4 ∗ 7] = 33+4∗28 = 33+112 = 145
Leyes de los exponentes y los radicales
Un radical (raíz) es solamente una manera más presentable de escribir un exponente fraccionario. Esto es, para la raíz n de un número a se tiene √na = a (^1) /n.
Un exponente negativo indica sube y baja un número, es decir, lo convierte en su inverso multiplicativo, esto es
a−n^ =
an^
o
a−n^
an
= an.
El producto de dos números cuyo exponente es el mismo se pueden agrupar, esto es
anbn^ = (ab)n^.
Si un número elevado a la potencia n se multiplica por si mismo elevado a la potencia m, entonces los exponentes se suman anam^ = an+m.
Si un número elevado a la potencia n se vuelve a elevar a una potencia m, se multiplican los exponentes y el orden es irrelevante (an)m^ = an∗m^ = (am)n^.
Si un número distinto de cero es elevado a la potencia 0 siempre es 1 , esto es
a^0 = an−n^ = ana−n^ =
an an^
Un número elevado a la potencia 1 siempre es el mismo
a^1 = an/n^ = n
an^ =
( (^) √n a
)n = a.
Un número elevado a una fracción arbitraria siempre se puede ver como una raíz elevada una potencia o una potencia a la que se le saca raíz, esto es an/m^ = m
an^ =
( (^) m √ a
)n .
Leyes de los signos
Las leyes de los signos se resumen de manera muy sencilla: el producto de dos números con el mismo signo es positivo y el producto de dos números con signo opuesto es negativo. Esto es
a ∗ b = ab
(−a) ∗ (−b) = ab (−a) ∗ b = −ab a ∗ (−b) = −ab
Esto permite escribir una resta como una suma y viceversa
a − b = a + (−b)
a + b = a − (−b)
Inverso aditivo y multiplicativo
El inverso aditivo es aquel número que al sumarse a su original da como resultado 0, esto es
a + b = 0 ⇒ b = −a ⇒ a + b = a − a = 0
El inverso multiplicativo es aquel número que al multiplicarse con su original da como resultado 1, esto es
a ∗ b = 1 ⇒ b =
a
⇒ a ∗ b = a ∗
a
a a
A partir del inverso multiplicativo y las leyes de los exponentes se puede demostrar que la multiplicación y la división son operaciones equivalentes, esto es
a ∗ b−^1 = a ∗
b
a b
Para el producto de dos números en notación científica se tiene
a × 10 n^ ∗ b × 10 m^ =
ab 10 p^
× 10 n+m+p,
donde p es una corrección tal que
p =
0 ab < 10 1 10 ≤ ab < 100
De manera similar, para un cociente de dos números en notación científica se tiene
a × 10 n b × 10 m^
= 10p^
a b
× 10 n−m−p
donde p es una corrección tal que
p =
0 a/b ≥ 1 1 1 > a/b > 0
La potenciación de un número entero en notación científica va de la siguiente manera
(a × 10 n)m^ =
am 10 p^
× 10 n∗m+p,
de nuevo p es una corrección adecuada que depende de la magnitud de am, esto es
p = xlog 10 (am)y,
con xy la llamada función piso que toma la parte entera de un número, por ejemplo x 10. 78 y = 10.
De manera similar, para la raíz de un número en notación científica se tiene
(a × 10 n)
(^1) /m = a (^1) /m × 10 n/m .
Para este caso no hay factor de corrección debido a que a^1 /m^ ∈ [1, 10).
Desarrollo de productos algebraicos
En álgebra es común tener que desarrollar el producto entre binomios, trinomios, etc. Para ello se realiza el siguiente proceso (a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd.
Tomando la propiedad distributiva del producto, es posible generalizar este proceso a expresiones más extensas.
Productos notables
Estos son un caso especial de los productos algebraicos. Cuando los productos tienen cierta estructura, fácilmente puede escribirse su correspondiente expresión desarrollada.
Para la diferencia de cuadrados se tiene
(a + b) (a − b) = a^2 − ab + ab − b^2 = a^2 − b^2.
Para el binomio al cuadrado
(a ± b)^2 = (a ± b) (a ± b) = a^2 ± ab ± ab + b^2 = a^2 ± 2 ab + b^2.
El binomio al cuadrado puede extenderse de forma general empleando el binomio de Newton.
Solución de ecuaciones de primer orden
En su forma ordinaria, la ecuación de primer orden es
ax + b = 0,
donde x es la literal llamada incógnita con a y b coeficientes dados, con a 6 = 0.
