Hidrostática según Sears, Diapositivas de Física

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14 METAS DE APRENDIZAJE Al estudiar este capítulo, usted aprenderá: El significado de la densidad de un material y la densidad media de un cuerpo. Qué se entiende por presión en un fluido y cómo se mide. Cómo calcular la fuerza de flotación que ejerce un fluido sobre un cuerpo sumergido en ella, La importancia de un flujo laminar contra un flujo de fluido turbulento, y cómo la rapidez del flujo en un tubo depende del tamaño de éste. Cómo utilizar la ecuación de Bernoulli para relacionar la presión y la rapidez de flujo en diferentes puntos en ciertos tipos de fluidos. 14.1 Dos objetos con masas y volúmenes diferentes, pero con igual densidad. Diferente masa, igual densidad: la llave y el clavo están hechos de acero, de manera que tienen igual densidad (masa por unidad de volumen). $ Llave de acero de acero 456 MECÁNICA DE FLUIDOS este tiburón debe nadar constantemente para no hundirse en el fondo del océano; sin embargo, los peces tropicales anaranjados pueden permanecer en el mismo nivel del agua con poco esfuerzo. ¿Por qué existe esta diferencia? diana. Los bebemos, respiramos y nadamos en ellos; circulan por nuestro or- ganismo y controlan el clima. Los aviones vuelan a través de ellos y los barcos flotan en ellos. Un fluido es cualquier sustancia que puede fluir; usamos el término tanto para líquidos como para gases. Por lo regular, pensamos que los ga- ses son fáciles de comprimir y que los líquidos son casi incompresibles, aunque hay casos excepcionales. Comenzaremos nuestro estudio con la estática de fluidos, es decir, el estudio de fluidos en reposo en situaciones de equilibrio. Al igual que otras situaciones de equili- brio, ésta se basa en la primera y la tercera leyes de Newton. Exploraremos los con- ceptos clave de densidad, presión y flotación. La dinámica de fluidos —, 0 asfque pA=(p+dp)A— pgAdy= Dividiendo entre el área A y reordenando, obtenemos w__ = 08 dy (14.4) 14.5 Las fuerzas sobre un elemento de fluido en equilibrio. a) Un elemento de un fluido en il reposo con área A y espesor dy. áre — |] 0 b) Las fuerzas Fuerza debida a la presión —— sobrelos p + dp sobre la superficie. ..-cuatro lados superior: (p + dp)A del elemento se anulan. e Peso del dv — elemento fluido Z Fuerzaó debidas a la presión p sobre la superficie inferior Como el fluido está en equilibrio, la suma vectorial de las fuerzas verticales sobre el elemento fluido debe ser cero: PA — (p +dpJA — dw =0, 460 CAPÍTULO 14 Mecánica de fluidos 14.6 Cómo varía la presión en función de la profundidad en un fluido con densidad uniforme. Fluido, densidad p Aun profundidad h, la presión p es igual a la presión sobre la superficie. Po más la presión pgh debida al fluido que hay encima: “p = Po + pgh. La diferencia de presión entre los niveles 1y2 Pa P1= =P802— y) La presión es mayor en un nivel más bajo. 14.7 Todas las columnas de fluido tienen la misma altura, sin importar cuál sea su forma. La presión en la parte superior de cada columna de líquido s la presión atmosférica, La presión en la parte inferior de cada columna de líquido tiene la misma presión p. La diferencia entre p y py es pgh, donde h es la distancia que hay de la parte superior a la parte inferior de la columna de líquido. Por lo tanto, todas las columnas tienen la misma altura. 14.8 El elevador hidráulico es una aplicación de la ley de Pascal. El tamaño del recipiente lleno de fluido se ha exagerado por claridad. (SAL actuar sobre un pistón con una mayor área, la presión produce una fuerza capaz. de sostener el automóvil. (SLa presión p tiene el mismo valor en todos los puntos a la misma altura en el fluido (ley de Pascal). Esta ecuación indica que si y aumenta, p disminuye; es decir, conforme se sube por el fluido, la presión disminuye, como esperaríamos. Si p, y pz son las presiones en las alturas y, y y, respectivamente, y si p y g son constantes, entonces Pp py= —p8(y— y1) (presión en un fluido de densidad uniforme) — (14,5) Suele ser útil expresar la ecuación (14.5) en términos de la profundidad bajo la su- perficie de un fluido (figura 14.6). Tomemos el punto 1 en cualquier nivel en el fluido y sea p la presión en ese punto. Tomemos el punto 2 en la superficie del fluido, donde la presión es po (el subíndice indica profundidad cero). La profundidad del punto 1 bajo la superficie es h = y, — y,, y la ecuación (14.5) se convierte en Po=p==p8(y=y1)==pgh — obien, P=po + pgh — (presión en un fluido de densidad uniforme) — (14.6) La presión p a una profundidad h es mayor que la presión py en la superficie, en una cantidad pgh. Observe que la presión es la misma en dos puntos cualesquiera situados en el mismo nivel en el fluido. La forma del recipiente no importa (figura 14.7). La ecuación (14.6) nos dice que si aumentamos la presión py en la superficie, tal vez usando un pistón que embona herméticamente en el recipiente para empujar con- tra la superficie del fluido, la presión p a cualquier profundidad aumenta exactamente en la misma cantidad. El científico francés Blaise Pascal (1623-1662) reconoció este hecho en 1653 y lo enunció en la llamada ley de Pascal. Ley de Pascal: la presión aplicada a un fluido encerrado se transmite sin disminu- ción a todas las partes del fluido y las paredes del recipiente. El elevador hidráulico que se representa en la figura 14.8 ilustra la ley de Pascal. Un pistón con área transversal pequeña A, ejerce una fuerza F, sobre la superficie de un líquido (aceite). La presión aplicada p = F/A; se transmite a través del tubo co- únector a un pistón mayor de área A». La presión aplicada es la misma en ambos cilin- dos, así que F, F, A: PATA y RT, (47) El elevador hidráulico es un dispositivo multiplicador de la fuerza con un factor de multiplicación igual al cociente de las áreas de los pistones. Las sillas de los dentistas, los gatos hidráulicos para autos, muchos elevadores y los frenos hidráulicos se basan en este principio. En el caso de los gases, el supuesto de que la densidad p es uniforme sólo es rea- lista en distancias verticales cortas. En un cuarto de 3.0 m de altura lleno de aire con densidad uniforme de 1.2 kg/m?, la diferencia de presión entre el piso y el techo, da- da por la ecuación (14.6), es peh = (1.2 kg/m?) (9.8 m/s?) (3.0 m) = 35 Pa es decir, cerca de 0.00035 atm, una diferencia muy pequeña. En cambio, entre el nivel del mar y la cumbre del Monte Everest (8882 m) la densidad del aire cambia casi en un factor de 3, y en este caso no podemos usar la ecuación (14.6). Los líquidos, en cambio, son casi incompresibles, y suele ser una buena aproximación considerar su densidad como independiente de la presión. Una presión de varios cientos de atmós- feras sólo causa un pequeño incremento porcentual en la densidad de la mayoría de los líquidos. Presión absoluta y presión manométrica Si la presión dentro de un neumático es igual a la presión atmosférica, el neumático estará desinflado. La presión debe ser mayor que la atmosférica para poder sostener el vehículo, así que la cantidad significativa es la diferencia entre las presiones interior y exterior. Cuando decimos que la presión de un neumático es de “32 libras” (en reali- dad 32 Ib/in”, igual a 220 kPa o 2.2 X 10* Pa), queremos decir que es mayor que la 462 CAPÍTULO 14 Mecánica de fluidos 14.10 a) Medidor de presión de Bourdon. Al aumentar la presión dentro del tubo metálico en forma de espiral, éste se endereza y desvía la aguja unida a él. b) Medidor de presión tipo Bourdon empleado en un tanque de gas comprimido. Ejemplo 14.4 to: En la ecuación (14.8), p es la presión absoluta, y la diferencia p — Puan entre la presión absoluta y la atmosférica es la presión manométrica. Así, la presión manomérica es pro- porcional a la diferencia de altura h = y, — y, de las columnas de líquido. Otro medidor de presión común es el barómetro de mercurio, que consiste en un largo tubo de vidrio, cerrado por un extremo, que se llena con mercurio y luego se invier- te sobre un plato con mercurio (figura 14.9b). El espacio arriba de la columna sólo contiene vapor de mercurio, cuya presión es insignificante, así que la presión p, arriba de la co- lumna es prácticamente cero. De acuerdo con la ecuación (14.6), Pap =0+ pel y1) = pgh (14.9) Así, el barómetro de mercurio indica la presión atmosférica Pa directamente por la altu- ra de la columna de mercurio. Las presiones a menudo se describen en términos de la altura de la columna de mer- curio correspondiente, como “pulgadas de mercurio” o “milímetros de mercurio” (que se abrevia mm Hg). Una presión de 1 mm Hg es 1 1orr, en honor a Evangelista Torricelli, inventor del barómetro de mercurio. Sin embargo, estas unidades dependen de la densidad del mercurio, que varía con la temperatura, y del valor de g, que varía con el lugar, y por ello se prefiere el pascal como unidad de presión. Un dispositivo común para medir la presión arterial, llamado esfigmomanómetro, usa un manómetro