Su solución es
x = − b a
En la práctica, el objetivo es reducir las expresiones algebraicas hasta su forma ordinaria para así obtener inmedia- tamente la solución.
Solución a sistemas de ecuaciones de primer orden
Se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas x y y en su forma ordinaria
ax + by = e,
cx + dy = f,
con a, b, c, d, e y f constantes dadas.
Por el método de sustitución, se despeja una de las dos variables en una ecuación y se sustituye en la otra, esto se ilustra como
ax + by = e ⇒ x =
e − by a
Sustituyendo
cx + dy = f ⇒ c e − by a
bcy a
d − bc a
y = f
y =
f − cea d − bca
af − ce ad − bc
Luego, simplemente se evalúa el valor obtenido para y en la expresión que se despejó para x.
Otro método bastante sencillo es el de suma-resta. Para este método, se empieza multiplicando ambas ecuaciones por un número de tal manera que permita eliminar una incógnita. Esto es
ax + by = e ⇒ adx + bdy = de
cx + dy = f ⇒ −bcx − bdy = −bf
Entonces, al sumar-restarse estas ecuaciones, solo queda una incógnita
(ad − bc) x = de − bf ⇒ x =
de − bf ad − bc
Posteriormente, basta con sustituir este valor en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener la solución del siste- ma.
Otro método muy importante es el de determinantes, el cual no se ilustra aquí pero es importante revisar para sistemas de ecuaciones de mayor dimensión, es de decir, de n incógnitas con n ecuaciones.
Triángulo rectángulo
Figura 2: Triángulo rectángulo.
El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se le conoce como hipo- tenusa y los otros lados que forman el ángulo recto se les llama catetos. Este triángulo es de suma importancia para el álgebra vectorial, la geometría plana y la geometría analítica, de ahí sea el punto de partida para la trigonome- tría.
Teorema de Pitágoras
En forma de enunciado, el teorema de Pitágoras dice lo siguiente: la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Si alguna vez han asistido al museo interactivo Universum, existe un pequeño y bonito experimento donde se demuestra el teorema. Por otro lado, en su forma algebraica es
a^2 + b^2 = c^2
Funciones trigonométricas
Figura 3: Triángulo rectángulo. Notación referente al ángulo θ.
Existen un total de seis funciones trigonométricas básicas, estás son funciones del ángulo θ y abren las puertas a un montón de cálculos útiles. Estas funciones son sin θ =
co h cos θ =
ca h
tan θ =
co ca
sin θ cos θ
cot θ =
tan θ
ca co
cos θ sin θ
sec θ =
cos θ
h ca
csc θ =
sin θ
h co
Funciones trigonométricas inversas
Las funciones trigonométricas inversas cumplen que al aplicarlas a las funciones trigonométricas, devuelven el ángulo (el argumento) original. Esto es
θ = arcsin
co h θ = arc cos ca h θ = arctan
co ca
Identidades trigométricas
Una identidad trigonométrica es una relación entre varias funciones trigonométricas tal que no importando el valor de o de sus argumentos, siempre son válidas. Para empezar se tiene la identidad Pitagórica. Del teorema de Pitágoras se tiene co^2 + ca^2 = h^2 ,
dividiendo la ecuación entre h^2 se tiene (^) ( co h
( (^) ca h
del lado izquierdo de la ecuación, dentro de los parentesis se tiene justamente la definición de las funciones seno y coseno respectivamente, de tal modo que la identidad queda
sin^2 θ + cos^2 θ = 1
Esta identidad trigométrica tiene otras dos versiones. Para su primer forma alterna basta con dividir la identidad entre sin^2 θ 1 + cot^2 θ = csc^2 θ
y su otra forma alterna se obtiene dividiendo entre cos^2 θ
tan^2 +1 = sec^2 θ
Otras identidades útiles son las de la suma/resta de los ángulos, esto es
sin(θ ± ϕ) = sin θ cos ϕ ± cos θ sin ϕ
cos(θ ± ϕ) = cos θ cos ϕ ∓ sin θ sin ϕ
Ecuación de la recta
En geometría analítica, la ecuación más básica es la ecuación general de la recta que en general tiene dos formas: su forma general y su forma en términos de la pendiente. Se parte de su forma general
ax + by + c = 0,
y para escribirla en su forma en términos de la pendiente se despeja y, quedando así
y = mx + β,
donde m = −a/b es la pendiente y β = −c/b es la ordenada al origen.