lleno de mercurio. Las lecturas de la presión arterial, como 130/80, se re- fieren a las presiones manométricas máxima y mínima en las arterias, medidas en mm Hg o tor. La presión arterial varía con la altura en el cuerpo; el punto de referencia están- dar es la parte superior del brazo, ala altura del corazón. Muchos tipos de medidores de presión usan un recipiente flexible sellado (figura 14.10). Un cambio en la presión adentro o afuera del recipiente provoca un cambio en sus dimensiones, que se detecta óptica, eléctrica o mecánicamente. a) b) Aguja — Tubo metálico en espiral = Presión p que se mide de dos fluidos Un tubo de manómetro se llena parcialmente con agua. Después se vierte aceite (que no se mezcla con el agua y tiene menor densidad que el agua) en el brazo izquierdo del tubo hasta que la interfaz aceite-agua está en el punto medio del tubo. Ambos brazos del tubo están abiertos al aire, Determine la relación entre las alturas Acce Y Angua- IDENTIFICAR: La relación entre presión y profundidad en un fluido sólo es válida para los fluidos de densidad uniforme. Por lo tanto, no podemos escribir una sola ecuación para el aceite y el agua juntos. Lo que sí podemos hacer es escribir una relación presión-profundidad para cada fluido por separado. Advierta que ambas columnas de flui- do tienen la misma presión en la base (donde están en contacto y en equilibrio, así que las presiones deben ser iguales) y en la parte supe- rior (donde ambas están en contacto con la atmósfera y en equilibrio con ella). PLANTEAR: La figura 14.11 ilustra la situación. Sea po la presión at- mosférica, y p la presión en el fondo del tubo. Las densidades de los dos fluidos SON Pagua Y Paccre (QUE €S MENOT QUE Pa). Usamos la ecua- ción (14.6) para cada fluido. EJECUTAR: Para los dos fluidos, la ecuación (14.6) se convierte en P= Po Pagas Maga P= Po Pace 8 accio 14.11 Nuestro esquema para este problema. 14,3 Flotación 463 Puesto que la presión p en la base del tubo es la misma para ambos uidos, igualamos las dos expresiones y despejamos ty En térmi- OS de Mg. Puede demostrarse que el resultado es Pagua Maccño = un aca EVALUAR: Puesto que el aceite es menos denso que el agua, la ra- 26M Pagoa/Paceue €s mayor que la unidad y ze ES MAYO QUE agua (como se observa en la figura 14.11). Es decir, se necesita una mayor altura de aceite menos denso para producir la misma presión p en la base del tubo. Evalúe su comprensión de la sección 4.2 El mercurio es menos denso a — ((qp) altas temperaturas que a bajas temperaturas. Suponga que saca al exterior un barómetro de mercurio que estaba dentro de un refrigerador bien sellado, en un caluroso día de verano, y Observa que la columna de mercurio se mantiene a la misma altura en el tubo. En compara- ción con la presión del aire en el interior del refrigerador, la presión del aire en el exterior es 1) mayor, ii) menor o iii) igual. (Ignore el pequeño cambio en las dimensiones del tubo de vidrio debido al cambio de temperatura.) A | 14.3 Flotación La flotación es un fenómeno muy conocido; un cuerpo sumergido en agua parece pesar menos que en el aire, Si el cuerpo es menos denso que el fiuido, entonces flota. El cuerpo humano normalmente flota en el agua, y un globo lleno de helio flota en el aire. Elprincipio de Arquímedes establece lo siguiente: si un cuerpo está parcial o totalmente "sumergido en un fluido, éste ejerce una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. Para demostrar este principio, consideremos una porción arbitraria de fluido en reposo. En la figura 14.12a, el contorno irregular es la superficie que delimita esta porción de fiui- do. Las flechas representan las fuerzas que el fluido circundante ejerce sobre la superficie de frontera. Todo el fluido está en equilibrio, así que la suma de todas las componentes y de fuerza sobre esta porción de fluido es cero, Por lo tanto, la suma de todas las componentes y de las fuerzas de superficie debe ser una fuerza hacia arriba de igual magnitud que el peso mg del fiuido dentro de la superficie, Además, la suma de las torcas sobre la porción de fluido debe ser cero, así que la línea de acción de la componente y resultante de las fuerzas super- ficiales debe pasar por el centro de gravedad de esta porción de fluido. a) Elemento arbitrario de un fluido en equilibrio. b) El elemento del fluido se sustituye por un cuerpo sólido de forma y tamaño idénticos Las fuerzas en el elemento fluido de- bidas a la presión deben sumarse a la fuerza de flotación Las fuerzas debidas ala presión son iguales, por lo que sobre el cuerpo debe actuar la misma fuerza de flotación que sobre el elemento de fluido, sin importar el peso del cuerpo. 14.12 Principio de Arquímedes. b) La densidad del aire es de cerca de 1.2 kg/m”, así que la fuerza de flotación del aire sobre la estatua es B= Puro Vg = (1.2 kg/m*) (7.77 X 107* m?) (9.80 m/s”) 1109 Esto es sólo 62 millonésimas del peso real de la estatua. Este efecto es menor que la precisión de nuestros datos, así que lo despreciamos. Por lo tanto, la tensión en el cable con la estatua en el aire es igual al peso 14,3 Flotación 465 EVALUAR: Advierta que la fuerza de flotación es proporcional a la densidad del fluido, no a la densidad de la estatua. Cuanto más denso es el fluido, mayor será la fuerza de flotación y menor será la tensión en el cable. Si el fluido tuviera la misma densidad que la estatua, la fuerza de flotación sería igual al peso de la estatua y la tensión sería ce- ro (el cable se aflojaría). Si el fluido fuera más denso que la estatua, la tensión sería negativa: la fuerza de flotación sería mayor que el peso de la estatua, y se requeriría una fuerza hacia abajo para evitar que la estatua se elevara. de la estatua, 147 N. Tensión superficial Un objeto menos denso que el agua, como una pelota de playa inflada con aire, flota con una parte de su volumen bajo la superficie. Por otra parte, un clip puede descan- sar sobre una superficie de agua aunque su densidad es varias veces mayor que la del agua. Esto es un ejemplo de tensión superficial: la superficie del líquido se comporta como una membrana en tensión (figura 14.15). La tensión superficial se debe a que las moléculas del líquido ejercen fuerzas de atracción entre sí. La fuerza neta sobre una molécula dentro del volumen del líquido es cero, pero una molécula en la superfi- cie es atraída hacia el volumen (figura 14.16). Por esa razón, el líquido tiende a redu- cir al mínimo su área superficial, tal como lo hace una membrana estirada. La tensión superficial explica por qué las gotas de lluvia en caída libre son esféricas (no con forma de lágrima): una esfera tiene menor área superficial para un volumen dado que cualquier otra forma. También explica por qué se usa agua jabonosa caliente en el lavado de la ropa. Para lavarla bien, se debe hacer pasar el agua por los diminutos espacios entre las fibras (figura 14.17). Esto implica aumentar el área superficial del agua, lo que es difícil por la tensión superficial. La tarea se facilita aumentando la tem- peratura del agua y añadiendo jabón, pues ambas cosas reducen la tensión superficial. La tensión superficial es importante para una gota de agua de 1 mm de diámetro, que tiene un área relativamente grande en comparación con su volumen. (Una esfera de radio r tiene área 417 y volumen (477/3)r”. La razón entre la superficie y el área es 3/r, y aumenta al disminuir el radio.) En cambio, si la cantidad de líquido es grande, la razón entre superficie y volumen es relativamente pequeña y la tensión superficial es insignificante en comparación con las fuerzas de presión. En el resto del capítulo, sólo consideraremos volúmenes grandes de fluidos, así que ignoraremos los efectos de la tensión superficial. Evalúe su comprensión de la sección 14.3. Usted coloca un recipiente con — ((qp) agua de mar sobre una báscula y toma nota de la lectura que indica la báscula. Ahora mE) usted suspende la estatua del ejemplo 14.5 en el agua (figura 14.18). ¿Cómo cambia la lectura de la báscula? i) Se incrementa en 7.84 N; ii) disminuye en 7.84 N; iii) permanece igual; iv) ninguna de las respuestas anteriores es correcta. 14.18 ¿Cómo cambia la lectura de la báscula cuando la estatua se sumerge en el agua? 14.15 La superficie del agua actúa como membrana sometida a tensión, y permite a este insecto tejedor o zapatero de agua caminar literalmente sobre el agua. 14.16 Una molécula en la superficie es atraída hacia el volumen del líquido, y esto tiende a reducir el área superficial del líquido. Las moléculas en un líquido son atraídas por moléculas vecinas. En la superficie, las atrac”, ciones desequilibradas hacen que la superficie resista al ser estirada Las moléculas en el interior son igualmen- te atraídas en todas direcciones. 14.17. La tensión superficial dificulta el paso del agua por aberturas pequeñas. La presión requerida p del agua puede reducirse usando agua caliente con jabón, lo que reduce la tensión superficial. Presión de agua p úl Presión de aire pg