Existe toda una serie de identidades trigonométricas las cuales pueden ser consultadas en la red o la literatura. Aquí solo están las más emblemáticas.
donde n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 1 es el factorial de n. El factorial 0! = 1.
Entonces, la derivada es
f ′(x) = l´ım ∆x→ 0
an
xn^ + nxn−^1 ∆x +...
− anxn ∆x
= l´ım ∆x→ 0
annxn−^1 ∆x +... ∆x
= l´ım ∆x→ 0
annxn−^1 +...
Aquí, separamos el límite l´ım ∆x→ 0 annxn−^1 = annxn−^1 ,
y l´ım ∆x→ 0
Por lo tanto para una función polinomial f (x) = anxn, con n 6 = 0, su derivada es
f ′(x) = annxn−^1.
Para la función f (x) = sin(x) la derivada es f ′(x) = cos(x).
Para la función f (x) = cos(x) la derivada es f ′(x) = − sin(x).
Para la función f (x) = tan(x) la derivada es f ′(x) = sec^2 (x)
Para la función f (x) = ln(x) la derivada es
f ′(x) =
x
Para la función f (x) = exp(x) la derivada es f ′(x) = exp(x)
Para la función f (x) = g(x) ± h(x) la derivada es
f ′(x) = g′(x) ± h′(x)
Para la función f (x) = g(x)h(x) la derivada es
f ′(x) = g′(x)h(x) + g(x)h′(x)
Para la función f (x) = (^) hg((xx)) la derivada es
f ′(x) =
g′(x)h(x) − h′(x)g(x) h^2 (x)
Para la función f (x) = (g ◦ h)(x) la derivada es
f ′(x) = g′[f (x)]f ′(x)
A la función integral se le conoce como primitiva, esto es
F (x) =
f (x) dx
Basándose en el teorema fundamental del cálculo y en las derivadas de funciones elementales se tienen la siguientes primitivas.
Si f (x) = a, entonces la integral es F (x) = ax + c.
Si f (x) = axn, con n 6 = − 1 , entonces la integral es
F (x) = a xn+ n + 1
Si f (x) = x−^1 , entonces la integral es F (x) = ln(x) + c.
Si f (x) = exp(x), entonces la integral es F (x) = exp(x) + c.
Si f (x) = sin(x), entonces la integral es F (x) = − cos(x) + c
Si f (x) = cos(x), entonces la integral es F (x) = sin(x) + c
La deducción del método de integración por partes es muy sencilla. Se toma la derivada de un producto de funcio- nes [u(x)v(x)]′^ = u′(x)v(x) + v′(x)u(x).
Integrando ambos lados de la ecuación se tiene
u(x)v(x) =
v(x) du +
u(x) dv,
por lo tanto (^) ∫
u(x) dv = u(x)v(x) −
v(x) du.
El método de integración permite iterarse sobre si mismo cuantas veces sea necesario para encontrar la integral deseada.
Importante Este formulario y las deducciones no están completas, sin embargo, las derivadas e integrales más útiles para el curso están aquí, el resto puede consultarse en la literatura correspondiente.
!
Máximos y mínimos
Para una función continua en x muchas veces es de interés encontrar los llamados puntos críticos de la curva. Los puntos criticos pueden ser de tres tipos: máximo (local), mínimo (local) o punto de inflexión. Para encontrarlos basta con encontrar el punto x = x 0 tal que f ′(x 0 ) = 0.
Al resolver para x 0 , se encontrarán todos los puntos críticos, pero no se sabe directamente si es un máximo, mínimo o punto de inflexión. Para eso se evalúa la segunda derivada de la función en x 0 , esto es
f ′′(x 0 )
0 min < 0 max = 0 inflex
Lo cual se lee, en orden como:
La pequeña flecha (aunque a veces puede ser una barra) encima denota que ~r es un vector, mientras que x, y, z son escalares y se les llama las entradas o componentes del vector.
La segunda manera de escribir un vector es como la combinación lineal de vectores unitarios, los cuales son vectores cuya norma es la unidad, que por lo general son una base del espacio. En el caso de coordenadas cartesianas, estos vectores unitarios, denotados con un gorro, son ˆi, ˆj y kˆ. Así, un vector cualquiera ~r es
~r = xˆi + yˆj + zˆk.
Los vectores unitarios, por su parte son
ˆi = (1, 0 , 0) ˆj = (0, 1 , 0) ˆk = (0, 0 , 1)
Magnitud de un vector
La magnitud de un vector es llamada la norma de un vector y su cálculo es muy sencillo. En coordenadas cartesianas, la norma de un vector arbitrario ~r es ||~r|| = r =
x^2 + y^2 + z^2.
Del lado izquierdo se notan las dos notaciones usuales para la norma. En el caso que se tenga un poco de libertad con las literales (el alfabeto latino y griego no son infinitos), es bastante cómodo usar la segunda notación donde simplemente se le quita la flecha o barra al vector para denotar su norma.
Multiplicación por escalares
Un vector puede multiplicarse fácilmente y directamente por escalares sin ningún problema. Tomando un escalar a y un vector ~r arbitrario, su producto es
a~r = a (x, y, z) = (ax, ay, az) ,
o en la otra notación a~r = a
xˆi + yˆj + zˆk
= axˆi + ayˆj + azˆk.
Suma y resta de vectores
Sean ~u = (ux, uy , uz ) y ~v = (vx, vy , vz ) dos vectores, la suma/resta entre ellos es componente a componente, es decir w ~ = ~u ± ~v = (ux, uy , uz ) ± (vx, vy , vz ) = (ux ± vx, uy ± vy , uz ± vz )
o en la otra notación w ~ = ~u ± ~v = (ux ± vx)ˆi + (uy ± vy )ˆj + (uz ± vz )ˆk
Componentes vectoriales
Incluso en los medios, es común decir que un vector es un elemento matemático que tiene magnitud y dirección (ver “Mi villano favorito”) y también es común tener estos dos datos en lugar de tener sus componentes. Esto no presenta problema alguno ya que fácilmente se pueden calcular las componentes a partir de la norma y ángulo de un vector.
Para dos dimensiones, sea r la norma y θ el ángulo (dirección) que abre desde el eje X de un vector ~r, entonces las componentes están dadas por x = r cos θ y = r sin θ
Por otra parte, cuando se conocen las componentes de un vector pero no su magnitud ni dirección, entonces se puede calcular la norma como se mostró unas secciones más arriba y la dirección (ángulo) está dado por
θ = arctan y x
sin embargo, se debe tener cuidado. Si el vector ~r se encuentra en el primer o segundo cuadrante del plano carte- siano, entonces se puede aplicar la fórmula sin problema. Por otro lado, si el vector se encuentra en tercer o cuarto cuadrante, entonces se le debe sumar a θ un ángulo extra de 180 ° o π rad.
Producto escalar (punto)
El producto escalar entre dos vectores es la suma del producto componente a componente. Se tienen dos vectores ~u y ~v, su producto escalar en términos de componentes es
~u · ~v = uxvx + uy vy + uz vz ,
o alternativamente, en términos de norma y ángulo entre los dos vectores
~u · ~v = uv cos θ
De forma inmediata, el producto escalar ofrece un par de resultados interesantes. Si dos vectores ~u y ~v son perpen- diculares, entonces su producto escalar es cero, esto es
~u · ~v = uv cos
π 2
debido a que dos vectores perpendiculares tienen un ángulo entre si de 90 ° o π/ 2 rad, el término cos π/ 2 = 0.
Otro resultado interesante es que el producto escalar de un vector consigo mismo es la norma al cuadrado del vector. Esto es ~u · ~u = uu cos 0 = u^2 ,
esto se debe a que cos 0 = 1.
Una propiedad importante del producto escalar es que no depende del orden en que se tomen los vectores, el resul- tado no varía, es decir que ~u · ~v = ~v · ~u
Producto vectorial (cruz)
El producto vectorial solo tiene sentido para vectores de dos y tres dimensiones. A continuación se muestra el cálculo del producto vectorial para dos vectores ~u y ~v.
~u × ~v =
ˆi ˆj ˆk ux uy uz vx vy vz
= (uy vz − uz vy )ˆi − (uxvz − uz vx) ˆj + (uxvy − uy vx) ˆk.
El resultado de este producto es un vector y como propiedad principal tiene que es perpendicular al mismo tiempo con ~u y ~v, de hecho, es perpendicular con cualquier combinación lineal de ~u y ~v. Esto se escribe como
[~u × ~v] · [a~u + b~v] = 0,
para todo escalar a y b.
Otra propiedad importante del producto vectorial es que a diferencial del producto escalar, si importa el orden en que se realiza el producto, esto es que ~u × ~v = −~v × ~u,
